彭曉艷

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，甘肅 蘭州 730070)

歷史上傳染病和寄生蟲(chóng)病曾給人類(lèi)社會(huì)造成過(guò)很大的災(zāi)難.近年來(lái)，一些新出現(xiàn)的傳染病也來(lái)勢(shì)兇猛，嚴(yán)重威脅人類(lèi)的生命健康.例如，2003年在中國(guó)暴發(fā)的“非典”奪走了很多人的生命.因此，大量的數(shù)學(xué)模型被用于分析各種各樣的傳染病問(wèn)題，已得到大量的結(jié)果［1-2］，但這些模型考慮的都是傳染病傳播的一般規(guī)律，考慮到疾病傳播過(guò)程中的個(gè)性差異的并不多.文獻(xiàn)［3］僅考慮了形如的非線(xiàn)性傳染率.文獻(xiàn)［4］僅考慮了形如的非線(xiàn)性傳染率.文獻(xiàn)［5］僅考慮了垂直傳染.而在現(xiàn)實(shí)生活中，垂直傳染對(duì)有些傳染病的影響是較大的，考慮疾病的垂直傳播因素具有現(xiàn)實(shí)的意義.本文在以上基礎(chǔ)上引非線(xiàn)性傳染率以及考慮垂直傳染，建立數(shù)學(xué)模型來(lái)研究其解的性態(tài)，從理論上揭示隔離對(duì)疾病的控制起到了積極的作用.

1 模型的建立

將一個(gè)地方總?cè)丝诜譃?類(lèi)，分別為易感人群S(t)、患病人群I(t)、隔離人群Q(t)和康復(fù)人群R(t).其中，A為人口的常值輸入率、人口出生率和外來(lái)人口輸入率總和;p為人口輸入率為A的人群中轉(zhuǎn)化為患者人群的概率;為非線(xiàn)性系數(shù)，d為自然死亡率;r為患病人群的恢復(fù)率;δ為隔離人群因病死亡率;α1為患病人群的因病死亡率;α2為隔離人群因病死亡率，一般不妨設(shè)α1＞α2.ε為隔離人群的治愈率.其模型建立如下:

2 模型分析

顯然有

N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)

則有

且區(qū)域Ω為方程組(1)的正不變集，0≤p＜1．

下面對(duì)p作如下討論:

若p=0，系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(舍去)

證明 首先證明無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.考慮系統(tǒng)(1)在E0處的雅克比矩陣為

則其特征方程為

即

則其特征根為

則由Hurwitz定理可知，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.

下面證明E0是全局漸近穩(wěn)定的.取V=I，則有

所以E0是全局漸近穩(wěn)定的．

證明 首先證明地方平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的，則系統(tǒng)(2)在E1處的雅克比矩陣為

則其特征方程為

其中

同理可知H3＞0，H4＞0;則方程組的所有根有負(fù)實(shí)部，因而地方病平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的.

下面證明E1是全局漸近穩(wěn)定的.

故系統(tǒng)(2)在Ω內(nèi)無(wú)閉軌線(xiàn).又E1是局部漸近穩(wěn)定的，所以地方病平衡點(diǎn)E1是全局漸近穩(wěn)定的.

若0＜p＜1，則系統(tǒng)(1)總有地方病平衡點(diǎn) E2()．其中，同上面的，并且其是全局漸近穩(wěn)定的．證明過(guò)程同E1的證明.

3 結(jié)語(yǔ)

［1］馬知恩，周義倉(cāng)，王穩(wěn)定.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.

［2］王拉娣.傳染病動(dòng)力學(xué)的模型及控制策略研究［D］.上海大學(xué)博士學(xué)位論文，2004.

［3］徐芳，栗永安，杜明銀.具有常數(shù)輸入的SEIS模型的全局漸近穩(wěn)定性［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009，24(1)：53-57.

［4］蘆雪娟，張敬，董曉紅.具有非線(xiàn)性傳染率的SEIQR流行病模型的全局穩(wěn)定性［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012，27(1)：136-144.

［5］米曉麗.一類(lèi)具有垂直傳染的SEIR傳染病模型的全局穩(wěn)定性［J］.山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，27(2)：19-22.