林 波 張?jiān)鲚x 朱炬波

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基于壓縮感知的DOA估計(jì)稀疏化模型與性能分析

林 波*張?jiān)鲚x 朱炬波

(國(guó)防科技大學(xué)理學(xué)院 長(zhǎng)沙 410073)

利用壓縮感知理論解決陣列信號(hào)到達(dá)角(DOA)估計(jì)問(wèn)題，具有對(duì)快拍數(shù)據(jù)量要求低、可處理相關(guān)源等優(yōu)點(diǎn)。將壓縮感知理論應(yīng)用于信源DOA估計(jì)的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是建立信源信號(hào)的稀疏化模型。該文在均勻線陣模型下系統(tǒng)分析了角度劃分對(duì)DOA估計(jì)稀疏重構(gòu)性能的影響，從對(duì)相關(guān)性的分析出發(fā)給出了信號(hào)的最優(yōu)稀疏化模型。分析結(jié)果表明在實(shí)際應(yīng)用中基于信源信號(hào)等正弦空間稀疏化的重構(gòu)模型是最優(yōu)的。實(shí)驗(yàn)對(duì)比了新的稀疏化模型與傳統(tǒng)的等角度劃分方式得到的流形矩陣的可重構(gòu)性能，并進(jìn)行了關(guān)于信號(hào)重構(gòu)和信源DOA估計(jì)的詳細(xì)實(shí)驗(yàn)分析，驗(yàn)證了所提模型的優(yōu)越性。

壓縮感知(CS)；稀疏化模型；到達(dá)方向(DOA)估計(jì)；相關(guān)性

1 引言

陣列信號(hào)到達(dá)角(Direction-Of-Arrival, DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的關(guān)鍵問(wèn)題，在雷達(dá)、通訊、地震等眾多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用?？臻g譜估計(jì)技術(shù)的發(fā)展實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)DOA的超分辨估計(jì)。經(jīng)典的空間譜估計(jì)算法包括MUSIC和ESPRIT算法，它們主要是根據(jù)陣列接收信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性來(lái)估計(jì)目標(biāo)的到達(dá)角，因此需要大量獨(dú)立同分布的測(cè)量數(shù)據(jù)。最新的壓縮感知(Compressive Sensing, CS) 理論為DOA估計(jì)克服上述問(wèn)題帶來(lái)了新的技術(shù)途徑。

將壓縮感知理論應(yīng)用于DOA估計(jì)問(wèn)題，首先要建立合適的角度估計(jì)的稀疏表示和重構(gòu)模型，空域稀疏化方式?jīng)Q定了模型的重構(gòu)性能。然而到目前為止，利用壓縮感知估計(jì)信號(hào)DOA的文獻(xiàn)對(duì)稀疏化模型的建立都沒(méi)有進(jìn)行系統(tǒng)地理論闡述，通常都是簡(jiǎn)單地采用空域等角度稀疏化方式。本文分析了稀疏表示和重構(gòu)模型對(duì)DOA估計(jì)性能的影響，并在此基礎(chǔ)之上，從相關(guān)性條件的理論分析出發(fā)給出了信號(hào)的最優(yōu)稀疏表示模型，并通過(guò)相關(guān)性條件的理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)，提出了在實(shí)際應(yīng)用中最優(yōu)空間稀疏表示模型是等正弦空間稀疏表示模型，該模型比傳統(tǒng)的等角度空間稀疏化得到的流形矩陣具有更加優(yōu)越的稀疏重構(gòu)性能。

2 基于壓縮感知的陣列DOA估計(jì)模型

3 信源信號(hào)稀疏化模型與重構(gòu)性能分析

3.1 稀疏重構(gòu)條件與重構(gòu)性能

最近文獻(xiàn)[15]從相關(guān)性條件出發(fā)給出了由式(2)所示優(yōu)化問(wèn)題穩(wěn)健重構(gòu)信號(hào)的條件和重構(gòu)誤差上界。

3.2 角度稀疏化模型

下面從陣列流形矩陣的相關(guān)性出發(fā)，構(gòu)造陣列DOA估計(jì)的最優(yōu)空域稀疏化模型。

在區(qū)間[-1,1]中選取個(gè)點(diǎn)。下面分情況討論該優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。

