黃樂華

(韶關學院韶州師范分院數(shù)學系，廣東韶關 512026)

當前我國高等數(shù)學教育存在的問題，確實給學生主體活力帶來障礙，對學生潛力發(fā)揮形成束縛.“如何釋放學生的活力、開發(fā)學生的潛力”已成為深化數(shù)學教育改革的重點、難點.在我國，自1994年全國大學生數(shù)學建模競賽舉辦以來，競賽的規(guī)模以年均增長25%以上的速度蓬勃發(fā)展:從1994年196個學校的867支參賽隊，到2013年1326個學校的23193支參賽隊，參賽隊壯大了近27倍.光明日報在《數(shù)學建模競賽實現(xiàn)了什么》[1]一文從“提高學生綜合素質(zhì)”、“推動高校教育改革”、“數(shù)學建模競賽的國際效應”等方面介紹了數(shù)學建模.

作為一項改革實踐，數(shù)學建模出發(fā)點和落腳點是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力，根本目的是提高學生的綜合素質(zhì).作為一種成功的教學實踐，數(shù)學建模以重點突破、整體推進的方式推動高等數(shù)學教育改革，它究竟在提高高等數(shù)學教學質(zhì)量方面有何作為，又是如何起到“一子落而滿盤活”的效應的?下面筆者從以下三個方面對此進行闡述.

1 數(shù)學建模以數(shù)學文化為支撐，激發(fā)學生學數(shù)學、用數(shù)學的內(nèi)生動力和長遠后勁，讓學生發(fā)展的空間更廣

數(shù)學教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育.目前教育中存在一種比較普遍的傾向，就是人為地將知識、能力和素質(zhì)分離、隔裂甚至對立起來，而不是將它們看成緊密聯(lián)系的整體，以至于學生學習數(shù)學的內(nèi)生動力不足，也缺乏長遠后勁.數(shù)學在多大程度上落實素質(zhì)教育的要求，取決于學習知識、培養(yǎng)能力和提高素質(zhì)這三者之間的平衡，把握好它們之間的度著力點在于數(shù)學文化.

大家知道，數(shù)學歷來是人類文化的一個重要組成部分，一直是形成現(xiàn)代文化的主要力量.那么數(shù)學究竟是通過什么途徑形成文化力的呢?搞清楚這個問題才能以正確的方式將數(shù)學文化的核心價值觀轉(zhuǎn)化為學生的自覺追求，也是把握學生學習數(shù)學定力的關鍵所在.

數(shù)學文化的核心價值觀是公理演繹體系.公理演繹體系的發(fā)明者是古希臘數(shù)學家歐幾里德，他在《幾何原本》中將概念、公理和定理用邏輯關系整合在一起，成為一種層層推進、步步關聯(lián)的理論體系.后來，牛頓用自己發(fā)明的微積分方法詳盡描述了物體的運動，并把由此獲得的運動規(guī)律與若干基本物理與力學概念結合在一起，構成了一個嚴密的公理化系統(tǒng)，幾乎把當時已知的自然知識全部囊括其中.伴隨著經(jīng)典物理學的成功，公理演繹體系成為科學理論的“標準模型”，成為強有力的理論分析工具，也成為一種幾乎無堅不摧的科學方法.

