白 斌，白廣忱，童曉晨，李曉穎

（1.北京航空航天大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，北京 100191；2.國家知識產(chǎn)權(quán)局專利局專利審查協(xié)作北京中心，北京 100081；3.河北聯(lián)合大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北唐山 063009）

0 引言

航空發(fā)動機(jī)是飛機(jī)的心臟，是在高溫、高壓、高轉(zhuǎn)速及嚴(yán)酷載荷工況下工作的復(fù)雜旋轉(zhuǎn)機(jī)械裝備，除了受到機(jī)械載荷和離心力等的影響外，燃?xì)鉁囟纫彩侵匾绊懸蛩?。在發(fā)動機(jī)總故障中，葉盤結(jié)構(gòu)故障約占25%，嚴(yán)重影響發(fā)動機(jī)的安全性、可靠性、穩(wěn)健性和效率等性能及對其失諧結(jié)構(gòu)識別和預(yù)測[1-14]，如Kenyon在所建立的模型中分析了2個相間裂紋葉片對葉盤結(jié)構(gòu)振動特性的影響規(guī)律（王艾倫等也做了類似研究），又采用諧波擾動法建立剪切彈簧環(huán)模型，研究了在微小失諧情況下受迫響應(yīng)的靈敏度，采用靈敏度系數(shù)法對實際葉盤結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行優(yōu)化；Bladh基于綜合模態(tài)分析法（CMS）提出減縮模型（ROM），計算了受迫響應(yīng)的概率問題，與MonteCarlo模擬方法相比，計算效率大大提高，之后又提出2次模態(tài)縮減模型（SMART），計算效率進(jìn)一步提高，但是由于經(jīng)過2次模態(tài)縮減使得計算精度嚴(yán)重降低。以上雖然對葉盤結(jié)構(gòu)進(jìn)行了不同程度的研究，但是都僅針對葉盤結(jié)構(gòu)的機(jī)械力（如諧波周期激振力、氣動力等作用下的振動情況）進(jìn)行，并沒有進(jìn)一步對模型進(jìn)行概率分析。航空發(fā)動機(jī)葉盤結(jié)構(gòu)是轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，在高轉(zhuǎn)速狀態(tài)下，離心力的影響是不能忽略的，而且會產(chǎn)生陀螺效應(yīng)，出現(xiàn)窩動現(xiàn)象，但該方面研究很少，而且沒有考慮溫度載荷這個非常重要的因素。Soize雖然考慮了離心力的影響，但建立的是非參數(shù)概率模型理論模型；Rossi等通過試驗采用基本失諧模型識別方法對單族葉盤結(jié)構(gòu)進(jìn)行了響應(yīng)的均值和方差等隨機(jī)失諧概率統(tǒng)計特性研究；王建軍等主要對剛度隨機(jī)失諧葉盤結(jié)構(gòu)模態(tài)特性進(jìn)行概率分析。上述雖然對葉盤結(jié)構(gòu)進(jìn)行了大量概率統(tǒng)計特性研究，但多數(shù)采用MC法，比較耗費時間，而在航空發(fā)動機(jī)葉盤實際工作中受到多個復(fù)雜因素的共同作用，隨著工作狀態(tài)的不同而變化，因此需綜合考慮各影響因素的隨機(jī)性，進(jìn)行概率分析。

基于以上研究的不足，本文考慮輸入變量的隨機(jī)性和不確定性，對葉盤結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布和葉盤結(jié)構(gòu)的變形進(jìn)行了概率分析。提出了1種極值響應(yīng)面法（ERSM），能在不降低計算精度前提下顯著提高計算效率，使得建立高保真實際葉盤結(jié)構(gòu)有限元模型成為可能。在分析中考慮了溫度載荷的動態(tài)性、離心力、Coriolis Forces和材料屬性的隨機(jī)性等，合理選取隨機(jī)變量，利用有限元和極值響應(yīng)面法相結(jié)合的思想進(jìn)行動態(tài)概率分析。