圖2 M=10時(shí)的函數(shù)

4 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

以下用實(shí)驗(yàn)首先驗(yàn)證，利用本文方法獲得的空域等正弦稀疏化模型對(duì)應(yīng)的陣列流形矩陣的相關(guān)性比通常直接等角度劃分的相關(guān)性小。

圖3給出了當(dāng)分別取10和20時(shí)，從10取到100的情況下，按照本文方法獲得的陣列流形矩陣相關(guān)性與直接等角度劃分結(jié)果的對(duì)比。由圖3所示結(jié)果可以看出，通過(guò)空域稀疏化模型的優(yōu)化處理，陣列流形矩陣的相關(guān)性得到了降低。

實(shí)驗(yàn)1 基于等正弦空間稀疏化的CS稀疏重構(gòu)的DOA估計(jì)算法與MUSIC算法之間的DOA估計(jì)譜峰對(duì)比。

本實(shí)驗(yàn)針對(duì)個(gè)獨(dú)立的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信源輸入信號(hào)，對(duì)比基于等正弦空間稀疏化的CS稀疏重構(gòu)算法與MUSIC算法的DOA估計(jì)性能。實(shí)驗(yàn)設(shè)置信噪比為SNR=10 dB，均勻線陣的陣元數(shù)為=40，全空間劃分網(wǎng)格數(shù)為=201。為對(duì)比方便，將MUSIC算法的搜索點(diǎn)取在該網(wǎng)格上，使用快拍數(shù)為100。

圖4給出了信源非相干時(shí)本文算法與MUSIC算法的DOA估計(jì)譜峰對(duì)比結(jié)果，圖4(a)中兩個(gè)信源的入射角分別為-8.1°和15.3°，圖4(b)中兩個(gè)信源的入射角分別為-0.1°和5.3°。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)兩信源相距較近時(shí)，利用1個(gè)快拍數(shù)據(jù)的稀疏重構(gòu)方法用于DOA估計(jì)時(shí)分辨率沒(méi)有經(jīng)典的MUSIC算法的分辨率高，然而由此實(shí)驗(yàn)可知基于壓縮感知思想利用較少的快拍數(shù)處理陣列信號(hào)的DOA估計(jì)問(wèn)題是一種可行的方案。

下面從信號(hào)恢復(fù)性能的角度說(shuō)明本文方法的有效性。在實(shí)際的應(yīng)用中，為了提高角度估計(jì)的精度，一般選取較大的，此時(shí)最優(yōu)的空域稀疏化模型對(duì)應(yīng)了等正弦的角度劃分方式。下面的仿真試驗(yàn)主要對(duì)比等正弦角度劃分和等角度劃分的性能。

實(shí)驗(yàn)2 等正弦CS稀疏重構(gòu)算法與等角度CS稀疏重構(gòu)算法的信源信號(hào)重構(gòu)性能對(duì)比。

實(shí)驗(yàn)3 等正弦CS稀疏重構(gòu)算法與等角度CS稀疏重構(gòu)算法的信源DOA估計(jì)性能對(duì)比。

圖7顯示了不同信噪比下本文方法和等角度CS重構(gòu)算法的DOA估計(jì)整體成功概率和累積成功概率，從圖7所示結(jié)果可知，在此仿真實(shí)驗(yàn)中當(dāng)信噪比低于13 dB時(shí)，本文方法的DOA估計(jì)整體成功概率和累積成功概率高于等角度CS重構(gòu)算法。

