孫梅

概率研究的是隨機(jī)現(xiàn)象，這種現(xiàn)象不能用“因果關(guān)系”嚴(yán)格控制或準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，也不能用一些簡(jiǎn)單的定律加以概括，而需要從大量觀測(cè)中綜合分析，找出其規(guī)律性，所以培養(yǎng)同學(xué)們的綜合能力和抽象思維能力以及提高同學(xué)們的創(chuàng)造性直覺思維能力是必要的. 在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們會(huì)出現(xiàn)混淆和錯(cuò)誤，下面就這些錯(cuò)誤的成因以及解決策略進(jìn)行簡(jiǎn)單的闡述.

一、 錯(cuò)題匯集以及分析

易錯(cuò)點(diǎn)一：對(duì)于事件發(fā)生概率的理解不明確

例1 下列有四種說(shuō)法：

①某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是2%，那么如果買100張彩票一定會(huì)有2張中獎(jiǎng)；

②“在同一年出生的367名學(xué)生中，至少有兩人的生日是同一天”是必然事件；

③“打開電視機(jī)，正在播放少兒節(jié)目”是隨機(jī)事件；

④如果一件事發(fā)生的概率只有十萬(wàn)分之一，那么它仍是可能發(fā)生的事件.

其中，正確的說(shuō)法是（ ）.

A. ①②③ B. ①②④

C. ①③④ D. ②③④

【錯(cuò)解】A.

【學(xué)生分析】對(duì)于第一個(gè)說(shuō)法，我認(rèn)為2%的意思就是100張里會(huì)有2張中獎(jiǎng)，概率應(yīng)該是和彩票的總張數(shù)有關(guān)的；而對(duì)于第四種說(shuō)法，發(fā)生的概率太小了，所以我覺得在實(shí)際生活中就不會(huì)發(fā)生了.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于概率的值，應(yīng)該理解為大樣本容量下的理論值，而在實(shí)踐中并不一定與理論值相符合，具有隨機(jī)性；而小概率事件只能說(shuō)發(fā)生的可能性非常小，并不等同于不可能事件.

易錯(cuò)點(diǎn)二：對(duì)于可能事件的含義不理解

例2 某學(xué)校的八（1）班，有男生20人，女生24人. 現(xiàn)隨機(jī)抽一名學(xué)生，則抽到女生和男生的可能性一樣嗎？

【錯(cuò)解】一樣. 因?yàn)橐闯榈侥猩?，要么抽到女生，可能性都?.5.

【學(xué)生分析】這個(gè)問(wèn)題中只有男生和女生，各占一半的機(jī)會(huì)，但是我沒有考慮到要從全班44位同學(xué)中去抽取，而其中男生和女生的人數(shù)不同，所以抽到男生或女生的可能性也是不一樣的.

【點(diǎn)評(píng)】其實(shí)這個(gè)問(wèn)題和摸球游戲是一樣的. 摸球游戲中，為了保證摸到每一個(gè)球的可能性相同，每個(gè)球除了顏色外其他都相同. 球的總數(shù)就類似于班級(jí)中學(xué)生的總數(shù)，而男生和女生各自的人數(shù)多少?zèng)Q定了抽到男生或女生可能性的大小，并不是直接與性別有關(guān).

（1） 計(jì)算“3點(diǎn)朝上”的頻率和“5點(diǎn)朝上”的頻率.

（2） 小穎說(shuō)：“根據(jù)上述試驗(yàn)，一次試驗(yàn)中出現(xiàn)5點(diǎn)朝上的概率最大.”小紅說(shuō)：“如果投擲600次，那么出現(xiàn)6點(diǎn)朝上的次數(shù)正好是100次.”小穎和小紅的說(shuō)法正確嗎？為什么？

【錯(cuò)解】（2）正確. 可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出結(jié)論.

【學(xué)生分析】利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，60次中5點(diǎn)朝上的次數(shù)最多，因此概率也最大；6點(diǎn)朝上的概率為1/6，因此投擲600次會(huì)有100次6點(diǎn)朝上.