1 極值響應(yīng)面法基本理論

1.1 基本原理

首先，用MC法小批量抽取輸入?yún)?shù)隨機(jī)樣本，對每個樣本在分析時域[0,T]內(nèi)求解系統(tǒng)動力學(xué)方程，得到其動態(tài)輸出響應(yīng)；然后將該動態(tài)輸出響應(yīng)在分析時域內(nèi)的極值作為新的輸出響應(yīng)，稱為極值輸出響應(yīng)，構(gòu)造分析時域[0,T]內(nèi)反映輸入?yún)?shù)與極值輸出之間關(guān)系的函數(shù)——極值響應(yīng)函數(shù)，選取s組輸入隨機(jī)變量及對應(yīng)的輸出極值響應(yīng)面數(shù)據(jù)，代入極值響應(yīng)函數(shù)并確定其系數(shù)；最后利用極值響應(yīng)面函數(shù)計算系統(tǒng)的可靠度。這種方法稱為極值響應(yīng)面法。而本文是對每個抽樣樣本在分析時域[0,T]內(nèi)求解有限元模型，用該響應(yīng)函數(shù)代替有限元模型計算系統(tǒng)的動態(tài)極值輸出響應(yīng)。該方法不計算系統(tǒng)每一時刻的輸出響應(yīng)，只計算分析時域[0,T]內(nèi)不同輸入隨機(jī)變量對應(yīng)的輸出響應(yīng)極值，然后用MC法進(jìn)行抽樣，將抽樣數(shù)據(jù)代入極值響應(yīng)函數(shù)，代替有限元模型計算系統(tǒng)的動態(tài)極值輸出響應(yīng)，從而進(jìn)行系統(tǒng)的概率分析，其計算流程如圖1所示。

圖1 有限元極值響應(yīng)面法動態(tài)概率分析流程

1.2 數(shù)學(xué)模型

寫成響應(yīng)面函數(shù)形式

式中：j=1,2,3，…，M，M為樣本點數(shù)；r為輸入變量數(shù)。

式（2）或式（3）稱為極值響應(yīng)面函數(shù)，由該函數(shù)確定的輸入輸出關(guān)系曲線（或曲面）稱為極值響應(yīng)曲線（或極值響應(yīng)曲面），在求解極值響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)時，在極值輸出響應(yīng)中選取足夠數(shù)量的試驗點，將試驗點的數(shù)據(jù)代入式（2）或式（3）中，確定極值響應(yīng)面函數(shù)的系數(shù)A、B、C，得到極值響應(yīng)面函數(shù)的表達(dá)式。然后用該極值響應(yīng)面函數(shù)代替有限元模型進(jìn)行相應(yīng)概率分析。

圖2 有限元-極值響應(yīng)面法原理

2 概率分析方法

2.1 可靠度計算

概率分析用于評估模型的輸入?yún)?shù)或假設(shè)條件對輸出結(jié)果的影響，進(jìn)而確定結(jié)果的分布情況，以避免了過設(shè)計，可以對零部件在工況下的可靠性給出定量結(jié)果，以保證其安全性。在確定響應(yīng)面函數(shù)（R S F）后，若系統(tǒng)真實輸出為Y（X），則系統(tǒng)的極限狀態(tài)函數(shù)為

所以系統(tǒng)極限狀態(tài)函數(shù)g（X）的均值和方差為

由于各隨機(jī)變量相互獨立，則極限狀態(tài)函數(shù)g（X）服從高斯分布，可靠性指標(biāo)和可靠度分別為

式中：Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

2.2 靈敏度分析

可靠性靈敏度一般定義為失效概率對基本變量分布參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。令失效概率為PF，所以

則失效概率的靈敏度為

上文所獲取的可靠性靈敏度估計值只是近似的，在樣本容量很小時可靠性靈敏度估計值有很大隨機(jī)性，但依據(jù)大數(shù)定理，式（1 5）或式（1 6）的估計值隨樣本容量的增加逐漸趨于真值。為了更加清楚地了解可靠性靈敏度的收斂性和精度，需要對式（1 5）或式（1 6）中所列的數(shù)學(xué)期望和方差進(jìn)行分析，又因為各樣本之間相互獨立，所以可以以樣本均值和方差代替總體的數(shù)學(xué)期望和方差，則

3 航空發(fā)動機(jī)葉盤結(jié)構(gòu)熱傳遞分析

航空發(fā)動機(jī)渦輪葉盤的結(jié)構(gòu)變形除了受離心載荷、機(jī)械載荷和氣動力載荷等作用外，燃?xì)鉁囟鹊挠绊懸膊荒芎雎?，主要從熱傳?dǎo)和換熱和熱邊界條件等對其進(jìn)行分析[15-16]。

