王維珍

變式教學(xué)是指在教學(xué)過程中通過變更概念非本質(zhì)的特征、改變問題的條件或結(jié)論、轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律的一種教學(xué)方式.下面舉例說明.（注：和差化積、積化和差公式請參閱教材）

人教A版選修22第96頁例1：在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

變式1在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c也成等差數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由A，B，C成等差數(shù)列知，B=〖SX（〗π3，由余弦定理知b2=a2+c2-ac，

又a，b，c也成等差數(shù)列，∴b=〖SX（〗a+c2，代入上式得〖SX（〗（a+c）42=a2+c2-ac，

整理得3（a-c）2=0，∴a=c，從而A=C，而B=〖SX（〗π3，則A=B=C=〖SX（〗π3，

從而△ABC為等邊三角形.

變式2在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等比數(shù)列，a，b，c成等差數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由于cosA，cosB，cosC成等比數(shù)列，則cos2B=cosAcosC，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），∴2cos2B=-cosB+cos（A-C）（1）

又a，b，c成等差數(shù)列，則2sinB=sinA+sinC，

則4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，

由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，

∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2，

即cos（A-C）=2cos2〖SX（〗A-C2-1=8sin2〖SX（〗B2-1=3-4cosB（2）

將（2）式代入（1）式得：2cos2B+5cosB-3=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-3（舍去），而0

∴B=〖SX（〗π3（3）

將（3）代入（1）得：cos（A-C）=1，由于-π

因此A=B=C=〖SX（〗π3，從而△ABC為等邊三角形.

變式3在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等比數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由于cosA，cosB，cosC成等比數(shù)列，則cos2B=cosAcosC，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），∴2cos2B=-cosB+cos（A-C）（1）

又a，b，c成等比數(shù)列，則sin2B=sinAsinC，

∴2sin2B=cos（A-C）+cosB，

即cos（A-C）=2sin2B-cosB（2）

將（2）代入（1）得：2cos2B+cosB-1=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-1（舍去）

而0

將（3）代入（1）得：cos（A-C）=1，

由于-π

變式4在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等差數(shù)列，a，b，c成等差數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由于cosA，cosB，cosC成等差數(shù)列，則2cosB=cosA+cosC=2cos〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2

∴cos〖SX（〗A-C2=〖SX（〗cosBsin〖SX（〗B2（1）

又a，b，c成等差數(shù)列，則2sinB=sinA+sinC，

〖HJ4.3p〗∴4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，

由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，

∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2（2）

將（1）代入（2）得cosB=2sin2〖SX（〗B2=1-cosB，

∴cosB=〖SX（〗12，而0

將（3）代入（2）得：cos〖SX（〗A-C2=1，由于-〖SX（〗π2<〖SX（〗A-C2<〖SX（〗π2，∴〖SX（〗A-C2=0，

因此A=B=C=〖SX（〗π3，從而△ABC為等邊三角形.

變式5在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由于cosA，cosB，cosC成等差數(shù)列，則2cosB=cosA+cosC=2cos〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2

∴cos〖SX（〗A-C2=〖SX（〗cosBsin〖SX（〗B2，

則cos（A-C）=2cos2〖SX（〗A-C2-1=〖SX（〗2cos2Bsin2〖SX（〗B2-1（1）

又a，b，c成等比數(shù)列，則sin2B=sinAsinC，

∴2sin2B=cos（A-C）+cosB，

即cos（A-C）=2sin2B-cosB（2）

將（1）代入（2）整理得：5cos2B+4cosB-3=2cos3B，

即4cos2B+4cosB-3=2cos3B-cos2B，分解因式得

（2cosB-1）（cosB-3）（cosB+1）=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-1（舍去）或cosB=3（舍去），

而0

將（3）代入（2）得：cos（A-C）=1，

由于-π

數(shù)學(xué)變式教學(xué)是通過一個問題的變式來達(dá)到解決一類問題的目的，對引導(dǎo)同學(xué)們主動學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)“雙基”，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成積極的情感態(tài)度，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，都具有很好的推動作用.