【點(diǎn)評(píng)】頻率是實(shí)驗(yàn)值，具有隨機(jī)性，多次重復(fù)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)也會(huì)不盡相同；而概率是理論值，在擲骰子的過(guò)程中，只要骰子的質(zhì)量是均勻的，投到1至6點(diǎn)的可能性都是相同的，都是1/6，而這也不能說(shuō)明投600次就一定有100次6點(diǎn)朝上.

易錯(cuò)點(diǎn)四：對(duì)于抽樣調(diào)查中樣本與總體之間的關(guān)系不明確

例4 一個(gè)不透明的口袋里裝有除顏色外都相同的5個(gè)白球和若干個(gè)紅球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的前提下，小亮為了估計(jì)其中的紅球數(shù)，采用如下方法：先將口袋中的球搖勻，再?gòu)目诖须S機(jī)摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中. 不斷重復(fù)上述過(guò)程. 小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球. 因此小亮估計(jì)口袋中的紅球大約有（ ）個(gè).

A. 45 B. 48 C. 50 D. 55

【錯(cuò)解】C.

【學(xué)生分析】根據(jù)題意，可以得到方程=，因此可以求出答案為50.

【點(diǎn)評(píng)】這位同學(xué)只是利用樣本具有總體特征列出了方程，而未能理解方程中各個(gè)量的具體涵義. 在摸球游戲中，摸到某種顏色球的概率與該顏色球的個(gè)數(shù)占總數(shù)的比值有關(guān)，因此在本題中，可以設(shè)紅球個(gè)數(shù)為x，列出的方程應(yīng)為：=，可求出x=45，選A.

二、 解決策略

（1） 同學(xué)們可充分利用身邊感興趣的問(wèn)題作為研究素材，多親身經(jīng)歷，學(xué)會(huì)自己總結(jié)、分析，試著用自己的語(yǔ)言表述，逼近定義，這樣引出的新概念才容易理解.

（2） 同學(xué)們要?jiǎng)邮植僮?，反?fù)試驗(yàn)，親身經(jīng)歷“猜測(cè)-試驗(yàn)并收集試驗(yàn)數(shù)據(jù)-分析試驗(yàn)結(jié)果”的活動(dòng)過(guò)程，揣摩感悟，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，參與游戲規(guī)則的制定或修訂，逐步體會(huì)事件發(fā)生的等可能性及游戲的公平性.

概率的內(nèi)容相對(duì)比較抽象，其中包含豐富的隨機(jī)性以及隨機(jī)中有規(guī)律性的辯證思維. 從同學(xué)們的思維發(fā)展情況看，初中階段只是辯證思維的萌芽，還很不成熟，因此同學(xué)們要正確看待錯(cuò)誤，結(jié)合生活事例多理解，不可急于求成.

（作者單位：江蘇省常州市新閘中學(xué)）

概率研究的是隨機(jī)現(xiàn)象，這種現(xiàn)象不能用“因果關(guān)系”嚴(yán)格控制或準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，也不能用一些簡(jiǎn)單的定律加以概括，而需要從大量觀測(cè)中綜合分析，找出其規(guī)律性，所以培養(yǎng)同學(xué)們的綜合能力和抽象思維能力以及提高同學(xué)們的創(chuàng)造性直覺思維能力是必要的. 在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們會(huì)出現(xiàn)混淆和錯(cuò)誤，下面就這些錯(cuò)誤的成因以及解決策略進(jìn)行簡(jiǎn)單的闡述.

一、 錯(cuò)題匯集以及分析

易錯(cuò)點(diǎn)一：對(duì)于事件發(fā)生概率的理解不明確

例1 下列有四種說(shuō)法：

①某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是2%，那么如果買100張彩票一定會(huì)有2張中獎(jiǎng)；

②“在同一年出生的367名學(xué)生中，至少有兩人的生日是同一天”是必然事件；

③“打開電視機(jī)，正在播放少兒節(jié)目”是隨機(jī)事件；

④如果一件事發(fā)生的概率只有十萬(wàn)分之一，那么它仍是可能發(fā)生的事件.

其中，正確的說(shuō)法是（ ）.

A. ①②③ B. ①②④

C. ①③④ D. ②③④

【錯(cuò)解】A.

