李龍坤，王 鋒，張恩愫

(中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山西太原030051)

混沌、相對(duì)論、量子力學(xué)被認(rèn)為是20世紀(jì)科學(xué)史上永遠(yuǎn)銘記的三件大事，其自身固有特性亦與自然界間的許多物理現(xiàn)象密切相關(guān)?；煦缡浅霈F(xiàn)在確定的系統(tǒng)中的一種類似隨機(jī)現(xiàn)象。近年來，保密通信不斷應(yīng)用于各行各業(yè)中，而將混沌理論應(yīng)用于該領(lǐng)域已經(jīng)成為國(guó)際上課題研究的新型趨勢(shì)。對(duì)于混沌系統(tǒng)而言，它的主要特性是不可預(yù)見性和不確定性。因此要研究混沌函數(shù)的不確定性除了其自身的函數(shù)表達(dá)式外，還需對(duì)其產(chǎn)生的離散序列量化并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析研究。而混沌映射下的信號(hào)發(fā)生器正是上述研究的基礎(chǔ)。

1 Logistic映射區(qū)間分析

Logistic映射，在19世紀(jì)中葉荷蘭生物學(xué)數(shù)學(xué)家Verhulst提出，它源于一個(gè)人口統(tǒng)計(jì)的動(dòng)力學(xué)模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:Xn+1= μXn(1 － Xn)，(Xn∈［0，1］，μ∈［0，4］，n=0，1…)。由公式的定義可知，由于Xn與1－Xn相互制約此方程有界可防止無限增長(zhǎng)。對(duì)于每個(gè)確定的u，可以得到相應(yīng)的系列X0，X1，…，Xn通過對(duì)應(yīng)取值的討論，我們不難看出。當(dāng)0＜μ≤1時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)形態(tài)非常簡(jiǎn)單，只有一個(gè)周期點(diǎn)X0=0;當(dāng)1＜μ＜3時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)形態(tài)也比較簡(jiǎn)單，有兩個(gè)周期點(diǎn)0，1－1/μ;當(dāng) 3≤μ≤4時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)形態(tài)十分復(fù)雜，系統(tǒng)由倍周期通向混沌。所以，只有初值和參數(shù)在某些特定的范圍內(nèi)取值時(shí)Logistic映射才會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

下面用Matlab對(duì)Logistic映射進(jìn)行仿真。設(shè)系統(tǒng)初值為 0.6，迭代200 次，分別選取 μ =0.5，2，3.2，3.6，4 用 matlab編程仿真，畫出對(duì)應(yīng)不同μ時(shí)的Xn。

圖1 不同μ下的matlab仿真結(jié)果

進(jìn)一步研究μ的不斷變化對(duì)系統(tǒng)的影響。設(shè)系統(tǒng)初值為0.6，對(duì)μ從2.6變化到4，畫出 Logistic迭代的極限形態(tài)圖，如圖2所示，隨著μ的變化，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)形態(tài)不斷變化，最后出現(xiàn)混沌狀態(tài)。

圖2 Logistic迭代的極限形態(tài)圖

2 硬件的設(shè)計(jì)

圖3為混沌信號(hào)發(fā)生器的硬件電路連接原理圖。設(shè)置單片機(jī)輸出頻率隨機(jī)、幅度固定為0 V～5 V的信號(hào);通過對(duì)AT89C51單片機(jī)編程，定時(shí)每一次中斷將實(shí)現(xiàn)一次迭代，通過P2口為DAC0832芯片提供隨機(jī)變化的數(shù)字信號(hào)，經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換芯片后，把8位數(shù)字混沌信號(hào)轉(zhuǎn)變成模擬混沌信號(hào)，由于DAC0832的輸出信號(hào)為電流型，為使輸出信號(hào)為連續(xù)隨機(jī)模擬電壓信號(hào)，需加運(yùn)算放大器(UA741)將電流型信號(hào)轉(zhuǎn)換成單極性電壓型信號(hào)輸出，其輸出電壓Vout=Vref*(數(shù)字量/256)，取Vref=5 V。系統(tǒng)時(shí)鐘采用標(biāo)準(zhǔn)的晶體振蕩方式XT，C3，R1，R2構(gòu)成復(fù)位電路，采用 RST外接低電平信號(hào)進(jìn)行人工復(fù)位。

圖3 硬件電路連接圖

3 軟件設(shè)計(jì)

程序主要由主函數(shù)和中斷函數(shù)組成，首先將中斷和定時(shí)器初始化并設(shè)置相應(yīng)的定時(shí)器定時(shí)1 ms，而后主函數(shù)進(jìn)入無限循環(huán)中。中斷函數(shù)初始關(guān)閉，寄存器內(nèi)的值保留，當(dāng)單片機(jī)產(chǎn)生信號(hào)時(shí)根據(jù)Logistic映射函數(shù)及初值計(jì)算下一個(gè)Xn+1，將數(shù)據(jù)低8位的值賦給P2口，將Xn和定時(shí)常數(shù)重新賦值，經(jīng)過D/A轉(zhuǎn)換后，打開中斷并且中斷返回。初始運(yùn)行后，由于數(shù)據(jù)為浮點(diǎn)數(shù)不僅占用了較多的運(yùn)算資源而且運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)，使其在應(yīng)用過程中輸出信號(hào)的頻率不理想，因此在原有的基礎(chǔ)之上將不同的初始數(shù)值倍乘255并進(jìn)行取整運(yùn)算。這樣，不僅能使單片機(jī)能夠進(jìn)行更加便捷的數(shù)據(jù)處理，也使D/A轉(zhuǎn)換更加順利進(jìn)行。

4 調(diào)試效果

為了驗(yàn)證硬件和軟件的合理性，在protues下對(duì)上述電路程序輸入進(jìn)行驗(yàn)證。通過示波器可觀察到類似于圖4的波形。該信號(hào)發(fā)生器的幅值在0 V～5 V、頻率在1～60 kHz內(nèi)。由上述分析的Logistic映射區(qū)間特性與Logistic混沌信號(hào)發(fā)生器輸出比較后，結(jié)果一致，可見該發(fā)生器是有效的。不難看出，數(shù)字混沌產(chǎn)生器克服了連續(xù)流混沌產(chǎn)生器難于控制的缺點(diǎn)，具有易控性，參數(shù)及初值易于設(shè)定，改變程序就可成為其他映射的混沌信號(hào)發(fā)生器。

圖4 示波器仿真結(jié)果

5 結(jié)論

本文對(duì)Logistic映射區(qū)間進(jìn)行了取值分析，并在Protues軟件下制作出混沌信號(hào)發(fā)生器。通過仿真分析，該混沌信號(hào)發(fā)生器輸出信號(hào)頻率及幅度概率分布均滿足混沌理論的特性。該儀器穩(wěn)定可靠，有助于混沌科學(xué)的深入研究。

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