武家林

【摘要】問(wèn)世于五代和北宋之交的太極圖是《周易》中太極理論在數(shù)學(xué)方面的升華版.自此，太極理論不僅有數(shù)學(xué)命題陳述，即“是故易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”（《周易·系辭》），且有圖像對(duì)于太極動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系的精確揭示和表達(dá).通過(guò)長(zhǎng)期思考和研究，論者認(rèn)為它是整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中迄今為止還未被認(rèn)識(shí)到的至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為太極公理系統(tǒng).其分析性符合西方數(shù)學(xué)分析的概念，而且表現(xiàn)更為通透，貫穿整個(gè)系統(tǒng).反言之，這個(gè)系統(tǒng)具有容納所有的數(shù)學(xué)分支理論的公理完備性.每個(gè)數(shù)學(xué)分支理論都可以在其中找到自己所處的體系位置.本文不可能就整個(gè)太極公理系統(tǒng)進(jìn)行論述.因此，本文選取了數(shù)學(xué)論域中具有經(jīng)緯貫穿性的基礎(chǔ)分支理論—極限做為本文的論題.可收見(jiàn)微知著之功效.極限是變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性概念.可以說(shuō)沒(méi)有極限就沒(méi)有變量數(shù)學(xué).然而，迄今數(shù)學(xué)的極限理論源自和定型于西方數(shù)學(xué)知識(shí)體系.它側(cè)重于極限視域和論域中推理技術(shù)方面的推理連續(xù)性和表達(dá)精確性，而在數(shù)學(xué)總體視角下對(duì)于數(shù)學(xué)整體性的思考卻明顯先天不足.在這一方面，太極公理系統(tǒng)則可以起到歐氏幾何公理系統(tǒng)所不具備的重要功能.因?yàn)樘珮O公理系統(tǒng)的圖像太極圖本身就具有整體性.只有整體性加上分析性，分析才具有體系性和貫穿性.總而言之，太極公理系統(tǒng)可以為包括極限在內(nèi)的各分支理論作出分析性的明源清流的解釋和說(shuō)明.

【關(guān)鍵詞】太極公理系統(tǒng)；歐氏幾何公理系統(tǒng)；極限；牛頓二項(xiàng)式及其展開(kāi)式；圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式；對(duì)于兩個(gè)重要極限的公理化解釋

題解 本文主題是極限理論在太極公理系統(tǒng)中的理論位置.因此，有必要對(duì)于太極公理系統(tǒng)以及極限理論這兩個(gè)概念及其相互關(guān)系稍作必要的解釋.太極公理系統(tǒng)符合西方數(shù)學(xué)界對(duì)于公理系統(tǒng)的四項(xiàng)要求，并不另搞一套規(guī)則.這四項(xiàng)要求分別是，自洽性，獨(dú)立性，完備性，和初始公理的自明性.前三項(xiàng)要求在目前通行的公理系統(tǒng)中都具備，而第四項(xiàng)要求則不都具備.第四項(xiàng)要求為亞里士多德在《工具篇》中提出.論者認(rèn)為它很重要.它是為一個(gè)公理系統(tǒng)的正當(dāng)性和合法性進(jìn)行辯護(hù)的基礎(chǔ).太極公理系統(tǒng)是以太極圖為本，通過(guò)后續(xù)的連續(xù)和分門(mén)別類(lèi)的分析，而發(fā)展成為分析體系.太極圖具有不證自明性和整體性.這是太極圖和其他數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)包括歐氏幾何公理系統(tǒng)相比所具備的獨(dú)有性質(zhì).在接踵的分析過(guò)程中太極圖的豐富內(nèi)涵得以形式化地展開(kāi)，并且通過(guò)樞紐的方式和現(xiàn)有各分支數(shù)學(xué)理論相匯通.極限理論就是樞紐的組成部分.其定義在這里不必重述和做過(guò)多的解釋.現(xiàn)在需要明確的是，極限理論處于太極公理系統(tǒng)的哪個(gè)具體位置上.在太極圖的自明性之后隨之而來(lái)的是以數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)所陳述和呈現(xiàn)出來(lái)的初始公理.太極公理系統(tǒng)初始公理內(nèi)涵有形和數(shù)兩個(gè)元素.形和數(shù)的關(guān)系就構(gòu)成了太極公理系統(tǒng)初始公理的內(nèi)容.其內(nèi)容是形數(shù)相互為根（樹(shù)形之根），形數(shù)相互分別自立，和形數(shù)相互為對(duì)方作出解釋?zhuān)珊?jiǎn)化為形數(shù)互根、分立、和互釋.在形的方面有兩個(gè)基本元素，即圓和點(diǎn).圓和點(diǎn)具有相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系.極限理論所反映的和表述的正是圓和點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系.圓和點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化現(xiàn)象滲透在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中.剛才提到極限在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有貫穿性就是指的這個(gè)特征.下面就對(duì)于極限理論在太極公理系統(tǒng)中的理論位置進(jìn)行證明.