【學(xué)生分析】對(duì)于第一個(gè)說(shuō)法，我認(rèn)為2%的意思就是100張里會(huì)有2張中獎(jiǎng)，概率應(yīng)該是和彩票的總張數(shù)有關(guān)的；而對(duì)于第四種說(shuō)法，發(fā)生的概率太小了，所以我覺得在實(shí)際生活中就不會(huì)發(fā)生了.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于概率的值，應(yīng)該理解為大樣本容量下的理論值，而在實(shí)踐中并不一定與理論值相符合，具有隨機(jī)性；而小概率事件只能說(shuō)發(fā)生的可能性非常小，并不等同于不可能事件.

易錯(cuò)點(diǎn)二：對(duì)于可能事件的含義不理解

例2 某學(xué)校的八（1）班，有男生20人，女生24人. 現(xiàn)隨機(jī)抽一名學(xué)生，則抽到女生和男生的可能性一樣嗎？

【錯(cuò)解】一樣. 因?yàn)橐闯榈侥猩?，要么抽到女生，可能性都?.5.

【學(xué)生分析】這個(gè)問(wèn)題中只有男生和女生，各占一半的機(jī)會(huì)，但是我沒有考慮到要從全班44位同學(xué)中去抽取，而其中男生和女生的人數(shù)不同，所以抽到男生或女生的可能性也是不一樣的.

【點(diǎn)評(píng)】其實(shí)這個(gè)問(wèn)題和摸球游戲是一樣的. 摸球游戲中，為了保證摸到每一個(gè)球的可能性相同，每個(gè)球除了顏色外其他都相同. 球的總數(shù)就類似于班級(jí)中學(xué)生的總數(shù)，而男生和女生各自的人數(shù)多少?zèng)Q定了抽到男生或女生可能性的大小，并不是直接與性別有關(guān).

（1） 計(jì)算“3點(diǎn)朝上”的頻率和“5點(diǎn)朝上”的頻率.

（2） 小穎說(shuō)：“根據(jù)上述試驗(yàn)，一次試驗(yàn)中出現(xiàn)5點(diǎn)朝上的概率最大.”小紅說(shuō)：“如果投擲600次，那么出現(xiàn)6點(diǎn)朝上的次數(shù)正好是100次.”小穎和小紅的說(shuō)法正確嗎？為什么？

【錯(cuò)解】（2）正確. 可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出結(jié)論.

【學(xué)生分析】利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，60次中5點(diǎn)朝上的次數(shù)最多，因此概率也最大；6點(diǎn)朝上的概率為1/6，因此投擲600次會(huì)有100次6點(diǎn)朝上.

【點(diǎn)評(píng)】頻率是實(shí)驗(yàn)值，具有隨機(jī)性，多次重復(fù)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)也會(huì)不盡相同；而概率是理論值，在擲骰子的過(guò)程中，只要骰子的質(zhì)量是均勻的，投到1至6點(diǎn)的可能性都是相同的，都是1/6，而這也不能說(shuō)明投600次就一定有100次6點(diǎn)朝上.

易錯(cuò)點(diǎn)四：對(duì)于抽樣調(diào)查中樣本與總體之間的關(guān)系不明確

例4 一個(gè)不透明的口袋里裝有除顏色外都相同的5個(gè)白球和若干個(gè)紅球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的前提下，小亮為了估計(jì)其中的紅球數(shù)，采用如下方法：先將口袋中的球搖勻，再?gòu)目诖须S機(jī)摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中. 不斷重復(fù)上述過(guò)程. 小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球. 因此小亮估計(jì)口袋中的紅球大約有（ ）個(gè).

A. 45 B. 48 C. 50 D. 55

【錯(cuò)解】C.

【學(xué)生分析】根據(jù)題意，可以得到方程=，因此可以求出答案為50.

【點(diǎn)評(píng)】這位同學(xué)只是利用樣本具有總體特征列出了方程，而未能理解方程中各個(gè)量的具體涵義. 在摸球游戲中，摸到某種顏色球的概率與該顏色球的個(gè)數(shù)占總數(shù)的比值有關(guān)，因此在本題中，可以設(shè)紅球個(gè)數(shù)為x，列出的方程應(yīng)為：=，可求出x=45，選A.