公理化演繹突出地表現(xiàn)為數(shù)學的思考方式.在人們認識世界和改造世界的過程中，數(shù)學作為一種精確的語言和一個有力的工具，一直發(fā)揮其關鍵性、甚至決定性的作用.數(shù)學之所以起著極其重要的作用，非常關鍵的一點就是，“數(shù)學在科學中的一個關鍵作用就是創(chuàng)建能容許人們對事實上是遠為混亂的東西形成概念的理想化”[2]，運用數(shù)學特有的符號語言去把實在抽象為理想化的東西，也就是說用凝練、準確的語言把所要研究的問題描述成數(shù)學問題.更為重要的是，“數(shù)學的思考方式有著根本的重要性.簡言之，數(shù)學為組織和構造知識提供方法.一旦數(shù)學用于技術，它就能產(chǎn)生系統(tǒng)的、可再現(xiàn)的并能傳授的知識.分析、設計、建模、模擬和應用便會變成可能的高效的富有結構的活動”[3]，同時使得“數(shù)學除了鍛煉敏銳的理解力、發(fā)現(xiàn)真理以外，它還有另一個訓練全面考察科學系統(tǒng)的頭腦的開發(fā)功能”[4].因此，數(shù)學的核心價值觀表現(xiàn)在極其重要的數(shù)學思考方式，并通過這種方式實現(xiàn)數(shù)學的強大文化力.

數(shù)學模型以數(shù)學文化為支撐，本質(zhì)要求理論與實際相互印證.通過數(shù)學建模，可以促進數(shù)學和其他學科、數(shù)學和文化的高度融合，并通過數(shù)學模型使得數(shù)學成為改造、理解、描繪、創(chuàng)造現(xiàn)實世界的一種力量.學生學習、掌握數(shù)學模型有利于打通數(shù)學通向文化的通道，對學生學習數(shù)學將起到固本培元的作用.在數(shù)學建模過程中，學生接觸的是生動的、充滿活力的數(shù)學知識，經(jīng)歷的是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，感悟的是數(shù)學的理性精神，收獲的是知識、能力及素質(zhì)的迅速成長，看到的是數(shù)學的廣闊空間，影響的是發(fā)展空間更廣.

2 數(shù)學建模以數(shù)學實踐為著力點，推動學生養(yǎng)成理論聯(lián)系實際的學習作風，讓學生學習的動力更強

從辯證唯物觀點看，數(shù)學作為對客觀世界的一種認識，遵循著實踐——認識——再實踐的認識過程，也就是說數(shù)學發(fā)展的根本動力或源泉是實踐.數(shù)學家馮·諾意曼認為，“數(shù)學思想來源于經(jīng)驗，我想這一點是比較接近真理的，真理實在太復雜了，對之只能說接近，別的都不能說，……換句話說，在距離經(jīng)驗本源很遠很遠的地方，或者在多次‘抽象的’近親繁殖之后，一門數(shù)學學科就有退化的危險.……總之，每當?shù)搅诉@種地步時，在我看來，唯一的藥方就是為重獲青春而返本求源:重新注入多少直接來自經(jīng)驗的思想.我相信，這是使題材保持清新與活力的必要條件，即使將來，這也是同樣正確的.”[5]數(shù)學教育應返璞歸真，真實反映數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的原本過程，讓數(shù)學回歸經(jīng)驗、回到具體的情形，在純數(shù)學和應用科學之間建立有機的結合，在抽象的共性和豐富多彩的個性之間建立牢固的平衡，這是數(shù)學獲得源源不斷的發(fā)展動力的所在.

從教育角度看，數(shù)學教學正處于嚴重的“脫離實際”的危險之中，直接對學生學習數(shù)學的動力構成嚴重的威脅.李大潛院士[6]表示，“數(shù)學原來的教學是有缺陷的.過去數(shù)學教學有天衣無縫的數(shù)學體系，看起來很美，但忽略了來龍去脈，成為一個封閉的體系”.“美的缺陷”只看到數(shù)學抽象、嚴謹?shù)男问教卣?，卻割裂了數(shù)學與外部世界的聯(lián)系，使得學生認為數(shù)學是定義、規(guī)則和演繹法的游戲，以至于學生不會把具體問題數(shù)學化，即便要求他們運用數(shù)學知識解決哪怕十分簡單的實際問題也會手足無措、一籌莫展，既沒有動力也沒有目標.教學應徹底改變這種僵化狀態(tài)，可靠的、甚至唯一的路徑就是順勢而為，著力反映生動的數(shù)學實踐.在此基礎上，因勢而謀，把數(shù)學建模貫穿于數(shù)學的各門學科作為謀劃學生發(fā)展的重要舉措.因為，“只有在以達到有機整體為目標的前提下，以及在內(nèi)在需要的引導下，自由的思維才能作出有科學價值的成果來”[7].