正文

太極圖圖形.自北宋（960—1127）之后太極圖圖形因其簡(jiǎn)單易記已經(jīng)逐漸通俗到廣為人知，甚至近世達(dá)到以符號(hào)方式廣泛流播域外的程度.為了節(jié)省篇幅，本文沒(méi)有必要呈現(xiàn)出其圖形.因?yàn)?，知之者腦中已經(jīng)有之，而不知者亦易從互聯(lián)網(wǎng)中按詞索驥得到.

本文以下分為四步進(jìn)行證明.第一步，證明一個(gè)基礎(chǔ)命題，圓至大仍為圓，而圓至小則為點(diǎn).在此步提出圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式.它是其他三步證明的基礎(chǔ).第二步，證明變量數(shù)學(xué)函數(shù)重要極限之一，limx→0sinxx=1是圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式的內(nèi)向補(bǔ)充.第三步，證明變量數(shù)學(xué)重要函數(shù)極限之二，limn→∞1+1nn=e是圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式的外向擴(kuò)展.第四步，證明牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式中蘊(yùn)含著命題：無(wú)窮大點(diǎn)集的極限為圓是通往非歐幾何、級(jí)數(shù)理論、和拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ).下面逐步陳述之.

第一步.證明命題：圓至大仍為圓，而圓至小則為點(diǎn).此命題源自《莊子·天下》‘至大無(wú)外，謂之大一；至小無(wú)內(nèi)，謂之小一.圓和點(diǎn)都是太極公理系統(tǒng)中的初始概念.它們鮮明醒目地標(biāo)識(shí)在太極圖上.太極圖上有三個(gè)圓，一大兩小.大圓在太極圖的最外緣，是顯性的，而兩小則是陰陽(yáng)魚(yú)的魚(yú)頭部分，是隱性的.太極圖上的點(diǎn)分別是陰陽(yáng)魚(yú)的兩顆眼睛.太極公理系統(tǒng)中最基本的元素就是圓和點(diǎn).而太極圖中間分別開(kāi)陰陽(yáng)魚(yú)的曲線則是點(diǎn)集的一種形態(tài).

從證明的第一步，就開(kāi)始顯現(xiàn)出中西數(shù)學(xué)在起步和基礎(chǔ)層次上的分野.圓在中西數(shù)學(xué)理論中的公理性地位具有鮮明的反差.在以歐氏幾何為代表的西方數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)中，是以點(diǎn)線面體為序進(jìn)行逐步定義展開(kāi)的邏輯程序.在這個(gè)程序中，顯然缺乏基于視覺(jué)產(chǎn)生出的整體性和自明性，所以圓不在初始公理的位置上.與此不同的是，太極圖中的圓處于初始公理的位置上.順便說(shuō)一下，西學(xué)中的公理，在中學(xué)傳統(tǒng)中的對(duì)應(yīng)概念是天理.顯然，因?yàn)闆](méi)有抓住圓在初始公理中的地位，歐氏幾何公理系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間具有離散性，所謂系統(tǒng)二字對(duì)于它自身而言就是皇帝的新衣，而太極公理系統(tǒng)才真正具有系統(tǒng)性，且是動(dòng)態(tài)性的系統(tǒng)性.

以圓為中介，圓至大和點(diǎn)之間必有關(guān)系.從圓至大到點(diǎn)的變化規(guī)律由太極圖中陰陽(yáng)魚(yú)的動(dòng)態(tài)變化可以揭示出來(lái).當(dāng)然，這個(gè)動(dòng)態(tài)變化需要借助于思想者的推理活動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)和完成.

其變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為，以牛頓二項(xiàng)式為基礎(chǔ)加以適當(dāng)變化而成的等式，1（a+b）n=點(diǎn)，（n→∞）.此表達(dá)式稱(chēng)為圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式.這個(gè)公式可以用求極限的方式來(lái)表達(dá)，即limn→∞1（a+b）n=點(diǎn).

圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式中左邊分式中的分子數(shù)值1的所指是圓至大.這符合《莊子·天下》‘至大無(wú)外，謂之大一的觀點(diǎn).但是它也可以置換為任意圓.這是因?yàn)閳A的大小和其性質(zhì)無(wú)關(guān).分母是牛頓二項(xiàng)式.為了解釋清楚牛頓二項(xiàng)式在此處的理論功能，在這里必須插入一個(gè)新概念，賦義.