5 結(jié)論

本文將壓縮感知理論應(yīng)用于陣列信號(hào)的DOA估計(jì)問(wèn)題中，分析了信號(hào)的稀疏表示模型對(duì)信號(hào)稀疏恢復(fù)與信源DOA估計(jì)的影響，基于相關(guān)性條件的理論分析，給出了基于壓縮感知解決DOA估計(jì)問(wèn)題時(shí)最優(yōu)的信號(hào)稀疏表示模型。為了便于數(shù)學(xué)分析，本文的理論分析是建立在均勻線陣的假設(shè)前提下，然而，壓縮感知理論的稀疏重構(gòu)思想應(yīng)用于信源DOA估計(jì)的本質(zhì)在于信源信號(hào)的空間稀疏性，針對(duì)不同的陣列構(gòu)型和相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型同樣可以應(yīng)用稀疏重構(gòu)的思想和方法。為了提高角度估計(jì)的精度，在DOA估計(jì)問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用中一般選取較大的空間稀疏化程度,大于，此時(shí)最優(yōu)的空域稀疏化模型對(duì)應(yīng)了等正弦稀疏化方式。數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)比也表明，等正弦信號(hào)空間稀疏化對(duì)應(yīng)的陣列流形矩陣的相關(guān)性比傳統(tǒng)的等角度信號(hào)空間稀疏化得到的陣列流形矩陣要小，具有更加顯著的稀疏重構(gòu)性能。

圖3 本文提出的稀疏化模型獲得的陣列流形矩陣相關(guān)性與等角度劃分結(jié)果的對(duì)比

圖5 等正弦CS稀疏重構(gòu)與等角度CS稀疏重構(gòu)算法的信源信號(hào)重構(gòu)

圖6 信號(hào)重構(gòu)的均方根誤差

圖7 不同信噪比下信源DOA估計(jì)的成功概率

仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，基于本文提出的信號(hào)稀疏化表示和稀疏重構(gòu)模型，利用壓縮感知理論處理DOA估計(jì)問(wèn)題是一種可行的新方法。當(dāng)然，該方法受到壓縮理論研究的局限性，如果僅利用稀疏重構(gòu)的思想實(shí)現(xiàn)一步估計(jì)，目前在許多方面還無(wú)法突破經(jīng)典的具有超分辨性能的MUSIC算法的性能。近幾年已有不少研究利用多測(cè)量矢量模型、一般誤差模型的壓縮感知理論和網(wǎng)格細(xì)化處理等方法以進(jìn)一步提高稀疏重構(gòu)方法的超分辨性能，而設(shè)計(jì)具有最優(yōu)性能的稀疏重構(gòu)模型是進(jìn)行上述研究的前提之一。本文正是提出了一種DOA估計(jì)問(wèn)題中的最優(yōu)信號(hào)稀疏重構(gòu)模型并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。

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林 波： 女，1985年生，博士生，研究方向?yàn)閴嚎s感知、陣列信號(hào)處理.

張?jiān)鲚x： 男，1980年生，博士，講師，研究方向?yàn)閴嚎s感知、陣列信號(hào)處理、空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理.

朱炬波： 男，1967年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)橄到y(tǒng)科學(xué)、雷達(dá)信號(hào)處理、圖像處理與數(shù)學(xué)成像.

Sparsity Model and Performance Analysis of DOA Estimation with Compressive Sensing

Lin Bo Zhang Zeng-hui Zhu Ju-bo

(,,410073,)

The method of Direction-Of-Arrival (DOA) estimation of array signals based on Compressive Sensing (CS) theory has advantages such as fewer snapshots requirement and the capacity of dealing with the coherent sources. Exploiting the CS theory on DOA estimation, one of the key issues is to construct the sparsity model of source signals. This paper proposes the systemic analysis about how the way of space-partition affects the performance of DOA estimation, and presents a new optimal sparse reconstruction model based on space-partition with equal sine interval through the analysis about coherence. The theoretical result shows that the reconstruction model based on the manifold matrix with equal sine interval is the best model in the practical application. Finally the experiments compare the reconstruction performance of the manifold matrix with equal sine interval with that of the manifold matrix with equal angle interval. This paper provides the experiment results about the performance of signal reconstruction and DOA estimation, respectively. The advantage of the presented sparsity model is verified.

Compressive Sensing (CS); Sparsity model; Direction-Of-Arrival (DOA) estimation; Coherence

TN911.7

A

1009-5896(2014)03-0589-06

10.3724/SP.J.1146.2013.00149

2013-01-25收到，2013-11-22改回

國(guó)家自然科學(xué)基金(61002024, 61072142, 61102169, 61201332, 61205190, 61271437)和國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)科研計(jì)劃項(xiàng)目(JC11- 02-03)資助課題

林波 linbo@nudt.edu.cn