邵旭馗，王素萍，李永玲

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 慶陽 745000)

1 引言及主要結(jié)果

記Sn-1為Rn(n≥2)中的單位球面，其上裝備了Lebesgue測度dσ =dσ(z').設(shè)定義在Rn×Rn上的函數(shù)Ω∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)(r≥1)，滿足‖Ω‖L∞(Rn)×Lr(Sn-1)=

帶變量核的分?jǐn)?shù)次極大算子MΩ，α定義為

1971 年，Muckenhoupt和 Wheeden［1］研究了對于冪權(quán) ω(x)=xβ，TΩ，α的加權(quán)模不等式.Ding［2］又得到了 MΩ，α和 TΩ，α關(guān)于冪權(quán)的弱型估計.在此之后，Ding和Lu［3］又考慮了對于更一般的權(quán)函數(shù)而言，MΩ，α和TΩ，α的加權(quán)模不等式.

2009 年，Komori和 Shirai［4］首先定義了加權(quán)Morrey空間 Lp，k(ω)，它是 Lebesgue空間的一種推廣形式.他們還研究了調(diào)和分析中一些主要算子在這些加權(quán)空間上的相關(guān)性質(zhì)，類似結(jié)果可參見文獻［5-8］.受以上研究的啟發(fā)，本文考慮并證明了帶變量核的分?jǐn)?shù)次積分算子MΩ，α在加權(quán)Morrey空間Lp，k(ω)上的有界性，從而推廣了以往非變量核的結(jié)果.下面，先給出一些本文中所用的定義與記號.

設(shè) k∈ Z，令 Bk=B(0，2k)={x∈ Rn:x ≤2k}及Ck=BkBk-1，并記χk=χCk為集Ck的特征函數(shù).

定義1［4］設(shè)ω是一個權(quán)函數(shù)，定義加權(quán)Morrey 空間 Lp，k(ω)為

這里

定義2［4］設(shè)對兩個權(quán)函數(shù)u和v，定義加權(quán) Morrey 空間 Lp，k(u，v)為:

這里

本文主要結(jié)果如下:

定理1 對某個r∈(1，∞］，0＜α＜n，設(shè)Ω∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)，若

則MΩ，α是從Lp，k(ωp，ωq)到Lq，kq/p(ωq)的有界算子.

2 定理的證明

證明定理，需要以下引理:

引理1 設(shè)Ω∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)(r≥1)是一零階齊次函數(shù)且滿足(2)式，如果0＜α＜以及ω∈ A(p，q)，則分?jǐn)?shù)次極大算子 Mα是從Lp，k(ωp，ωq)到Lq，kq/p(ωq)的有界算子.引理1 的證明可參見文獻［4］.

定理1的證明:由H?lder不等式可知

令 p1=p/r'，q1=q/r'且ν= ωr'，則對于0 ＜ α ＜

同時注意到

因此由引理1可得:

至此，定理1證畢.

［1］Muckenhoupt B，Wheeden R L.Weighted norm inequalities for singular and fractionalintegrals［J］.Trans.Amer.Math.Soc.，1971，161：249-258.

［2］Ding Y.Weak type bounds for a class of rough operaters with powerweights［J］.Proc.Amer.Math.Soc.，1997，125：2939-2942.

［3］Ding Y，Lu S Z.Weighted norm inequalities for fractional integral operaters with roughkernel［J］.Canad.J.Math，1998，50：29-39.

［4］Komori Y，Shirai S.Weighted Morrey spaces and a singular integral operater［J］.Math.Nachr，2009，282：219-231.

［5］王素萍，岳曉紅，邵旭馗.變量核多線性分?jǐn)?shù)次極大算子的一致有界性［J］.安徽大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，37(4)：28-31.

［6］邵旭馗，陶雙平.帶變量核的Marcinkiewicz積分交換子的加權(quán)Lipschitz估計［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2012，32(7)：915-921.

［7］邵旭馗，陶雙平，王素萍.帶變量核的參數(shù)Marcinkiewicz積分在弱Hardy空間上的有界性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2013，42(1)：11-17.

［8］閆彥宗，邵旭馗，王素萍.變量核的Marcinkiewicz高階交換子在Hardy空間的有界性［J］.山東大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2013，48(2)：67-71.