變式教學(xué)是指在教學(xué)過程中通過變更概念非本質(zhì)的特征、改變問題的條件或結(jié)論、轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律的一種教學(xué)方式.下面舉例說明.（注：和差化積、積化和差公式請參閱教材）

人教A版選修22第96頁例1：在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

變式1在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c也成等差數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由A，B，C成等差數(shù)列知，B=〖SX（〗π3，由余弦定理知b2=a2+c2-ac，

又a，b，c也成等差數(shù)列，∴b=〖SX（〗a+c2，代入上式得〖SX（〗（a+c）42=a2+c2-ac，

整理得3（a-c）2=0，∴a=c，從而A=C，而B=〖SX（〗π3，則A=B=C=〖SX（〗π3，

從而△ABC為等邊三角形.

變式2在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等比數(shù)列，a，b，c成等差數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由于cosA，cosB，cosC成等比數(shù)列，則cos2B=cosAcosC，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），∴2cos2B=-cosB+cos（A-C）（1）

又a，b，c成等差數(shù)列，則2sinB=sinA+sinC，

則4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，

由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，

∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2，

即cos（A-C）=2cos2〖SX（〗A-C2-1=8sin2〖SX（〗B2-1=3-4cosB（2）

將（2）式代入（1）式得：2cos2B+5cosB-3=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-3（舍去），而0

∴B=〖SX（〗π3（3）

將（3）代入（1）得：cos（A-C）=1，由于-π

因此A=B=C=〖SX（〗π3，從而△ABC為等邊三角形.

變式3在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等比數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由于cosA，cosB，cosC成等比數(shù)列，則cos2B=cosAcosC，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），∴2cos2B=-cosB+cos（A-C）（1）

又a，b，c成等比數(shù)列，則sin2B=sinAsinC，

∴2sin2B=cos（A-C）+cosB，

即cos（A-C）=2sin2B-cosB（2）

將（2）代入（1）得：2cos2B+cosB-1=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-1（舍去）

而0

將（3）代入（1）得：cos（A-C）=1，

由于-π

變式4在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等差數(shù)列，a，b，c成等差數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由于cosA，cosB，cosC成等差數(shù)列，則2cosB=cosA+cosC=2cos〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2

∴cos〖SX（〗A-C2=〖SX（〗cosBsin〖SX（〗B2（1）

又a，b，c成等差數(shù)列，則2sinB=sinA+sinC，

〖HJ4.3p〗∴4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，

由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，

∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2（2）

將（1）代入（2）得cosB=2sin2〖SX（〗B2=1-cosB，

∴cosB=〖SX（〗12，而0

將（3）代入（2）得：cos〖SX（〗A-C2=1，由于-〖SX（〗π2<〖SX（〗A-C2<〖SX（〗π2，∴〖SX（〗A-C2=0，

因此A=B=C=〖SX（〗π3，從而△ABC為等邊三角形.

變式5在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由于cosA，cosB，cosC成等差數(shù)列，則2cosB=cosA+cosC=2cos〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2

∴cos〖SX（〗A-C2=〖SX（〗cosBsin〖SX（〗B2，

則cos（A-C）=2cos2〖SX（〗A-C2-1=〖SX（〗2cos2Bsin2〖SX（〗B2-1（1）

又a，b，c成等比數(shù)列，則sin2B=sinAsinC，

∴2sin2B=cos（A-C）+cosB，

即cos（A-C）=2sin2B-cosB（2）

將（1）代入（2）整理得：5cos2B+4cosB-3=2cos3B，

即4cos2B+4cosB-3=2cos3B-cos2B，分解因式得

（2cosB-1）（cosB-3）（cosB+1）=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-1（舍去）或cosB=3（舍去），

而0

將（3）代入（2）得：cos（A-C）=1，

由于-π

數(shù)學(xué)變式教學(xué)是通過一個問題的變式來達(dá)到解決一類問題的目的，對引導(dǎo)同學(xué)們主動學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)“雙基”，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成積極的情感態(tài)度，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，都具有很好的推動作用.