3.1 導(dǎo)熱微分方程

在圓柱坐標(biāo)系下，航空發(fā)動機(jī)葉盤結(jié)構(gòu)在溫度場內(nèi)，根據(jù)傅里葉定律建立3維導(dǎo)熱微分方程

式中：r、φ、z為航空發(fā)動機(jī)葉盤結(jié)構(gòu)在溫度場中點的坐標(biāo)；ρ、c分別為結(jié)構(gòu)材料的密度和比熱；kr、kφ、kz為結(jié)構(gòu)材料的導(dǎo)熱系數(shù)。

3.2 熱傳導(dǎo)分析

航空發(fā)動機(jī)葉盤結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在溫度差，即存在溫度梯度，熱量從葉盤的高溫部分傳到低溫部分且葉盤與傳動軸等相互接觸，熱量也會從高溫部件傳到低溫部件，因此滿足熱傳導(dǎo)方程，即

式中：Q為時間t內(nèi)的傳熱量或者熱流量；K為熱傳導(dǎo)系數(shù)；Thot、Tcold分別為葉盤高、低溫部分（或者高、低溫部件）溫度；d為葉盤厚度；A為葉盤側(cè)面積。

3.3 熱對流分析

由于溫差導(dǎo)致航空發(fā)動機(jī)葉盤結(jié)構(gòu)表面和與其接觸的氣流之間存在熱量的交換，因而航空發(fā)動機(jī)葉盤結(jié)構(gòu)表面發(fā)生對流現(xiàn)象，用牛頓冷卻方程描述為

式中：α為對流換熱系數(shù)；TS為葉盤表面溫度；TB為周圍氣流溫度；Re為雷諾數(shù)；ω為輪盤旋轉(zhuǎn)角速度；r為計算半徑，即計算區(qū)域的平均半徑；v為冷卻空氣動黏性系數(shù)；Va為冷卻空氣的軸向速度；V0為計算半徑處的圓周速度。

3.4 熱邊界條件

為使每個節(jié)點的熱平衡方程具有惟一解，必須附加熱邊界條件和初始條件。航空發(fā)動機(jī)計算的邊界條件有3類。

（1）給定物體邊界上的溫度，即給定葉盤表面溫度分布情況

式中：Γ為物體邊界；f（.）為已知溫度函數(shù)。

（2）給定物體邊界上的熱流，即葉盤邊界上通過葉盤表面的熱流密度為已知

（3）給定物體邊界上的換熱系數(shù)和環(huán)境溫度，通常也稱為對流換熱邊界條件，這是在葉盤的邊界上與外部介質(zhì)之間進(jìn)行的對流換熱過程，邊界上的熱交換條件為

式中：h為葉盤邊界與周圍氣流之間的換熱系數(shù)；Tf為周圍流體的溫度；Tw為結(jié)構(gòu)體邊界表面溫度；Tf為周圍流體的溫度。

3.5 初始條件

初始條件表示為

式中：T0為結(jié)構(gòu)體初始溫度。

對于葉盤結(jié)構(gòu)的某些部位（如輪盤的外緣、中心或輪轂內(nèi)徑）的溫度通常可以在技術(shù)文件中找到或者用試驗方法確定，所以可以當(dāng)作第1類邊界條件處理。在一般情況下輪盤傳給主軸的熱量很小，可忽略不計，因此可以將輪盤與主軸的連接處考慮為絕熱邊界，由于邊界上無熱量傳遞，熱流密度為零，可以視作第2類邊界條件的特殊情況。對于輪盤側(cè)表面和葉片，若已知氣流的壓力、溫度、流量等，則可根據(jù)傳熱學(xué)公式分別計算出其放熱系數(shù)，作為第3類邊界條件處理。

4 航空發(fā)動機(jī)葉盤結(jié)構(gòu)確定性分析

4.1 載荷譜計算

為了更符合實際，選取發(fā)動機(jī)從地面起動—慢車—起飛—爬升—巡航作為計算范圍，取12個關(guān)鍵點作為計算點[17]，計算載荷譜如圖3所示?？紤]動態(tài)溫度的影響、葉盤材料的非線性、導(dǎo)熱系數(shù)和非線性膨脹系數(shù)、比熱、對流換熱以及離心力、陀螺效應(yīng)等影響，對其進(jìn)行動態(tài)熱與結(jié)構(gòu)耦合分析。