賦義概念為論者原創(chuàng)，是迄今數(shù)學(xué)中所沒(méi)有的.所謂賦義是指，對(duì)于代數(shù)式中的字母給予確定的形的含義，或者所指之形.它和邏輯學(xué)的賦值功能異曲同工.但是，不能把賦義和賦值合并.因?yàn)橘x義專(zhuān)門(mén)指對(duì)于代數(shù)式中字母含義中有關(guān)形的所指.這和值的概念中蘊(yùn)含數(shù)的性質(zhì)或者邏輯真值的性質(zhì)不同.在本步驟中，括號(hào)中的a和b分別賦義為太極圖中的兩個(gè)包含著次生圓的陰陽(yáng)魚(yú).而在其他情況下，a和b賦義會(huì)產(chǎn)生變化，后文中會(huì)出現(xiàn).隨著太極圓從原單位圓衍生出n次生陰陽(yáng)魚(yú)的過(guò)程不斷反復(fù)進(jìn)行，乃至無(wú)窮，此分式的極限就是所有的無(wú)窮大次生陰陽(yáng)魚(yú)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)，用極限公式表達(dá)就是，limn→∞1（a+b）n=點(diǎn).其運(yùn)算過(guò)程如下.

將圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式兩邊均除以點(diǎn)，變形為，1（a+b）np=1，分母中的p是點(diǎn)的英文詞匯point的詞頭p，使用這種方法是和通行做法接軌，指代概念點(diǎn)，然后求，當(dāng)n→∞時(shí)此式的極限，于是得1∞p=1，從這個(gè)公式可以分析出，分母∞p是無(wú)窮大點(diǎn)集，因?yàn)榇朔质降姆肿雍头帜傅谋戎档扔?.無(wú)窮大點(diǎn)集在太極圖解析中是很重要的基本概念，整理后，得∞p=1，注意！這里的1是分式的分子，不要把等式左右兩邊的1弄混，雖然數(shù)值都為1，但是，它們處于等式的不同位置，所以含義不同.根據(jù)圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式中的規(guī)定分子1就是圓至大，即∞p=圓.到此，運(yùn)算證明完畢.

這是從單位圓順?biāo)焯珮O圖中圓中有圓之圖義而求極限的過(guò)程.這個(gè)過(guò)程顯示出太極圖中的太極圓是動(dòng)態(tài)的，而不是靜態(tài)的.但是不幸的是，太極圖長(zhǎng)期以來(lái)被靜態(tài)化了.其靜態(tài)化就是一把大鎖，鎖住了橫亙?cè)谔珮O圖表象和深湛數(shù)理蘊(yùn)含之間的大鐵門(mén).太極理論不被世界數(shù)學(xué)界重視，即使據(jù)說(shuō)丹麥量子物理學(xué)家尼爾斯·玻爾對(duì)于《易經(jīng)》有所感悟1，就是源于靜態(tài)化地看待太極圖.牛頓二項(xiàng)式就是打開(kāi)這把大鎖的鑰匙，可以點(diǎn)石成金.對(duì)此，世人更是難以認(rèn)識(shí)到.

這里對(duì)于點(diǎn)的概念有三個(gè)解釋.其一，公式中的點(diǎn)符合歐氏幾何對(duì)于點(diǎn)的定義，點(diǎn)只有位置而無(wú)大小.做為圓至小無(wú)內(nèi)的極限，只留下了個(gè)位置在圓中.位置這個(gè)概念具有時(shí)空的蘊(yùn)含.其二，如剛才上面所說(shuō)，必須把太極圖視為動(dòng)態(tài)的，才具有從圓到點(diǎn)轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ).其三，只有存在著圓至大和圓至小兩個(gè)概念，點(diǎn)作為極限才能夠存在.這是踐行語(yǔ)言哲學(xué)中的基本原理，只有體系性地定義概念，概念的定義才會(huì)有效.

牛頓二項(xiàng)式，通過(guò)賦義的中介，它在太極圖演化中的描述和解釋具有形式化中樞的功能.它體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)功能理論的精髓.它也是辯證規(guī)律，‘太極分兩儀的數(shù)字化的體現(xiàn).這一點(diǎn)揭示出辯證規(guī)律隱匿在數(shù)學(xué)之中的端倪.這也是對(duì)于中國(guó)綴文形式中對(duì)仗和駢文現(xiàn)象豐富和突出的最終解釋.

