楊勇喜, 何秀鳳, 王俊杰

（1.河海大學(xué) 衛(wèi)星及空間信息應(yīng)用研究所，江蘇 南京210098）

IGS精密衛(wèi)星鐘差插值算法的精度比較與分析

楊勇喜1, 何秀鳳1, 王俊杰1

（1.河海大學(xué) 衛(wèi)星及空間信息應(yīng)用研究所，江蘇 南京210098）

采用IGS提供的30 s、5 min和15 min間隔的精密衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品，比較、分析了線性插值、拉格朗日插值、三次樣條插值和兩點(diǎn)三次埃爾米特插值等精密衛(wèi)星鐘差插值算法的精度。結(jié)果表明，線性插值精度最高，其余算法精度相當(dāng)。拉格朗日插值存在奇偶性質(zhì)，奇數(shù)階插值比相鄰偶數(shù)階精度高，插值精度隨階數(shù)的增加有降低的趨勢(shì)。鐘差插值精度與衛(wèi)星本身的鐘差抖動(dòng)程度有關(guān)，鐘差抖動(dòng)越大，精度越低。使用間隔較小的鐘差產(chǎn)品插值精度更高。

IGS；精密衛(wèi)星鐘差；線性插值；拉格朗日插值；鐘差抖動(dòng)

IGS提供的精密鐘差產(chǎn)品廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星定軌[1-3]、精密單點(diǎn)定位[4,5]等領(lǐng)域。高采樣率的精密鐘差有助于提高精密定軌的精度[2]，顯著改善精密單點(diǎn)定位精度、加快收斂速度[5]。但是，現(xiàn)階段IGS僅提供30 s、5 min 和15 min的最終鐘差產(chǎn)品，對(duì)于30 s以內(nèi)的靜態(tài)定位和高頻動(dòng)態(tài)定位（1 Hz以上）必須通過內(nèi)插得到對(duì)應(yīng)歷元的衛(wèi)星鐘差，常用的插值算法有線性插值、拉格朗日插值、樣條插值和埃爾米特插值等。張麗、楊樂、張清華、吳繼忠和任鍇等認(rèn)為線性插值精度最高[6-10]，王俊、曹鳳志等認(rèn)為兩點(diǎn)三次埃爾米特插值精度最高[11,12]，郭東美認(rèn)為樣條插值最為優(yōu)異[13]，洪櫻認(rèn)為線性插值與多項(xiàng)式插值的差距并不大[14]，雷雨建議首選拉格朗日插值方法[15]。

為比較、分析精密鐘差的插值精度，本文選取3 個(gè)鐘差變化較為典型的衛(wèi)星，采用IGS提供的30 s、5 min和15 min最終鐘差產(chǎn)品，分別用線性插值、拉格朗日插值、三次樣條插值和兩點(diǎn)三次埃爾米特插值等算法進(jìn)行鐘差插值，得出了一些有益的結(jié)論。

1 精密衛(wèi)星鐘差插值算法

1.1 線性插值

假定給定區(qū)間[xk，xk+1]及其端點(diǎn)函數(shù)值yk=f（xk），yk+1=f（xk+1），要求線性插值多項(xiàng)式L（x），使它滿足L（xk）=yk，L（xk+1）=yk+1其幾何意義就是通過（xk，yk）與（xk+1，yk+1）的直線。滿足上述條件的線性插值多項(xiàng)式為：

1.2 拉格朗日插值

已知n+1個(gè)節(jié)點(diǎn) [x0, y0],[x1, y1],[x2, y2],…,[xn, yn]（x0

則滿足式（2）的插值多項(xiàng)式可以表示為：即拉格朗日插值多項(xiàng)式。但由拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)可知，截?cái)嗾`差在靠近2端已知點(diǎn)的位置很不穩(wěn)定[16]。為得到較高精度的插值結(jié)果，可以采用滑動(dòng)區(qū)間的拉格朗日插值算法進(jìn)行鐘差插值[14]。如果已知點(diǎn)為偶數(shù)個(gè)，則保證2端各有一半的已知點(diǎn)。如果已知點(diǎn)為奇數(shù)個(gè)，則讓右（左）比左（右）邊多一個(gè)。

1.3 三次樣條插值

若函數(shù)S（x）∈C2[a，b]，且在每個(gè)小區(qū)間[xj，xj+1]上是三次多項(xiàng)式，其中a = x0

則稱S（x）為三次樣條插值函數(shù)。

1.4 兩點(diǎn)三次埃爾米特插值

IGS提供的5 min間隔精密衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品同時(shí)包含鐘差和鐘速，因此可以通過埃爾米特插值算法內(nèi)插得到30 s的衛(wèi)星鐘差[12]。其常見的形式是兩點(diǎn)三次埃爾米特插值多項(xiàng)式，插值節(jié)點(diǎn)取xk，xk+1，插值多項(xiàng)式H3（x）滿足條件：兩點(diǎn)三次埃爾米特插值多項(xiàng)式H3（x）的計(jì)算公式為：

2 結(jié)果與分析

采用IGS提供的2013-09-25（GPSWeek1759）的15 min、5 min、30 s的最終衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品進(jìn)行分析。通過比較全天GPS 15 min間隔精密鐘差變化，選取PRN05、PRN08和PRN19三顆變化較典型的衛(wèi)星，其鐘差變化如圖1。由圖可知，PRN05、PRN19衛(wèi)星的鐘差變化較平緩，而PRN08衛(wèi)星鐘差有較大抖動(dòng)。