圖3 載荷譜隨時間變化圖譜

4.2 葉盤結(jié)構(gòu)有限元模型

選取某型發(fā)動機(jī)第2級高壓渦輪葉盤作為研究對象，簡化其葉片的冷卻孔、輪盤的倒圓角和凸臺等，材料選為某鎳合金，則有限元模型如圖4所示。本文在研究中假設(shè)葉盤結(jié)構(gòu)為理想的周期對稱結(jié)構(gòu)，且不考慮加工誤差等，選取1個扇區(qū)作為研究對象，其有限元模型如圖5所示。

圖4 整體有限元模型

圖5 單扇區(qū)有限元模型

4.3 葉盤結(jié)構(gòu)確定性分析

根據(jù)如圖3所示的載荷譜，對圖5的扇區(qū)葉盤結(jié)構(gòu)進(jìn)行瞬態(tài)動力計算分析，得到其在離心載荷、溫度載荷和Coriolis Forces共同作用下的變形隨時間的變化規(guī)律，如圖6所示。

圖6 葉盤結(jié)構(gòu)變形隨時間的變化曲線

研究結(jié)果表明，在飛機(jī)爬升過程中轉(zhuǎn)速和燃?xì)鉁囟然具_(dá)到最大值時葉盤結(jié)構(gòu)總變形和應(yīng)力集中均達(dá)到最大值，且在切向的變形大于徑向和軸向的變形，應(yīng)力主要集中于葉片根部，而總變形發(fā)生在葉尖處，實際上產(chǎn)生該效果的主要原因是離心力、溫度和Coriolis Forces共同作用的結(jié)果，與實際相符合。取最危險節(jié)點作為研究對象，此時葉盤結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布和總變形如圖7、8所示。

圖7 葉盤結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布

圖8 葉盤結(jié)構(gòu)總變形

5 葉盤結(jié)構(gòu)變形的動態(tài)概率分析

5.1 隨機(jī)變量的選取

航空發(fā)動機(jī)葉盤在加工和實際使用中其材料參數(shù)和工作條件都存在不確定性，在動態(tài)概率分析時隨機(jī)變量的選取較穩(wěn)態(tài)時的概率分析復(fù)雜，基于有限元的概率分析為參數(shù)化建模分析，參數(shù)的選取非常重要，在此采用最值選取法，其選取過程如下：

（1）選取輸入變量X中某個變量Xi中元素的最大值，記作ximax，Xi中所有元素均除以ximax，即

（2）將輸入變量X中的所有變量，即X=（X1，X2，…，Xr）中每個變量中元素的最大值形成數(shù)組集合X?={x1max,x2max,…，xrmax}，若用Y表示X?，即Y=（y1,y2,…，yr），則X與Y各元素間仍存在對應(yīng)關(guān)系，即

（3）用ximax代替Xi中各元素來分析對輸出響應(yīng)的影響，再根據(jù)Xi中各元素與ximax間的相關(guān)性確定Xi中各元素對系統(tǒng)輸出的影響。

該方法只需考慮1類變量的最大值對輸出響應(yīng)的影響，大大減少了隨機(jī)輸入變量數(shù)，為動態(tài)概率分析提供了方便，能大大節(jié)約計算時間和提高計算效率與精度。

根據(jù)該方法選取航空發(fā)動機(jī)葉盤結(jié)構(gòu)的隨機(jī)輸入變量，包括葉盤轉(zhuǎn)速ω、燃?xì)鉁囟萾、膨脹系數(shù)al、導(dǎo)熱系數(shù)λ、對流換熱系數(shù)h、比熱容c、材料密度ρ、彈性模量E、泊松比ν，假設(shè)各變量均服從高斯分布且相互獨立，見表1。

表1 葉盤結(jié)構(gòu)隨機(jī)輸入變量及其數(shù)字特征

5.2 動態(tài)概率分析

首先建立葉盤結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布和總變形與隨機(jī)輸入變量的極限狀態(tài)方程（式（31）、(32)），同時可以得到應(yīng)力分布和總變形與任意2個輸入變量之間的極值響應(yīng)面的關(guān)系，如圖9、10所示，再利用該極限狀態(tài)方程進(jìn)行葉盤結(jié)構(gòu)總變形和應(yīng)力的概率及靈敏度分析。