牛頓二項(xiàng)式的問(wèn)世并非牛頓一人之功.其中有中國(guó)人，阿拉伯人，和其他歐洲同仁的功勞.而最早作出在這項(xiàng)貢獻(xiàn)的中國(guó)人賈憲（生卒年不詳，大約生活于十一世紀(jì)的北宋）和楊輝（生卒年亦不詳，大約生活于十三世紀(jì)）已經(jīng)被載入數(shù)學(xué)史中.此處特別提到這他們并不是為了爭(zhēng)奪二項(xiàng)式的發(fā)明權(quán).這樣做沒(méi)有任何意義.提到他們是因?yàn)檎撜哂幸粋€(gè)猜測(cè)：他們的三角理論如果有所本，或者受到什么啟迪，和有什么深厚思想傳承，那么就非太極理論和太極圖莫屬.

以上所求極限可稱(chēng)為從圓至點(diǎn)的極限.這個(gè)極限可以把微積分學(xué)中的現(xiàn)有的兩個(gè)常識(shí)性重要函數(shù)極限整合統(tǒng)一起來(lái).統(tǒng)一的線索是，在從圓至點(diǎn)的極限過(guò)程中，直徑和圓周扮演著重要的角色.而在現(xiàn)今的數(shù)學(xué)分析中，它們的角色遠(yuǎn)沒(méi)有這么重要.

第二步，先證明推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單些的重要極限一，limx→0sinxx.這個(gè)極限可以說(shuō)是圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式的內(nèi)向補(bǔ)充.在以下的陳述中必須提到上文中已經(jīng)提到的形和數(shù)兩個(gè)初始概念.在圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式中，數(shù)學(xué)公式起著臺(tái)前作用，而形隱匿在臺(tái)后，通過(guò)賦義后才為人所知.兩者處于分立狀態(tài).在目前這個(gè)極限中，sinx使形走到臺(tái)前來(lái)，直接顯示出太極圖中所蘊(yùn)含的形數(shù)互釋原理.sinx的構(gòu)成要素就有直徑和圓周.只不過(guò)，這種現(xiàn)象為人熟視無(wú)睹而已.

依據(jù)一般教科書(shū)中的講義，這個(gè)分式中的分子sinx在三角函數(shù)中其對(duì)邊變量值由y軸的數(shù)值顯示，即sinx=y.進(jìn)行等式變換，則可得sinxy=1.這個(gè)等式實(shí)際上已經(jīng)預(yù)示著limx→0sinxx=1這個(gè)結(jié)果.但是由于分母x被定義為和sinx的圓周角相對(duì)的圓周長(zhǎng)度，而并非對(duì)邊變量本身，因此就存在著證明的必要.根據(jù)這個(gè)解釋?zhuān)梢园褑?wèn)題在本質(zhì)不變而現(xiàn)象改變的情況下變成正弦曲線中的極值和π2長(zhǎng)的圓周之間的比值.這樣就可以提供另外一條證明的思路.它是這樣的.

在圓中從無(wú)窮條直徑中取任一直徑，圍繞直徑有條以2π為周期的正弦曲線.這條正弦曲線上存在著兩個(gè)極值，均在π2處，現(xiàn)在只觀察其中一個(gè)足夠.這意味著只觀察半徑和半個(gè)曲線之間的聯(lián)動(dòng)變化關(guān)系.令正弦曲線極值逐漸變小，趨向于零，伴隨現(xiàn)象是原初僅有2π周期的正弦曲線變?yōu)?nπ（n→∞）周期的正弦曲線，這意味著所有數(shù)量以幾何級(jí)數(shù)遞增的正弦曲線的所有極值同時(shí)不斷縮短和直徑間的距離，在到達(dá)極限時(shí)，曲線不成其為曲線，成為和直徑一樣長(zhǎng)短的線段.這個(gè)結(jié)果用極限公式表達(dá)就是：limx→0sinxx=1，這里的1是正弦曲線在到達(dá)極限時(shí)與直徑的比值.對(duì)于這個(gè)結(jié)論還要做進(jìn)一步的解釋.否則因?yàn)槠渲杏辛酥脫Q，因而產(chǎn)生出是否增加了變?cè)囊蓡?wèn).如果是，就使剛才的證明歸于無(wú)效.

在這個(gè)證明中，π2長(zhǎng)的圓周實(shí)際上處于以曲線為形式的圓周上，因此沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的改變，仍然是分母x.被置換了的是分子sinx.置換過(guò)程推導(dǎo)如下.sinx=y.正弦曲線的極值是y值在π2弧度角時(shí)的特殊值.這里的置換沒(méi)有增加變?cè)膯?wèn)題.問(wèn)題是，在直徑處是否增加了變?cè)?？首先直接給出答案.直徑是從極值趨向無(wú)窮小時(shí)的極限現(xiàn)象.如果說(shuō)在直徑處有變?cè)?，那么也是極值變化的結(jié)果，和圓至大可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)同理，這是內(nèi)生性變?cè)?，而非外生性變?cè)?理解內(nèi)生變?cè)恼?dāng)性需要上面圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式的內(nèi)涵來(lái)解釋.