圖1 PRN05、PRN08和PRN19精密衛(wèi)星鐘差變化

采用上述插值算法，由15 min間隔的衛(wèi)星精密鐘差插值得到5 min間隔的衛(wèi)星鐘差（15～5 min），與IGS 5 min精密鐘差對(duì)比，結(jié)果見表1。3顆衛(wèi)星精密鐘差插值誤差的中誤差見圖2（線性插值、三次樣條插值和兩點(diǎn)三次埃爾米特插值沒有階數(shù)的變化，為便于比較，與拉格朗日插值繪制在同一張圖，表現(xiàn)為直線）。由5 min間隔的衛(wèi)星精密鐘差插值得到30 s間隔的衛(wèi)星鐘差（5 min～30 s），與IGS 30 s精密鐘差對(duì)比，結(jié)果見表2。3顆衛(wèi)星精密鐘差插值誤差的中誤差見圖3。

表1 15 min精密鐘差內(nèi)插5 min鐘差與IGS 5 min精密鐘差對(duì)比/ ns

圖2 PRN05、PRN08和PRN19 15 ～5 min插值中誤差

圖3 PRN05、PRN08和PRN19 5 min～30 s 插值中誤差

表2 5 min精密鐘差內(nèi)插30 s鐘差與IGS 30 s精密鐘差對(duì)比結(jié)果/ ns

由表1可知， PRN05、PRN19兩顆衛(wèi)星各種插值算法的誤差絕對(duì)值分別小于0．5 ns、0．7 ns，中誤差均小于0．16 ns，中誤差的差異小于0．02 ns（等價(jià)距離6 mm）；PRN08衛(wèi)星各種插值算法的誤差絕對(duì)值小于1．2 ns，中誤差小于0．45 ns，中誤差的差異小于0．06 ns。因此15～5 min鐘差抖動(dòng)越大，插值誤差越大（可達(dá)ns級(jí)），對(duì)應(yīng)的中誤差越大，各種插值算法的差異也越大。

由圖2可知，15～5 min線性插值精度最高。對(duì)于PRN05，拉格朗日插值比三次樣條插值精度高。對(duì)于PRN08、PRN19，低于一定的階數(shù)，拉格朗日插值比三次樣條精度高。對(duì)比3顆衛(wèi)星插值誤差最大值、最小值變化圖（篇幅限制，未給出），拉格朗日插值表現(xiàn)出奇偶特性。如圖2中的PRN05衛(wèi)星鐘差，奇數(shù)階插值比相鄰偶數(shù)階插值精度高。隨著拉格朗日插值階數(shù)的增加，精度有降低的趨勢(shì)。

由表2可知，5 min～30 s各種插值算法的誤差絕對(duì)值比較接近，均小于0．7 ns，中誤差均小于0．2 ns，中誤差的差異均小于0．02 ns（等效距離6 mm）。因此，5 min～30 s各種插值算法的精度比15～5 min高，且插值算法間的差異更小。

由圖3可知，5 min～30 s線性插值最佳。三次樣條插值比一定階數(shù)的拉格朗日插值精度高；拉格朗日插值呈現(xiàn)出明顯的奇偶特性，且隨著階數(shù)的增加，精度有下降的趨勢(shì)。兩點(diǎn)三次埃爾米特插值與其他插值算法對(duì)比，在精度方面沒有明顯優(yōu)勢(shì)，且表現(xiàn)出很大的不穩(wěn)定性。

3 結(jié) 語

本文利用IGS提供的30 s、5 min和15 min間隔的最終精密鐘差產(chǎn)品，比較、分析了不同插值算法的精度，得出以下結(jié)論。

1）15～5 min、5 min～30 s線性插值精度最高，且算法簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高。在GNSS后處理過程中，建議采用線性插值算法得到特定歷元的精密衛(wèi)星鐘差。

2）拉格朗日插值、三次樣條插值和兩點(diǎn)三次埃爾米特插值精度相當(dāng)。拉格朗日插值算法存在奇偶性質(zhì)，奇數(shù)階插值比相鄰偶數(shù)階精度高，插值精度隨著階數(shù)的增加有降低的趨勢(shì)；兩點(diǎn)三次埃爾米特插值雖然考慮了衛(wèi)星鐘速，但是插值效果比線性插值精度要低。

3）鐘差插值精度與衛(wèi)星本身的鐘差抖動(dòng)程度有關(guān)，鐘差抖動(dòng)越大，插值誤差越大，精度越低。15～5 min插值誤差最大可達(dá)ns級(jí)，5 min～30 s插值最大誤差為亞ns級(jí)。

4）5 min～30 s插值精度相對(duì)于15～5 min插值精度高，各種插值算法精度差異小。因此，鐘差插值時(shí)建議使用高采樣率的鐘差產(chǎn)品（如30 s鐘差產(chǎn)品）。

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P228.41

B

1672-4623（2014）06-0029-04

10.3969/j.issn.1672-4623.2014.06.011

楊勇喜，碩士，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星大地測(cè)量。

2013-12-23。

項(xiàng)目來源：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（41274017、41204002、41301449）；江蘇省科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目（BE2010316）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目（CXZZ11_0451）。