變式教學(xué)是指在教學(xué)過程中通過變更概念非本質(zhì)的特征、改變問題的條件或結(jié)論、轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律的一種教學(xué)方式.下面舉例說明.（注：和差化積、積化和差公式請參閱教材）

人教A版選修22第96頁例1：在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

變式1在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c也成等差數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由A，B，C成等差數(shù)列知，B=〖SX（〗π3，由余弦定理知b2=a2+c2-ac，

又a，b，c也成等差數(shù)列，∴b=〖SX（〗a+c2，代入上式得〖SX（〗（a+c）42=a2+c2-ac，

整理得3（a-c）2=0，∴a=c，從而A=C，而B=〖SX（〗π3，則A=B=C=〖SX（〗π3，

從而△ABC為等邊三角形.

變式2在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等比數(shù)列，a，b，c成等差數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由于cosA，cosB，cosC成等比數(shù)列，則cos2B=cosAcosC，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），∴2cos2B=-cosB+cos（A-C）（1）

又a，b，c成等差數(shù)列，則2sinB=sinA+sinC，

則4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，

由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，

∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2，

即cos（A-C）=2cos2〖SX（〗A-C2-1=8sin2〖SX（〗B2-1=3-4cosB（2）

將（2）式代入（1）式得：2cos2B+5cosB-3=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-3（舍去），而0

∴B=〖SX（〗π3（3）

將（3）代入（1）得：cos（A-C）=1，由于-π

因此A=B=C=〖SX（〗π3，從而△ABC為等邊三角形.

變式3在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等比數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由于cosA，cosB，cosC成等比數(shù)列，則cos2B=cosAcosC，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），∴2cos2B=-cosB+cos（A-C）（1）

又a，b，c成等比數(shù)列，則sin2B=sinAsinC，

∴2sin2B=cos（A-C）+cosB，

即cos（A-C）=2sin2B-cosB（2）

將（2）代入（1）得：2cos2B+cosB-1=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-1（舍去）

而0

將（3）代入（1）得：cos（A-C）=1，

由于-π

變式4在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等差數(shù)列，a，b，c成等差數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由于cosA，cosB，cosC成等差數(shù)列，則2cosB=cosA+cosC=2cos〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2

∴cos〖SX（〗A-C2=〖SX（〗cosBsin〖SX（〗B2（1）

又a，b，c成等差數(shù)列，則2sinB=sinA+sinC，

〖HJ4.3p〗∴4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，

由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，

∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2（2）

將（1）代入（2）得cosB=2sin2〖SX（〗B2=1-cosB，

∴cosB=〖SX（〗12，而0

將（3）代入（2）得：cos〖SX（〗A-C2=1，由于-〖SX（〗π2<〖SX（〗A-C2<〖SX（〗π2，∴〖SX（〗A-C2=0，

因此A=B=C=〖SX（〗π3，從而△ABC為等邊三角形.

變式5在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.

證明：由于cosA，cosB，cosC成等差數(shù)列，則2cosB=cosA+cosC=2cos〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2

∴cos〖SX（〗A-C2=〖SX（〗cosBsin〖SX（〗B2，

則cos（A-C）=2cos2〖SX（〗A-C2-1=〖SX（〗2cos2Bsin2〖SX（〗B2-1（1）

又a，b，c成等比數(shù)列，則sin2B=sinAsinC，

∴2sin2B=cos（A-C）+cosB，

即cos（A-C）=2sin2B-cosB（2）

將（1）代入（2）整理得：5cos2B+4cosB-3=2cos3B，

即4cos2B+4cosB-3=2cos3B-cos2B，分解因式得

（2cosB-1）（cosB-3）（cosB+1）=0，

∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-1（舍去）或cosB=3（舍去），

而0

將（3）代入（2）得：cos（A-C）=1，

由于-π

數(shù)學(xué)變式教學(xué)是通過一個問題的變式來達(dá)到解決一類問題的目的，對引導(dǎo)同學(xué)們主動學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)“雙基”，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成積極的情感態(tài)度，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，都具有很好的推動作用.