上面指出圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式的背景是陰陽(yáng)魚(yú)幾何倍數(shù)的遞增.如果仔細(xì)觀察，這個(gè)遞增過(guò)程是在直徑上發(fā)生的.這是因?yàn)?，最初的兩只陰?yáng)魚(yú)的魚(yú)眼處在一條直徑之上，所以所有遞增的陰陽(yáng)魚(yú)都處在同一直徑上.陰陽(yáng)魚(yú)隨著數(shù)量增多而個(gè)頭梯次縮小.圓中并非只有一條直徑，而是有無(wú)窮條直徑，所以圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化共時(shí)性地發(fā)生在每條直徑上.只不過(guò)，我們的研究專(zhuān)注在一條直徑上，且為任意一條直徑而已.以上過(guò)程實(shí)際上就是正弦曲線圍繞直徑所發(fā)生的事件.

回到相關(guān)極限的話題.從極值縮短而產(chǎn)生的直徑不是由一個(gè)點(diǎn)產(chǎn)生的，而是由無(wú)窮個(gè)點(diǎn)共同構(gòu)成的.因?yàn)樯厦嫣岬秸仪€隨著極值的縮小變?yōu)?nπ（n→∞）周期的長(zhǎng)度.也就是說(shuō)所有極值不但和直徑縮小距離而且它們之間的距離也在不斷縮小.當(dāng)極值到達(dá)其極限，極值就變?yōu)辄c(diǎn)，而且所有由極值化成的點(diǎn)因?yàn)橄嗑嗝芮卸B成一線，即產(chǎn)生了和圓至大直徑相重合的新直徑.或者更準(zhǔn)確地說(shuō)，極值的極限就坐落在直徑上.當(dāng)然，這里必須分辨開(kāi)由正弦曲線轉(zhuǎn)化而來(lái)的直徑和圓本原的直徑，它們不是同一的，是因?yàn)橹睾详P(guān)系而難以在視覺(jué)中分開(kāi).內(nèi)生變?cè)挥星€極值數(shù)量的增加，而無(wú)外生變?cè)菢淤|(zhì)的變化.所以運(yùn)算中的內(nèi)生變?cè)哂姓?dāng)性.概而言之，上面的命題說(shuō)：‘limx→0sinxx=1，這里的1是正弦曲線在極限時(shí)與直徑的比值現(xiàn)在可以判斷為沒(méi)有疑問(wèn)的結(jié)論.

以上對(duì)于limx→0sinxx=1極限的證明方法和教科書(shū)上的相比有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn).其一，具有整體直觀性，而非部分，不必利用其他的定理和規(guī)則進(jìn)行抽象推理.其二，和其他兩個(gè)圓到點(diǎn)的極限形成內(nèi)在的統(tǒng)一，使人有圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化機(jī)制的大局觀和整體觀.

這樣完成了第二步的證明.

第三步，再看證明推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜些的極限二，limn→∞1+1nn=e.根據(jù)它，還有四個(gè)重要的推論隨后衍生.這個(gè)極限可以說(shuō)是圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式的外向性擴(kuò)展，并且體用兼?zhèn)?e從形來(lái)解釋?zhuān)幱谥睆降难娱L(zhǎng)線上.這是因?yàn)槔ㄌ?hào)中兩個(gè)數(shù)字1分別指代同一條直徑上的兩個(gè)半徑，各自絕對(duì)值當(dāng)然是1，其和應(yīng)是2.

賦義的問(wèn)題在這里的解釋中又產(chǎn)生了.眾所周知，代數(shù)式（1+1n）n是牛頓二項(xiàng)式的變形.其中字母a和b為什么可以變形為數(shù)值，并且都是1，必須給予交代.否則欠缺推理嚴(yán)密.不能僅以同構(gòu)作為借口.本文對(duì)于a和b的賦義是，它們都是半徑，不是第一個(gè)步驟中的陰陽(yáng)魚(yú).