從學生角度看，數(shù)學建模是學生走向數(shù)學應用的必經(jīng)之路，是學生形成理論聯(lián)系實際的學風的重要途徑.數(shù)學固有的實踐性特征，決定了數(shù)學建模也是一種學習，其重要性不低于數(shù)學理論的學習.另外，學習的目的全在于應用，根本目的在于增強解決實踐問題的本領.“為學之實，固在踐履.茍徒知而不行，誠與不學無異”，說的就是學習的目的在于實踐.通常講數(shù)學學習，主要是指數(shù)學理論的學習，并認為只要掌握了數(shù)學理論，自然而然就能運用數(shù)學，這種看法是非常錯誤的.知識向能力的轉(zhuǎn)化，媒介就是實踐.數(shù)學建模既是數(shù)學應用的切口，也是數(shù)學實踐的載體.這個小切口能夠解決大問題，在數(shù)學建模中學生能真正做到“做中學”，真正認識到學以致用、用以促學、學用相長的辯證關系，從而內(nèi)化于心、外化于形，并進一步形成理論聯(lián)系實際的學習作風.

數(shù)學建模實用且充滿挑戰(zhàn)，如“血管的三維重建”、“公交車調(diào)度”、“奧運會臨時超市網(wǎng)點設計”、“長江水質(zhì)的評價和預測”等等.通過它，學生就能以一種踏石留印、抓鐵有痕的實踐方式，真正體會到“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”這句話的含義，從而促進學生對數(shù)學真正的理解與深入的獨立思考，推動學生養(yǎng)成理論聯(lián)系實際、知行合一的行為習慣，讓學生的學習動力更足、更強.

3 數(shù)學建模以數(shù)學創(chuàng)造為突破口，激勵學生樹立問題意識、求新求變的實踐態(tài)度，讓學生創(chuàng)造的活力更大

數(shù)學應用于實際問題的研究，其關鍵就在于能建立一個較好的數(shù)學模型.就其全過程來看，大體上可歸納為三個步驟.第一，對某個實際問題進行觀察、分析，把問題中的次要因素、次要關系、次要過程先撇在一邊，抽出主要因素、主要關系、主要過程，作出合理的簡化、假設;第二，確定模型建立中的變量和參數(shù)，找出所要研究問題與某種數(shù)學結構的對應關系，使這個實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題;第三，解析或近似地求解該數(shù)學問題，形成對問題的認識、判斷和預測.如果數(shù)學結果能解釋甚至預測實際問題中出現(xiàn)的現(xiàn)象，那么就可以付之試用;否則，就要重復建模過程.

由數(shù)學建模過程的分析可知，數(shù)學是科學探索的重要部分，數(shù)學建模抓住了數(shù)學依靠的兩樣東西:邏輯與創(chuàng)造，啟動了數(shù)學思維的總鑰匙.事實上，建立一個較好的數(shù)學模型，本身是一種科學探索的嘗試，是一種創(chuàng)新實踐，是一種智力的挑戰(zhàn).

首先，數(shù)學建模以強烈的問題意識為引領.問題意識在思維和學習活動中起著重要作用，具有激發(fā)、維持的功能.“疑是思之始，學之端”、“為學患無疑，疑則有進，小疑則小進，大疑則大進”等等，強調(diào)創(chuàng)新源于問題，倡導學習個體的懷疑、批判精神，這比解答問題更為重要.數(shù)學建模的問題，無一不是生產(chǎn)或生活中需要解決的問題，它的豐富的實際應用背景潛藏著學生的好奇心，為學生提出問題提供了可能.如有這樣一道題，“許多人都有過提著行李，在擁擠的登機隊伍中慢慢等待登機的經(jīng)歷.在日益緊張的生活節(jié)奏下，如何才能合理的組織乘客登機，以實現(xiàn)時間和效率的最優(yōu)配置?”提高登機效率，按常理或者說一般的方法應是先坐后艙、再坐中艙、最后坐前艙.但是，如果沿著這一傳統(tǒng)思維去建模求解，而不對“常理”進行批判，就不會有“先坐窗邊，再坐中間，最后坐過道”的方案，也意味著無法找出旅客登機時間和效率的最優(yōu)配置.

