閆永芳

【摘要】圖形在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中最為重要，它使學(xué)生對(duì)課本知識(shí)從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，也是培養(yǎng)學(xué)生正確地進(jìn)行思考數(shù)學(xué)問(wèn)題和準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)形結(jié)合思想的重要途徑.在數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)尤為重要.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造圖形；獨(dú)特解法；切割線定理；解決問(wèn)題

圖形在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中占有很大的比重，我們都知道幾何離不開圖形，但是代數(shù)和圖形也是分不開的，有相應(yīng)圖形的出現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題會(huì)變得尤為簡(jiǎn)單.圖形給我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題帶來(lái)很大的幫助.下面我從幾方面來(lái)說(shuō)說(shuō)圖形給我們帶來(lái)的方便.

1.探索問(wèn)題時(shí)圖形會(huì)給我們帶來(lái)獨(dú)特解法

例1 證明四邊形的內(nèi)角和等于360°.

證明這個(gè)定理，學(xué)生能夠想到用一條或兩條對(duì)角線把四邊形分割成兩個(gè)或四個(gè)三角形來(lái)證明，這種方法不錯(cuò)，但還可探索其他分割方法，以下是學(xué)生作圖找到的六種新的分割方法，是圖形給了學(xué)生很大的啟發(fā).

圖形給學(xué)生創(chuàng)造了解決問(wèn)題的思路，同時(shí)也提高了學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.要鼓勵(lì)學(xué)生標(biāo)新立異，使其用盡可能用自己的方式去解決問(wèn)題.

2.作不同的圖形一題就會(huì)有不同的解法，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

新教學(xué)大綱要求教師樹立學(xué)生發(fā)展的教育觀念，改革教學(xué)方法和教學(xué)手段，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，提高學(xué)生的素質(zhì)，塑造學(xué)生創(chuàng)造性的人格，現(xiàn)行數(shù)學(xué)課本中許多題內(nèi)涵豐富，對(duì)學(xué)生思維能力有不同尋常的作用和豐富的教學(xué)價(jià)值.因此在教學(xué)中要善于通過(guò)“圖形”引導(dǎo)學(xué)生的思維能力的發(fā)展.

例2 如圖，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，AD=2，AE=1，求CD的長(zhǎng).

分析1 如圖，由AD，AB分別是⊙O的切線和割線，可用切割線定理求出AB的長(zhǎng).由CB=CD，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出CD的長(zhǎng).

解法1 由切割線定理得AD2=AE·AB，

即22=1·AB，∴BC=CD.∴AB=4.

∴（CD+AD）2=CB2+42，

即（CD+2）2=CD2+42，

解得：CD=3.

分析2 在△ABC中，利用勾股定理求CD的長(zhǎng)，應(yīng)先求出⊙O的半徑，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

解法2 如圖，連接DO，則DO⊥AC，

設(shè)DO=x，則AO=x+1.

∵（x+1）2=x2+22，

∴2x=3，即x=32.

然后，在Rt△ABC中，由勾股定理求出CD的長(zhǎng).（以下同解法1，略）

分析3 尋找CD與BE的關(guān)系，也可以用面積法，即由三角形的面積公式去解.

解法3 如圖，連接OD，OD⊥AC，根據(jù)前面解法知BE=3.

∵S△ABC=S△CAO=S△COB，

∴12AB·BC=12AC·OD+12OB·BC，

即AB·BC=AC·OD+OB·BC.

∵AB=1+BE=1+2OB，AC=2+CD，BC=CD，

∴（1+2OB）·CD=（2+CD）·OB+OB·CD.

∴CD=2OB=3.

分析4 由△ADE∽△ABD可求出DBDE的值，而在Rt△CBO∽R(shí)t△BDE中CBOD=BDDE，從而可求出CB的長(zhǎng).

解法4 如圖，連接DE，DB，CO，則∠ADE=∠ABD.

∵△ADE∽△ABD，∴DEBD=ADAB.

由前面解法知AB=4，AD=2，

∴BDDE=2.

在△CBO與△BDE中，

∵∠CBO=∠BDE=90°，∠COB=∠BED （CO∥DE），

∴△CBO∽△BDE.∴BCBO=BDBE=2，

即BC=2BO=2×32=3，于是DC=BC=3.

此題用不同的作圖方法，從不同的角度，沿著不同的方向?qū)ふ覇?wèn)題的解法.在這幾種解法中，運(yùn)用了幾何圖形和初中的許多知識(shí)和方法（例如：切割線定理、勾股定理、相似三角形等），它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、廣闊性和靈活性是很有益的.

3.構(gòu)造圖形，解決問(wèn)題，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性

我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，有很多問(wèn)題利用一般的方法很難解決，于是我們要考慮能否將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，也就是構(gòu)造一個(gè)圖形來(lái)解決問(wèn)題.

例3 試求函數(shù)f（θ）=3-2cosθ-2sinθ+2+2cosθ的最小值.

分析 本題難度較大，用一般的方法不宜求解，且過(guò)程十分繁瑣，于是我們考慮將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”.

解 f（θ）=3-2cosθ-2sinθ+2+2cosθ=（cosθ-1）2+（sinθ-1）2+（cosθ+1）2+sin2θ=x+y，

則x=（cosθ-1）2+（sinθ-1）2為M（cosθ，sinθ）到點(diǎn)P（1，1）的距離，y=（cosθ+1）2+sin2θ為點(diǎn)M到點(diǎn)Q（-1，0）的距離，而點(diǎn)M（cosθ，sinθ）是單位圓上的點(diǎn)M到兩定點(diǎn)P，Q距離和的最小值.

如圖所示，當(dāng)M為PQ與單位圓的交點(diǎn)時(shí)MP+MQ有最小值，此時(shí)MP+MQ=PQ=1+22=5，即f（θ）的最小值為5.

例4 已知：0

分析 a2+b2表示以a， b為直角邊的直角三角形的斜邊，因此本題也可用幾何法解決.

解 如圖，在單位正方形中，

BD=2，OD=a2+b2，OB=（1-a）2+（1-b）2.

因?yàn)镺B+OD≥BD（當(dāng)且僅當(dāng)O在BD上時(shí)取“2”），

所以a2+b2+（1-a）2+（1-b）2≥2.

以上幾個(gè)例子都說(shuō)明圖形在數(shù)學(xué)中的重要性，在長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)基礎(chǔ)題加以研究，觸類旁通，從各個(gè)方面充分發(fā)揮學(xué)生對(duì)圖形的構(gòu)造能力.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)積極性，是我們每位數(shù)學(xué)教師的希望.同時(shí)，也使教育的功能和目標(biāo)得到更好的落實(shí).所以，圖形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中是非常重要的，我們要想辦法培養(yǎng)學(xué)生去創(chuàng)造圖形，應(yīng)用圖形來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.