張春幸 劉菊花

摘 要：分析了影響銑刀桿設計的強度、剛度等諸多因素，建立了優(yōu)化選取銑刀桿結構參數(shù)的數(shù)學模型，并運用MATLAB語言對該數(shù)學模型進行求解。

關鍵字：銑刀桿；MATLAB 優(yōu)化設計

在切削加工過程中，優(yōu)化選擇切削參數(shù)的問題已成為現(xiàn)代化機械制造業(yè)中極為重要的經(jīng)濟問題之一，而傳統(tǒng)的依靠經(jīng)驗數(shù)據(jù)和查閱手冊獲取的切削參數(shù)，其生產效率低且加工成本偏高。因此，以提高切削加工效率、降低加工成本、獲得高質量產品為目的而進行的切削參數(shù)優(yōu)化的研究，對提高經(jīng)濟效益具有重要意義。銑削加工是機械加工中一種重要的、常見的方法之一。銑削加工的精度高，其加工的質量、安全性及可靠性與諸多因素有關，其中，銑刀桿的設計質量就是一個重要因素。工廠里的經(jīng)驗法，雖然基本上滿足設計要求，但卻不是最優(yōu)、最理想的設計。隨著現(xiàn)代計算機的普及和發(fā)展，以及在計算機條件下數(shù)值計算方法的成熟，為銑刀桿結構參數(shù)優(yōu)化設計提供了條件。本文通過一個銑刀桿結構參數(shù)優(yōu)化設計實例，來說明工程銑刀桿結構優(yōu)化設計的基本方法，建立優(yōu)化選取銑刀桿結構參數(shù)的數(shù)學模型，并運用當今流行的科學數(shù)學計算語言MATLAB對該數(shù)學模型進行求解。

1．問題的提出

普通銑刀桿自由端有集中載荷，即切削阻力P= 1000N，扭矩M=100N*m。懸臂伸出不小于100mm，刀桿直徑不大于50mm，己知使用的材料的許用彎曲應力120N/mm2，許用扭轉剪切應力80N/mm2，許用撓度[f]=0.1mm，彈性模量E=200000N/mm2，要求設計的銑刀桿用料最省，試確定銑刀桿的結構參數(shù)。

2．優(yōu)化模型的建立

2.1模型的基本假設及約定

銑刀桿種類繁多，但刀桿主要的設計參數(shù)應為刀桿的桿長L(mm)和刀桿的直徑D(mm)，其他的輔助參數(shù)可由已得的L、D及使用的銑刀等條件查相關手冊得到。設計變量，寫成數(shù)學表達式：

2.2模型的建立

2.2.1確定目標函數(shù)

一般的刀桿設計都是在滿足強度、剛度等的條件下，以求用料最省，即體積最小。所以，此處選刀桿體積最小為目標函數(shù)：

2.2.2確定約束條件

（1）一般來講，為保證工件與銑刀的相對位置，刀桿的長度應大于等于某個極限值 （mm），而刀桿直徑應小于等于某個極限值 （mm）：

（2）刀桿在承受彎曲和扭轉時應具有一定的強度，才能保證加工的安全性，彎曲應力應不大于材料許用應力，剪切應力不大于材料剪切應力：

（3）銑刀桿的剛度影響被加工工件表面質量等，所以，為了保證加工質量，刀桿在承受載荷時發(fā)生的撓度f應不大于許用撓度[f]：

其中 為不同的物理模型中的最大彎曲應力與L，D的函數(shù)， 為不同的物理模型中的最大剪切應力與L，D的函數(shù)， 為不同的物理模型中的最大撓度與L，D的函數(shù)。

2.2.3進行模型的抽象化處理

將上一步得到的目標函數(shù)以及約束條件進行整理，令X 為二元矩陣，令D=x1，L=x2,可得優(yōu)化選取銑刀桿結構參數(shù)的數(shù)學模型為：

注：對于不同的銑削形式，有不同的刀桿，也就對應不同的力學模型，但總可以用以上模型描述。

3．基于MATLAB優(yōu)化工具箱進行模型求解

根據(jù)上面建立的數(shù)學模型對優(yōu)化設計實例進行處理可得：

首先建立目標函數(shù)“fun.m”文件，以下是 fun 函數(shù)的語句：

%目標函數(shù)

function f=fun(x)

f=(pi*x(2)*x(1)*x(1)/4)

注：因MATLAB中不能識別下標值，故上述語句中的x（1）、x（2）即x1、x2分別代表刀桿直徑，刀桿長度。

接下來建立約束條件“mycon.m”文件，以下是“mycon.m”文件里包含的語句：

function[c,ceq]=mycon(x)

c(1)=[100000*x(2)-12*x(1)^3];

c(2)=[50000-8*x(1)^3];

c(3)=[34*x(2)^3-10*x(1)^4];

ceq=[];

注：上述語句中的c 矩陣為求解模型中的非線性約束。

最后建立求解文件“jie.m”（也可以不用建立求解文件，直接在MATLAB 的 command 窗口輸入以下語句即可），以下是 jie.m 中的語句：

x0=[50,100];

options=optimset('Largescale','on','TolCon',1e-8,'TolX',1e-8);

lb=[0,0];

A=[1,0;0,-1;-1,0];

b=[50;-100;-18.42];

Aeq=[];

beq=[];

[x,fval]=fmincon (@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,[],@mycon,options)

注：因為刀桿直徑，刀桿長度不能為負值，因此 x1、x2（亦即語句中的 x（1）、x（2））的下限值向量 lb=［0，0，0］；矩陣A、b 為不等式線性約束 g1、g2的系數(shù)矩陣，矩陣 Aeq、beq 為等式線性約束的系數(shù)矩陣。通過以上的求解得x1= 42.9408mm，x2= 100.000mm，V= 1.4482e+005mm3。

表1 優(yōu)化值與經(jīng)驗值對比結果

比較項目 D L 目標函數(shù) 性能約束

/mm /mm V(mm3)

經(jīng)驗值 45 120 1.9085e+005 11.6872 -74.5130 0.0433

優(yōu)化值 42.9408 100 1.4482e+005 0.0000 -73.2314 -0.0058

4．結論

比較優(yōu)化設計得到的結果，可以看出42.9408和100這兩個數(shù)值已經(jīng)能滿足設計要求，所以沒有必要再進行放大了。傳統(tǒng)設計法因為放大而導致了材料的浪費，而利用本文所述的優(yōu)化設計方法則可以很好地在經(jīng)濟性和安全性中求得一個最優(yōu)解。應用 MATLAB優(yōu)化設計的方法，設計者只需要通過一次計算，便可得到可靠的設計結果，因此避免了傳統(tǒng)設計方法因設計者經(jīng)驗不足而造成的過度放大，提高了效率，縮短了設計周期。設計實例的正確性和合理性充分說明該模型的正確性，而本文運用MATLAB優(yōu)化工具的求解方法亦不失為一種既簡單又科學的方法。所以，本文建立的數(shù)學模型和解決方法是實用的。

5.參考文獻

[1] 羅佑新、郭惠聽、張龍庭等，機械零件的穩(wěn)健可靠性設計[J]，農業(yè)機械學報，2002

[2]李萬祥，工程優(yōu)化設計與 MATLAB 實現(xiàn)，北京：清華大學出版社，2010

[3]吳道全、石琳，關于圓柱形球頭立銑刀結構的研究[J]，貴州工學院學報，1996

[4] 張曉紅，系列化可轉位銑刀參數(shù)化設計系統(tǒng)的研究[J]，煤炭技術，2006