賦義后的情況應(yīng)該這樣解釋?zhuān)笠粋€(gè)半徑被n分解，其不定值在和前個(gè)半徑1相加之后，它們的和被n次方.雖然，n值無(wú)法確定，但是兩個(gè)n在代數(shù)式中的不同位置上，起到相互制約作用，因此在不用確定n值和只要在n趨向無(wú)窮大的約束條件下，相互制約的結(jié)果竟然是其值等于無(wú)理數(shù)2.71828…數(shù)學(xué)界名之為超越數(shù)，即一種無(wú)理數(shù)，以符號(hào)e指代.它是自然對(duì)數(shù)的底.到此我們的思考不能算完.需要乘勢(shì)向前.

顯然根據(jù)賦義，e值大于直徑數(shù)2.如果以取整數(shù)方式用大于e值的數(shù)值，比如說(shuō)3，為直徑再做一個(gè)圓，那么e就被排列在圓內(nèi)的直徑上了.根據(jù)這一點(diǎn)，上面才說(shuō)這個(gè)極限是圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式外向性擴(kuò)展.在這個(gè)擴(kuò)展中，圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式中的圓至大必須置換為一般圓.因?yàn)橐话銏A允許圓外有圓或者圓內(nèi)有圓，而非至大無(wú)外和至小無(wú)內(nèi).這一切都未脫離太極圖圖像的蘊(yùn)含.

從對(duì)于e的擴(kuò)展性解釋?zhuān)梢援a(chǎn)生兩個(gè)重要推論.其一，π是超越數(shù)的命題可以得到解釋.其中道理很簡(jiǎn)單，以e長(zhǎng)為直徑做圓，那么，因?yàn)閑為超越數(shù)，所以圓周和直徑比值依據(jù)運(yùn)算規(guī)則必定是超越數(shù).其二，圓心位置測(cè)不準(zhǔn)定律.其理也簡(jiǎn)單.依幾何常識(shí)，圓心當(dāng)在直徑之中央，那么以e長(zhǎng)為直徑做圓，顯然無(wú)法測(cè)準(zhǔn)其直徑e，即圓心的所在.這如同無(wú)法準(zhǔn)確找到磁極兩端的中央所在同理.保證這兩個(gè)推理成立的重要根據(jù)是e的導(dǎo)數(shù)衡為e，即e的不變性和恒定性.這里需要注意，測(cè)不準(zhǔn)不等于畫(huà)不出.解釋如下.

測(cè)出是用數(shù)字表達(dá)出的測(cè)量結(jié)果.畫(huà)出是以直尺和圓規(guī)畫(huà)出準(zhǔn)確的位置.任意畫(huà)條水平直線段，以直線段兩端為圓心與小于直線段總長(zhǎng)和大于直線段半長(zhǎng)的線段為半徑各畫(huà)一個(gè)等圓，兩圓必定相交，產(chǎn)生上下兩點(diǎn)，兩交點(diǎn)的連線和直線段垂直相交之處即是以直線段為直徑做圓的準(zhǔn)確圓心.

從以上兩個(gè)推論還可以得到第三個(gè)推論.那就是π和e同時(shí)刻畫(huà)了圓所具有的無(wú)理數(shù)性質(zhì)，它們之間具有內(nèi)在的統(tǒng)一性.至于統(tǒng)一性是什么，只能在以后的系列論文中再予交代了.

第四個(gè)推論是圓心測(cè)不準(zhǔn)定律和量子力學(xué)中的測(cè)不準(zhǔn)定理具有形而上和形而下相互參照和印證的功能.數(shù)學(xué)和力學(xué)之間的緊密關(guān)系超過(guò)了現(xiàn)在對(duì)于其程度的認(rèn)識(shí).

第四步.在上面三步的證明中，證明的核心是圓和點(diǎn)的動(dòng)態(tài)關(guān)系.而在第四步中，核心則是圍繞圓形和非圓形之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系展開(kāi).

雖然證明步驟中的核心有所改變，但是牛頓二項(xiàng)式的形式化解析中樞功能依舊.

在第一步中，在圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式的推理中得到等式，∞p=1，即無(wú)窮大點(diǎn)集的極限是圓.這個(gè)等式從習(xí)慣來(lái)看有些奇怪.這恰恰說(shuō)明在習(xí)慣中漠視了形數(shù)之間互根的緊密關(guān)系.只重視了數(shù)，而漠視了形.在本步驟中對(duì)于牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式的分析就能夠進(jìn)一步揭示形數(shù)互根的原理.

來(lái)看牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式標(biāo)準(zhǔn)式，（a+b）n=∑ni=0cinaibn-i.標(biāo)準(zhǔn)式的左邊是牛頓二項(xiàng)式，右邊是二項(xiàng)式展開(kāi)式.式中所有系數(shù)的組合形成帕斯卡三角.從太極公理系統(tǒng)的視角看，這個(gè)等式的蘊(yùn)含就是圓形和內(nèi)接三角形相等.這個(gè)判斷太奇怪了！有無(wú)這種可能？有.首先是有據(jù)可查.等號(hào)是明證.其中的奧秘需要揭示.那么，就請(qǐng)看下面的解密.