其次，數(shù)學建模以開放的數(shù)學思維為條件.問題開放促進思維開放，思維開放激活了那種被忽視了創(chuàng)造發(fā)明的要素，即那種起推導和推導作用的直觀要素:直觀和構作.數(shù)學建模的問題來自實際，往往具有一定的開放性，沒有預設的標準答案或答案不唯一，同一個問題從不同的角度去理解，會獲得不同的數(shù)學模型和求解方法.也就是說，如何把握“主要與次要”關系到假設的合理性;如何確定模型中的變量和參數(shù)，關系到所要研究問題與某種數(shù)學結構的對應關系.因此，解決問題光靠邏輯是不夠的，而要“面對復雜問題發(fā)揮學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力、想象力、洞察力以及解決問題的邏輯推理和量化分析能力”[8].

最后，數(shù)學建模以扎實的數(shù)學知識、過硬的數(shù)學能力為基礎.要建立數(shù)學模型，沒有較全面的數(shù)學基礎知識是不行的.對理工科大學生來說，微積分、線性代數(shù)和概率統(tǒng)計知識是最基本的數(shù)學知識，最優(yōu)化、組合數(shù)學、微分方程和差分方程、圖論、插值與擬合等知識也是必不可少的.比如洗衣機節(jié)水問題，怎樣洗衣才節(jié)水，若缺乏一定的數(shù)學基礎知識，學生在建立數(shù)學模型時將不知從何下手.另外，數(shù)學建模對學生能力的要求是全面的，具體地包括查閱文獻資料、分析綜合、抽象概括、語言翻譯以及熟練運用數(shù)學工具和計算機的能力.

總的說來，數(shù)學建模是培養(yǎng)學生的綜合素質(zhì)的有效途徑.因為，數(shù)學建模是一種文化，以文化的力量讓學生學到深處——切身體驗到數(shù)學和現(xiàn)實的完美結合;數(shù)學建模是一種實踐，以實踐的力量讓學生用到實處——切身體驗到學有所成、學有所用;數(shù)學建模是一種創(chuàng)造，以創(chuàng)造的力量讓學生悟到透處——切身體驗到數(shù)學的基本要素，即邏輯和直觀、分析和構作、一般性和個別性的強大合力.

[1]周遠清，姜啟源.數(shù)學建模競賽實現(xiàn)了什么[N].光明日報，2006－01－11.

[2]Naney Kopell.We get rhythm:Dynamieal sterns of the nervous system[J].Notices of the AMS，2000(47).

[3]詹姆斯·格林姆主編，鄧越凡譯.數(shù)學科學·技術·經(jīng)濟競爭力[M].天津:南開大學出版社，1992.

[4]葉其孝.把數(shù)學建模、數(shù)學實驗的思想和方法融入高等數(shù)學課的教學中去[J].工程數(shù)學學報，2003(8).

[5]中國科學院自然科學史研究所數(shù)學史組編.數(shù)學史譯文集[M].上?？茖W技術出版社，1981

[6]李大潛.中國大學生數(shù)學建模競賽[M].4版.北京:高等教育出版社，2011.

[7][美]R·柯朗 H·羅賓著.什么是數(shù)學[M].上海:復旦大學出版社，2012.

[8]陳華友.重視數(shù)學建模提高學生綜合素質(zhì)的作用[N].中國教育報，2008－10－23.