晉建廠, 王偉

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基于MATLAB PDE的變壓器二維建模和漏磁場分析

晉建廠1, 王偉2

（1. 海軍裝備部，北京 100841；2. 中國艦船研究設(shè)計中心，武漢 430064）

MATLAB提供了一個偏微分方程求解的工具箱（PDE），利用該工具可以實現(xiàn)偏微分方程類型的設(shè)定、幾何模型建立、方程求解和結(jié)果圖形化顯示。變壓器短路阻抗主要由漏磁場決定，本文通過建立變壓器的二維模型，并利用MATLAB PDE工具箱進行分析計算漏磁場，并在此基礎(chǔ)上采用能量法計算了變壓器漏磁通和短路阻抗大小，得到了短路阻抗與變壓器結(jié)構(gòu)的關(guān)系。

變壓器 短路阻抗 MATLAB PDE

0 前言

船舶電力推進系統(tǒng)一般由變壓器、變頻器及推進電機組成。變壓器的短路阻抗是變壓器的重要參數(shù)之一，該參數(shù)過大則壓降較大，影響輸出電壓；該參數(shù)過小則導致短路電流過大，不利于系統(tǒng)保護。變壓器短路阻抗主要由漏磁場決定，本文通過建立變壓器的二維模型，并利用MATLAB PDE工具箱進行分析計算漏磁場，得到了短路阻抗與變壓器結(jié)構(gòu)的關(guān)系。

1 變壓器漏磁場分析及其二維模型

變壓器中其和等于零的磁勢所建立的磁場叫做變壓器的漏磁場，本節(jié)以雙繞組變壓器為例。變壓器的磁場可以看做是由兩個部分組成，其一是勵磁磁勢建立主磁通，其二是由磁勢和為零的二次電流和一次電流負載分量建立的磁場成為漏磁場，按照全電流定律，漏磁磁勢不可能產(chǎn)生與變壓器兩個線圈都交鏈的磁通，僅可能包含與一個線圈逐次或者完全交鏈的磁通。經(jīng)過上述分析，可以知道漏磁通只交鏈一個線圈，考慮到繞組繞在芯柱上呈圓形，故認為漏磁場是一個軸對稱場，即沿著軸向?qū)ΨQ軸不同的位置(角度)漏磁場近似相等，這樣就給簡化漏磁場的分析帶來了條件，即可以把三維的漏磁場簡化為二維的情況分析，但是二維的簡化也是有選擇性的，由于芯柱是連接鐵軛構(gòu)成了鐵心窗口，所以有考慮或者不計鐵芯窗口對漏磁場影響兩種簡化方式。為了分析的方便，本文在簡化過程中，不計鐵芯的磁滯效應(yīng), 忽略鐵芯的飽和, 各向異性, 近似認為鐵芯磁導率為無窮大;且忽略變壓器繞組的各種支架、鐵芯拉板、夾件等對漏磁場的影響。下面對兩種簡化的模型進行介紹。

考慮鐵芯窗口對漏磁的影響，這樣在簡化過程中要把鐵軛表現(xiàn)出來，如圖1，圖中R1為變壓器芯柱二維模型，R4、R5為鐵芯窗口，R3、R6為變壓器A相低壓繞組，R2、R7為變壓器A相高壓繞組；B、C相與A相相同；R16為油箱。

2 MATLAB PDE工具箱介紹

MATLAB提供了一個偏微分方程求解的工具箱（PDE），利用該工具可以實現(xiàn)偏微分方程類型的設(shè)定、幾何模型建立、參數(shù)給定、邊界條件的設(shè)定、三角網(wǎng)格的劃分和細化以及方程求解和結(jié)果圖形化顯示，這是標準的有限元方法計算的流程。磁場分析的基礎(chǔ)是麥克斯韋方程組，麥克斯韋方程組有積分和微分兩種形式，針對于MATLAB PDE工具箱是一個偏微分方程的求解工具，本文主要討論了麥克斯韋方程的微分形式以及在PDE中應(yīng)用。經(jīng)過分析，在求解過程中以不同物理量建立的方程其形式和求解的難易程度不同。以場量磁感應(yīng)強度和磁場強度為直接待求量的微分方程如下：

觀察方程（4），矢量磁位在x,y,z三個方向都有自由度，這樣分析較為麻煩，針對于變壓器漏磁場的結(jié)構(gòu)特點，前文提出的變壓器的二維漏磁場分析模型，將矢量磁位的自由度由x,y,z三個方向上減少到z軸方向上。MATLAB PDE工具箱提供了兩種求解模式，一種是利用圖形用戶界面（GUI）求解，另一種是利用函數(shù)命令行的方法求解。利用GUI可以直觀、快速、準確的實現(xiàn)偏微分方程的求解，本文主要介紹應(yīng)用GUI求解模式進行變壓器磁場分析。PDE工具箱一共能夠解四種形式的偏微分方程（組），本文選擇雙曲線PDE方程：

前文已經(jīng)把求解域簡化為二維的情況，所以矢量磁位方程可以化為標量方程，矢量磁位只有在z軸上有分量，即：

將變壓器的物理特性參數(shù)與方程的系數(shù)對應(yīng)起來即可求解。本文選用的模型中，一般認為磁力線不超出變壓器油箱，磁力線又是磁位AZ的等勢線，所以這里設(shè)置其邊界條件為齊次Dirichlet條件，設(shè)置AZ在邊界上全部為零，在邊界上建立一個封閉的磁力線，由于磁力線不能交叉，所以這樣就能把求解域里的磁力線約束在油箱里面。