二、 解決策略

（1） 同學(xué)們可充分利用身邊感興趣的問(wèn)題作為研究素材，多親身經(jīng)歷，學(xué)會(huì)自己總結(jié)、分析，試著用自己的語(yǔ)言表述，逼近定義，這樣引出的新概念才容易理解.

（2） 同學(xué)們要?jiǎng)邮植僮?，反?fù)試驗(yàn)，親身經(jīng)歷“猜測(cè)-試驗(yàn)并收集試驗(yàn)數(shù)據(jù)-分析試驗(yàn)結(jié)果”的活動(dòng)過(guò)程，揣摩感悟，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，參與游戲規(guī)則的制定或修訂，逐步體會(huì)事件發(fā)生的等可能性及游戲的公平性.

概率的內(nèi)容相對(duì)比較抽象，其中包含豐富的隨機(jī)性以及隨機(jī)中有規(guī)律性的辯證思維. 從同學(xué)們的思維發(fā)展情況看，初中階段只是辯證思維的萌芽，還很不成熟，因此同學(xué)們要正確看待錯(cuò)誤，結(jié)合生活事例多理解，不可急于求成.

（作者單位：江蘇省常州市新閘中學(xué)）

概率研究的是隨機(jī)現(xiàn)象，這種現(xiàn)象不能用“因果關(guān)系”嚴(yán)格控制或準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，也不能用一些簡(jiǎn)單的定律加以概括，而需要從大量觀測(cè)中綜合分析，找出其規(guī)律性，所以培養(yǎng)同學(xué)們的綜合能力和抽象思維能力以及提高同學(xué)們的創(chuàng)造性直覺思維能力是必要的. 在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們會(huì)出現(xiàn)混淆和錯(cuò)誤，下面就這些錯(cuò)誤的成因以及解決策略進(jìn)行簡(jiǎn)單的闡述.

一、 錯(cuò)題匯集以及分析

易錯(cuò)點(diǎn)一：對(duì)于事件發(fā)生概率的理解不明確

例1 下列有四種說(shuō)法：

①某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是2%，那么如果買100張彩票一定會(huì)有2張中獎(jiǎng)；

②“在同一年出生的367名學(xué)生中，至少有兩人的生日是同一天”是必然事件；

③“打開電視機(jī)，正在播放少兒節(jié)目”是隨機(jī)事件；

④如果一件事發(fā)生的概率只有十萬(wàn)分之一，那么它仍是可能發(fā)生的事件.

其中，正確的說(shuō)法是（ ）.

A. ①②③ B. ①②④

C. ①③④ D. ②③④

【錯(cuò)解】A.

【學(xué)生分析】對(duì)于第一個(gè)說(shuō)法，我認(rèn)為2%的意思就是100張里會(huì)有2張中獎(jiǎng)，概率應(yīng)該是和彩票的總張數(shù)有關(guān)的；而對(duì)于第四種說(shuō)法，發(fā)生的概率太小了，所以我覺得在實(shí)際生活中就不會(huì)發(fā)生了.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于概率的值，應(yīng)該理解為大樣本容量下的理論值，而在實(shí)踐中并不一定與理論值相符合，具有隨機(jī)性；而小概率事件只能說(shuō)發(fā)生的可能性非常小，并不等同于不可能事件.

易錯(cuò)點(diǎn)二：對(duì)于可能事件的含義不理解

例2 某學(xué)校的八（1）班，有男生20人，女生24人. 現(xiàn)隨機(jī)抽一名學(xué)生，則抽到女生和男生的可能性一樣嗎？

【錯(cuò)解】一樣. 因?yàn)橐闯榈侥猩?，要么抽到女生，可能性都?.5.

【學(xué)生分析】這個(gè)問(wèn)題中只有男生和女生，各占一半的機(jī)會(huì)，但是我沒有考慮到要從全班44位同學(xué)中去抽取，而其中男生和女生的人數(shù)不同，所以抽到男生或女生的可能性也是不一樣的.