圖9 應(yīng)力極值響應(yīng)面

圖10 總變形極值響應(yīng)面

極值響應(yīng)面函數(shù)代替葉盤結(jié)構(gòu)的有限元模型，利用Box-behnken矩陣抽樣法得到147組樣本點，則應(yīng)力分布和總變形樣本分布如圖11、12所示。利用MC法進(jìn)行1萬次抽樣，得到其模擬樣本歷史如圖13、14所示，累積分布函數(shù)如圖15、16所示，樣本直方圖如圖17、18所示。同時進(jìn)行逆概率分析，其結(jié)果見表2。根據(jù)表1提供的參數(shù)，當(dāng)置信區(qū)間為0.95，葉盤結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布和總變形均服從正態(tài)分布，且均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為979.24MPa、3.452mm，4.464MPa、0.242mm，可靠度R≈98.99%。

5.3 靈敏度分析

圖11 應(yīng)力樣本分布

圖12 總變形樣本分布

圖14 總變形模擬樣本

圖15 應(yīng)力累積分布函數(shù)

圖16 總變形累積分布函數(shù)

圖17 應(yīng)力樣本

圖18 總變形樣本

表2 不同可靠度（部分）下變量的極限值

靈敏度即指分析隨機(jī)輸入變量的變化對輸出參量穩(wěn)定性的影響程度，進(jìn)而決定哪些參數(shù)對可靠性失效影響較大。從式（14）～（19）中可得各隨機(jī)變量的靈敏度及其對葉盤的影響概率和應(yīng)力與總變形之間的相關(guān)性，如圖19～21所示，并見表3。

從圖20、21和表3中可見，轉(zhuǎn)速和燃?xì)鉁囟仁怯绊懭~盤結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布的最主要因素，其影響概率分別為27.40%、25.05%，而對于總變形，轉(zhuǎn)速對其影響最為明顯，影響概率為43.05%，其次為彈性模量和密度，在各變量的影響中有正負(fù)之分，正表示該變量與應(yīng)力或者總變形為正相關(guān)，而負(fù)則說明該變量可能有抑制應(yīng)力或者變形增大的作用，可見比熱容增大可能會抑制應(yīng)力的增大，而彈性模量的增大會抑制變形的增大，因此需要綜合考慮各因數(shù)，采取適當(dāng)措施來抑制應(yīng)力和變形的增大。

圖19 總變形和應(yīng)力分布相關(guān)性圖譜

圖20 應(yīng)力場靈敏度

圖21 總變形靈敏度

表3 葉盤結(jié)構(gòu)隨機(jī)輸入變量的靈敏度和影響概率

5.4 有效性驗證

為驗證ERSM的效率和精度，基于表1中的隨機(jī)輸入變量和統(tǒng)計特征及相同計算環(huán)境條件下，分別與MC法和RSM對葉盤結(jié)構(gòu)的變形進(jìn)行動態(tài)概率分析，并比較計算結(jié)果。在計算過程中，3種方法都是1萬次模擬計算，其中ERSM和RSM的抽樣次數(shù)均為147，以MC法計算為基準(zhǔn)，其對比結(jié)果見表4。

表4 3種方法概率分析結(jié)果比較

從表4中可見，與MC法相比，本文提出的極值響應(yīng)面法的計算精度和效率均高，但計算時間僅為MC法的1/68、傳統(tǒng)響應(yīng)面法的1/3。可見，F(xiàn)E-ESRM既能保證計算精度，又可大大縮短計算時間和提高計算效率。

6 結(jié)論

（1）介紹了動態(tài)概率分析的極值響應(yīng)面方法并且建立了數(shù)學(xué)模型，同時給出了可靠性計算和靈敏度分析方法。

（2）以某型發(fā)動機(jī)從地面起動—慢車—起飛—爬升—巡航過程作為計算范圍，考慮溫度載荷、離心力和Coriolis Forces的耦合作用，建立了航空發(fā)動機(jī)整體葉盤結(jié)構(gòu)限元模型，以單扇區(qū)為研究對象進(jìn)行確定性分析并且計算了輸出響應(yīng)隨時間的變化規(guī)律，找出了變形和應(yīng)力達(dá)到最大值時的節(jié)點并分析了此時的應(yīng)力和變形的變化規(guī)律。

（3）考慮了熱載荷和轉(zhuǎn)速的動態(tài)性及隨機(jī)性，以及材料的非線性等因素的影響，采用極值響應(yīng)面法對葉盤結(jié)構(gòu)的輸出響應(yīng)和應(yīng)力分布進(jìn)行了概率分析，獲得了葉盤結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和總體變形的極值響應(yīng)面，以及樣本分布、模擬樣本、歷史直方圖、累計分布函數(shù)的變化規(guī)律。

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