圓形等于三角形這個(gè)判斷需要加以精確化.需要在兩個(gè)地方精確化.其一，只有在式中的n趨向無(wú)窮大時(shí)的約束條件下，其二，圓的周長(zhǎng)和圓內(nèi)接三角形的三邊和等長(zhǎng)，而并非模糊地相等.其證明推理過(guò)程如下.

把牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式標(biāo)準(zhǔn)式，（a+b）n=∑ni=0cinaibn-i，變換為，（a+b）n∑ni=0cinaibn-i=1，?。╪→∞）時(shí)的極限，這是∞∞型不定式.可以看出，它是圓點(diǎn)轉(zhuǎn)化公式進(jìn)一步的擴(kuò)展.現(xiàn)在需要對(duì)于牛頓二項(xiàng)式進(jìn)行第三次賦義.在做為分子的牛頓二項(xiàng)式括號(hào)中的a和b是直徑兩端與圓周相交的兩個(gè)偶序點(diǎn)；分母中的a和b賦義同于分子的.每點(diǎn)數(shù)值為1.進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到分式2n∑ni=0cin.在n→∞的條件下，分子和分母都是無(wú)窮大，根據(jù)∞∞不定式運(yùn)算規(guī)則，就有2n∑ni=0cin=1.

代數(shù)方面的證明完畢.下面需要證明其形釋.

從形的方面來(lái)理解牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式，就是它以數(shù)的方式來(lái)證明歐氏幾何中三點(diǎn)定一圓的公理.證明過(guò)程中，首先需要無(wú)窮大點(diǎn)集的存在，其次把圓周和圓內(nèi)接三角形都看作點(diǎn)集，最后求這兩個(gè)點(diǎn)集在趨向無(wú)窮大時(shí)，它們所形成的比值極限.從上面的分子和分母可以分別看到，分子根據(jù)對(duì)于（a+b）的賦義都是點(diǎn)，注意，點(diǎn)是形的種類(lèi)之一，而非是數(shù)，然后再賦值，都是1，而2n在n→∞時(shí)就是無(wú)窮大點(diǎn)集.而分母也是無(wú)窮大點(diǎn)集.兩個(gè)無(wú)窮大點(diǎn)集的比值自然是1.要解釋清楚為何內(nèi)接三角形的無(wú)窮大點(diǎn)集可以與圓周相等需要非歐幾何基礎(chǔ)觀點(diǎn)和集合論中無(wú)窮比較的知識(shí).

先說(shuō)非歐幾何基礎(chǔ)觀點(diǎn)的解釋作用.在非歐坐標(biāo)系中，三角形的內(nèi)角和不是1800，可以大于或者小于，這樣三角形的三個(gè)角可以同時(shí)是鈍角，或者銳角.如果圓內(nèi)接三角形的三個(gè)角同時(shí)是鈍角，那么其極限就是圓周，如果同時(shí)是銳角其極限就是圓心.這是因?yàn)樵诮嵌茸兇螅蛘咦冃r(shí)，邊長(zhǎng)也在隨之同向變化，變化的兩個(gè)相反結(jié)果必然其極限是圓周和圓心.從非歐幾何的觀念，牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式等式的兩邊在無(wú)窮大的變化條件下它們之間的極限是1，這個(gè)命題可以算作功德圓滿(mǎn)證明完畢.但是這個(gè)命題還可以進(jìn)一步伸說(shuō).

再說(shuō)集合論中無(wú)窮比較的解釋作用.其實(shí)即使不使用非歐幾何工具，圓內(nèi)接三角形和圓周之間也可以通過(guò)集合論中無(wú)窮比較方法得到同勢(shì)的結(jié)論.因?yàn)椴徽搱A周還是內(nèi)接三角形三邊之和都是無(wú)窮大點(diǎn)集.做為無(wú)窮大點(diǎn)集，它們之間就具有同勢(shì)的性質(zhì).兩個(gè)同勢(shì)的點(diǎn)集自然其比值等于1.

還可以進(jìn)一步擴(kuò)大圓內(nèi)其他構(gòu)件同勢(shì)的范圍.除了剛才已經(jīng)提到的兩個(gè)之外，即圓周和內(nèi)接三角形三邊之和，在同勢(shì)的名單中，還可以加入直徑無(wú)窮大點(diǎn)集和陰陽(yáng)魚(yú)無(wú)窮大集.這樣圓就有四個(gè)同勢(shì)的無(wú)窮大點(diǎn)集.