【點(diǎn)評(píng)】其實(shí)這個(gè)問(wèn)題和摸球游戲是一樣的. 摸球游戲中，為了保證摸到每一個(gè)球的可能性相同，每個(gè)球除了顏色外其他都相同. 球的總數(shù)就類似于班級(jí)中學(xué)生的總數(shù)，而男生和女生各自的人數(shù)多少?zèng)Q定了抽到男生或女生可能性的大小，并不是直接與性別有關(guān).

（1） 計(jì)算“3點(diǎn)朝上”的頻率和“5點(diǎn)朝上”的頻率.

（2） 小穎說(shuō)：“根據(jù)上述試驗(yàn)，一次試驗(yàn)中出現(xiàn)5點(diǎn)朝上的概率最大.”小紅說(shuō)：“如果投擲600次，那么出現(xiàn)6點(diǎn)朝上的次數(shù)正好是100次.”小穎和小紅的說(shuō)法正確嗎？為什么？

【錯(cuò)解】（2）正確. 可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出結(jié)論.

【學(xué)生分析】利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，60次中5點(diǎn)朝上的次數(shù)最多，因此概率也最大；6點(diǎn)朝上的概率為1/6，因此投擲600次會(huì)有100次6點(diǎn)朝上.

【點(diǎn)評(píng)】頻率是實(shí)驗(yàn)值，具有隨機(jī)性，多次重復(fù)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)也會(huì)不盡相同；而概率是理論值，在擲骰子的過(guò)程中，只要骰子的質(zhì)量是均勻的，投到1至6點(diǎn)的可能性都是相同的，都是1/6，而這也不能說(shuō)明投600次就一定有100次6點(diǎn)朝上.

易錯(cuò)點(diǎn)四：對(duì)于抽樣調(diào)查中樣本與總體之間的關(guān)系不明確

例4 一個(gè)不透明的口袋里裝有除顏色外都相同的5個(gè)白球和若干個(gè)紅球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的前提下，小亮為了估計(jì)其中的紅球數(shù)，采用如下方法：先將口袋中的球搖勻，再?gòu)目诖须S機(jī)摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中. 不斷重復(fù)上述過(guò)程. 小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球. 因此小亮估計(jì)口袋中的紅球大約有（ ）個(gè).

A. 45 B. 48 C. 50 D. 55

【錯(cuò)解】C.

【學(xué)生分析】根據(jù)題意，可以得到方程=，因此可以求出答案為50.

【點(diǎn)評(píng)】這位同學(xué)只是利用樣本具有總體特征列出了方程，而未能理解方程中各個(gè)量的具體涵義. 在摸球游戲中，摸到某種顏色球的概率與該顏色球的個(gè)數(shù)占總數(shù)的比值有關(guān)，因此在本題中，可以設(shè)紅球個(gè)數(shù)為x，列出的方程應(yīng)為：=，可求出x=45，選A.

二、 解決策略

（1） 同學(xué)們可充分利用身邊感興趣的問(wèn)題作為研究素材，多親身經(jīng)歷，學(xué)會(huì)自己總結(jié)、分析，試著用自己的語(yǔ)言表述，逼近定義，這樣引出的新概念才容易理解.

（2） 同學(xué)們要?jiǎng)邮植僮?，反?fù)試驗(yàn)，親身經(jīng)歷“猜測(cè)-試驗(yàn)并收集試驗(yàn)數(shù)據(jù)-分析試驗(yàn)結(jié)果”的活動(dòng)過(guò)程，揣摩感悟，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，參與游戲規(guī)則的制定或修訂，逐步體會(huì)事件發(fā)生的等可能性及游戲的公平性.

概率的內(nèi)容相對(duì)比較抽象，其中包含豐富的隨機(jī)性以及隨機(jī)中有規(guī)律性的辯證思維. 從同學(xué)們的思維發(fā)展情況看，初中階段只是辯證思維的萌芽，還很不成熟，因此同學(xué)們要正確看待錯(cuò)誤，結(jié)合生活事例多理解，不可急于求成.

（作者單位：江蘇省常州市新閘中學(xué)）