3 仿真結(jié)果的后處理方法

在MATLAB PDE中能夠直接輸出的是網(wǎng)格節(jié)點上的矢量磁位值（離散解），矢量磁位Az并不是最終要求解的物理量，對于磁場分析，最基本的是要求出場域上的磁感應(yīng)強度B的值，對于只有z軸分量的矢量磁位AZ來說，兩者之間的關(guān)系如下。

從上式中可以看出，需要求出矢量磁位Az在場域上的連續(xù)解，本文采用一階線性插值的方法，通過直接輸出的離散解求出矢量磁位的連續(xù)解，進而求出場域上磁感應(yīng)強度的分布。求解出磁感應(yīng)強度的分布后，就可以進行進一步的計算，本文主要計算了變壓器的短路阻抗，運用能量法計算短路阻抗，下面介紹一下其原理。對于磁場的儲能從不同的角度分析可以推導出不同的表達式，漏磁場的儲能公式可以表示為：

上式中:V為漏磁通分布三維區(qū)域。

由于變壓器的漏磁場已經(jīng)簡化為二維場來進行求解的，且經(jīng)過分析，變壓器的漏磁場是軸對稱的，即能量的求解區(qū)域為旋轉(zhuǎn)體，所以上式進行如下簡化：

考慮到有限元離散化，上式可以簡化為：

式（11）對應(yīng)于單相（或室磁場為靜態(tài)場）情況下，對于三相交變磁場則有：

上式中：U為變壓器額定相電壓（這個在計算時需要根據(jù)繞組的連接方式確定）。至此已經(jīng)分析了變壓器漏磁場簡化為二維的原理、PDE工具箱應(yīng)用模式的選擇、求解計算的原理以及關(guān)鍵參數(shù)的設(shè)置和數(shù)據(jù)的后處理方法，便可進行仿真計算和結(jié)果分析。

4 仿真結(jié)果分析

從上面的分析中可以看到，靜磁學下的橢圓形方程相對簡單，對于變壓器工頻交流磁場，屬于低頻問題，把它簡化為靜磁場求解是比較簡單的，實際仿真過程中也大大縮短了仿真時間，本文以變壓器STQK-1600/10為例建立模型進行仿真。變壓器在額定工作狀態(tài)下，其鐵芯工作在線性區(qū)，上面分析出漏磁通之交鏈于一個線圈，故認為三相之間的漏磁場分布獨立，下圖是應(yīng)用靜磁場橢圓形方程，故對B相繞組施加直流激勵所得到的仿真結(jié)果圖。

從圖2中可以一看出，磁通主要分布在鐵芯中，漏磁通占很小的部分，下面具體分析變壓器漏磁場的分布特點。圖3、圖4為高壓繞組軸向中心線上磁感應(yīng)強度軸向分量分布圖。

從圖4中可以看出，高壓繞組中心線上磁感應(yīng)強度輻向分量從下端到上端先變大、在1/4處開始變小，在1/2處反向變大，在3/4處又開始變小，并在末端反向，其分布規(guī)律在軸向具有對稱性。本次仿真模型中，低壓繞組高度約為高壓繞組的一半，其中心在一個高度上，所以在中心點處磁勢平衡，幅向磁感應(yīng)強度為0，從中心往上和往下分析，由于在同一高度上的磁勢不平衡變得越來越明顯（低壓繞組的磁勢較大），幅向漏磁逐漸變大，到達1/4和3/4處時即大約低壓繞組兩端處，磁力線發(fā)散、漏磁磁阻變大，磁感應(yīng)強度又開始變小，到達高壓繞組端部時，由于此處高壓繞組的磁勢的影響大于低壓繞組磁勢的影響，磁感應(yīng)強度開始反向，但由于端部磁力線發(fā)散、磁阻較大，磁感應(yīng)強度幅值很小。

圖5、圖6分別為低壓繞組軸向中心線上磁感應(yīng)強度軸向和幅向分量分布圖。

可以看出低壓繞組軸向中心線上磁感應(yīng)強度的分布于高壓繞組遵循相同的規(guī)律，但低壓繞組處的磁感應(yīng)強度輻向分量要大于高壓繞組同一位置，這說明由于同一高度上的磁勢不平橫對低壓繞組的影響大于高壓繞組。仿真有關(guān)結(jié)論如下：低壓繞組與高壓繞組之間的絕緣距離越短，磁阻越小，漏磁通越大，短路阻抗越大。高低壓繞組高度不一樣，會造成幅向漏磁通很大，可采用分層或者分段的方法盡量保證高低壓繞組高度一致，以減少幅向漏磁通，進而減小短路阻抗。

[1] 吳小慶. 數(shù)學物理方程[M].成都：電子科技大學出版社，2004.

[2] 蘇金明，阮沈勇，王永利. MATLAB工程數(shù)學[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.

[3] 陸君安. 偏微分方程的MATLAB解法[M]. 武漢：武漢大學出版社.

[4] 黃作英，闕沛文，陳亮. PDE工具箱實現(xiàn)偏微分方程的有限元求解. 計算機仿真, 2006, (23)9.

Analysis on Leakage Magnetic Field and Modeling for Transformer Based on MATLAB PDE

Jin Jianchang1,Wang Wei2

(1. Naval Equipment Department, Beijing 100841, china ; 2. China Ship Development and Design Center，Wuhan 430064，China)

2014-09-13

TM421

A

1003-4862（2014）11-0021-04

晉建廠(1982-), 男，本科。研究方向：船舶電力推進系統(tǒng)。