班桂寧 陳倩 趙麗萍 許永峰

(廣西大學 數學與信息科學學院,廣西 南寧 530004)

基于p6階第三十五家族群的一類新LA-群①

班桂寧 陳倩 趙麗萍 許永峰

(廣西大學 數學與信息科學學院,廣西 南寧 530004)

有限p-群;擴張;階;LA-猜想

利用群的擴張理論對p6階群Φ35(16)進行了推廣,得到了一類新的p-群,給出了它們的一些性質,并驗證了它們都是LA-群.

對于有限p-群的自同構群,有一個十分著名的LA-猜想,即:階大于p2的有限非循環(huán)p-群的階是其自同構群的階的因子.而半個多世紀以來,國內外許多群論專家以及學者在LA-猜想問題的研究上作了很大的貢獻,有了許多有意義的結果[1～7].對于階小于等于p6(p為奇素數)的有限p-群的同構分類已經由Rodney James在文獻[8]中給出.E.A.O'Brien和M.R.Vaughan-Lee也完成了p7階群的同構分類.關于LA-猜想,俞曙霞、班桂寧等得到了許多有價值的結果.而研究一個群通常是從它的結構和性質著手的.本文在前人LA-猜想研究的基礎上[8～15],基于Rodney James文獻[7],對p6階群Φ35家族的Φ35(16)進行了推廣,得到了有限p-群的一個重要類,然后用Schreier群擴張理論和自由群理論驗證了所構造出的群的存在性,并給出了所得群的一些性質,最后利用群的中心內自同構的特性證明了所得到的群為LA-群.本文中,群G均為有限p-群,p為奇素數且p≥3,所有的參數均非負,符號Φ35等可參考文獻[7],其他符號若無特殊說明均是標準的,具體可參考文獻[16].

1 相關引理

引理1.1[3](Van Dyek) 設G是由生成元x1,x2,…,xr和關系fi(x1,x2,…,xr)=1,i∈I所定義的群,H=〈a1,a2,…,ar〉(這些ai可能相同),?i∈I,fi(a1,a2,…,ar)=1,則存在唯一的滿同態(tài)σ:G= Fr/N→H使得xiN→ai,其中Fr=〈x1,…,xr〉為自由群,Y=〈{fi(x1,x2,…,xr)|i∈I}〉,N=YFr(Y在Fr中的正規(guī)閉包),G=Fr/N.如果|G|≤|H|＜+∞,則上述的σ為群同構(即H是由生成元(a1,a2,…,ar)與定義關系fi(a1,a2,…,ar)=1,?i∈I所定義的群).

引理1.2[16]設G是群,a,b,c∈G,則

(1)[a,b]-1=[b,a];(2)[ab,c]=[a,c]b[b,c];(3)[a,bc]=[a,c][a,b]c.

引理1.3[16]設G是有限p-群,若c(G)＜p,則G正則.

引理1.4[16]設G是有限群,則G的全體中心內自同構組成Aut(G)的子群,并且它和Z(G/Z(G))是同構的.

引理1.5[16]設G是群,a,b∈G且[a,b]∈Z(G),又設n是正整數.則有(n)

2 主要結果

(1)t3-t4≥t1≥t4-t5時,a=t+5t1-2t2+t4,故|R|=|G|·p4t1-3t2+t3+t4＞|G|,故群G為LA-群.

(2)t4-t5≥t1≥t1-t2時,a=t+6t1-2t2+t5,故|R|=|G|·p5t1-3t2+t3+t5＞|G|,故群G為LA-群.

(ⅳ)t2-t3≥t3-t4≥t4-t5≥t5≥t1-t2時,此時Z(G)的不變型為t-t2≥t2-t3≥t3-t4≥t4-t5≥t5≥t1-t2,

(1)t4-t5≥t1≥t5時,a=t+6t1-2t2+t5,故|R|=|G|·p5t1-3t2+t3+t5＞|G|,故群G為LA-群.

故在情形1下群G為LA-群;對于情形2可以做類似的推理證明.

至此,我們已經證明了18種情況下的群滿足LA-猜想和LA(2)-猜想,根據引理1.2,這些LA-群是新的,也就是我們獲得了新的LA-群.除了可能重復的情況,對于中心Z(G)的分裂有多種方法,我們猜想用同樣的方法能證明他們滿足LA-猜想,我們將在另外的文章中作細致討論.

[1]Yu S X,Ban G N,Zhang J S.Mininal-group with automorphism groups of order[J].Alg Colloq,1966,3(2):97-106.

[2]Flynn J,Mac Hale D,O'Brien E A,et al.Finite groups whose automorphism groups are 2-groups[J].Proc Roy Irish Acad Sect A,1944,94(2):137-145.

[3]班桂寧,俞曙霞.一類p-群的自同構群的階[J].數學學報,1992,35(4):570-574.

[4]俞曙霞,班桂寧.具有循環(huán)中心和小中心商的有限p-群[J].廣西大學學報:自然科學版,1993,18(3):15-23.

[5]Gunning Ban,Jinsong Zhang and Shuxia Yu.The lower bound for the order of the automorphism groups[J].Proc. Roy.Irish Acad.Vol.A,1996,96(2):159-167.

[6]俞曙霞,班桂寧.關于LA-群的一個定理[J].廣西大學學報:自然科學版,1994,19(1):1-8.

[7]俞曙霞,班桂寧.具有循環(huán)中心和小中心商的有限p-群[J].廣西大學學報:自然科學版,1993,18(3):15-23.

[8]Rodney James,The groups of order(an odd prime)[J].Math.Comput.1980(34):613-637.

[9]Ban Guining,Chen Liying,Zhou Yu.A new series of LA-groups[J].J Guangxi Teachers Education University, 2007,24(4):5-7.

[10]班桂寧,張玉,吳建平,等.基于p5階Φ2族群的LA-群[J].廣西師范學院學報:自然科學版,2008,25(3):1-4.

[11]班桂寧,吳建平,張玉,等.一類特殊有限p-群的自同構群的階[J].云南大學學報:自然科學版,2008,30(SI):215-219.

[12]班桂寧,張中健,張玉,等.一系列新的LA-群及其自同構群的階[J].廣西科學,2009,16(1):1-3.

[13]班桂寧,劉惠,佘科,等.一類p6階群的推廣[J].廣西師范學院學報:自然科學版,2010,27(3):7-11.

[14]班桂寧,佘科,劉惠,等.有限p-群的兩個重要的類[J].廣西科學,2010,17(4):277-281.

[15]班桂寧,李芳芳,劉惠,等.一類基于p5階群的LA-群[J].貴州大學學報:自然科學版,2010,27(6):1-4.

[16]徐明曜.有限群導引:第二版(上,下)[M].北京:科學出版社,2001.

[17]T.Exarchakos.LA-groups[J].J Math Soc Japan,1981,33(2):185-190.

New LA-groups based on the order of p6of the thirty-fifth family group

BAN Guining CHEN Qian ZHAO Liping XU Yongfeng
(School of Mathematics and Information Sciences,Guangxi University,Nanning Guangxi,530004,China)

finite p-group;extension;order;LA-groups

After the order of p6ofΦ35(16)group is generalized by using the extension theory of group,a kind of new finite p-groups is obtained.And some properties of the new groups are given,which proves that the groups all belong to LA-groups.

O152.1

A

1009-9506(2014)08-0007-06

2014年6月8日

班桂寧,教授,博士,研究方向:有限群論與控制論.

國家自然科學基金,編號:61074185;廣西自然科學基金,編號:0832054.