對(duì)于牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式的形釋可以對(duì)于級(jí)數(shù)理論的完善有所幫助.牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式其實(shí)就是級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)理論.對(duì)比一下，牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)求和極限式中的∑ni=0cin和常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)式∑∞n=1un，兩者十分近似，只要對(duì)于其中的字母和數(shù)值加以改動(dòng)，那么兩者完全可以被統(tǒng)一進(jìn)一個(gè)體系中.但是僅憑上面兩個(gè)式子中數(shù)的相似性就斷定它們可以被統(tǒng)一進(jìn)一個(gè)體系中未免沒(méi)有什么說(shuō)服力.確實(shí)如此.不過(guò)，如果從形釋的視角來(lái)理解，那么說(shuō)服力就很強(qiáng)了.這是因?yàn)榧?jí)數(shù)理論的形的基礎(chǔ)也是割圓術(shù).而割圓術(shù)的起始點(diǎn)應(yīng)該是點(diǎn)和點(diǎn)集，是點(diǎn)集形成直徑，其次是直徑一分為二，形成正負(fù)兩個(gè)半徑.這兩步都是準(zhǔn)備階段.真正的級(jí)數(shù)起點(diǎn)是圓內(nèi)接三角形，它把圓周一分為三.然后，依次分割圓周的次序是遞增自然數(shù)串中的每一項(xiàng).在分割中形成規(guī)則性多邊形.從多邊形角度而言，三角形是其直接基礎(chǔ)，任意多邊形都可以還原為n個(gè)三角形的和數(shù).從這一點(diǎn)看，牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式完全可以把級(jí)數(shù)理論統(tǒng)一起來(lái).

另外，它同樣可以通向拓?fù)鋵W(xué).這里只能點(diǎn)到為止，不再詳論.

戊.結(jié)論和知識(shí)論方面的意義：

結(jié)論有兩點(diǎn).

其一，通過(guò)以上對(duì)于極限理論在太極公理系統(tǒng)中位置的形式化推理性分析的陳述，可以得出結(jié)論：極限理論處于太極公理系統(tǒng)中的基礎(chǔ)分析位置上并且貫穿整個(gè)太極公理系統(tǒng).

其二，太極公理系統(tǒng)確實(shí)是圓融通透的數(shù)學(xué)分析公理系統(tǒng).它具備統(tǒng)一極限理論的能力，因此符合公理系統(tǒng)的完備性，而非歐氏幾何系統(tǒng)不具備.從這個(gè)結(jié)論可以判斷出，太極公理系統(tǒng)比歐氏幾何公理系統(tǒng)更基礎(chǔ)，同時(shí)具有至簡(jiǎn)的優(yōu)良品質(zhì).

最后，提示一點(diǎn)，從太極公理系統(tǒng)還可以直接分析出其他基礎(chǔ)分支理論，例如坐標(biāo)系理論.其實(shí)，只要稍加留意，就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的圖像中存在著圓包裹著笛氏坐標(biāo)系的現(xiàn)象.對(duì)于太極公理系統(tǒng)的分析潛力的全面認(rèn)識(shí)需要系列論文或者專(zhuān)著一一揭示出來(lái).

知識(shí)論方面的意義：上個(gè)世紀(jì)在西學(xué)東漸的大潮中，中國(guó)原型知識(shí)體系在世界知識(shí)領(lǐng)域中的話語(yǔ)權(quán)處于風(fēng)雨飄搖的下滑慘境.太極理論和太極圖中的深刻數(shù)理蘊(yùn)含在本論文中的揭示，則將徹底改變中學(xué)在近世界一體化進(jìn)程中的軟實(shí)力方面的歷史頹勢(shì).整個(gè)文明史證明和證實(shí)，數(shù)學(xué)是所有門(mén)類(lèi)知識(shí)的基礎(chǔ).套用和翻新弗蘭西斯·培根的名言，我們可以這樣斷言，數(shù)學(xué)知識(shí)就是最偉大的力量.當(dāng)今的中國(guó)知識(shí)界應(yīng)該全身心擁抱被自己百年前棄之如敝屣的自家珍貴數(shù)理資源，太極和八卦.八卦已經(jīng)在兩百余年前被萊布尼茲發(fā)掘出其知識(shí)價(jià)值，那么太極呢？站在高端和深邃的八卦太極數(shù)理平臺(tái)上，中國(guó)和世界就會(huì)迎來(lái)更美好的明天.

【參考文獻(xiàn)】

[1]見(jiàn)《百術(shù)吧》丹麥物理學(xué)家玻爾和《易經(jīng)》條目.