張曉彥

（山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 運城044004）

經(jīng)濟系統(tǒng)內(nèi)各部門間是相互聯(lián)系、相互依存的。每個部門在生產(chǎn)過程中都要消耗自身及其他部門提供的產(chǎn)品或服務(wù) （稱之為投入），同時每個部門也向自身、其他部門及社會提供自己的產(chǎn)品或服務(wù) （稱之為產(chǎn)出）。投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型就是應(yīng)用線性代數(shù)理論，研究經(jīng)濟系統(tǒng)各部門之間投入產(chǎn)出關(guān)系的經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型。該方法最早由美國著名的經(jīng)濟學(xué)家瓦·列昂捷夫 （W.Leontief）提出，并于1973年獲得諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎，是目前比較成熟的經(jīng)濟分析方法。

某城市有3個主要企業(yè)煤礦、電廠和地方鐵路作為它的經(jīng)濟系統(tǒng)。開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費及0.35元的運輸費；生產(chǎn)一元錢的電力，電廠要支付0.40元的煤費，0.05元的電費及0.10元的運輸費；提供一元錢的鐵路運輸服務(wù)，需消耗0.45元的煤費、0.10元的電費和0.10元的運輸費。在某個星期內(nèi)，這3個企業(yè)都收到訂單 （系統(tǒng)外部需求）：煤礦得到50 000元的訂單，電廠得到價值25 000元的供電要求，地方鐵路得到價值30 000元的運輸要求。這3個企業(yè)能生產(chǎn)出滿足外部需求的產(chǎn)值，首先要滿足系統(tǒng)內(nèi)部互相間的需求以維持正常運行，需要求出每個企業(yè)在這個星期內(nèi)的總產(chǎn)值應(yīng)為多少，才能完成收到的訂單任務(wù)。

1 經(jīng)濟系統(tǒng)各企業(yè)間直接消耗

1.1 分析問題

由于煤礦在開采煤時既要用電又要支付運費、電廠在生產(chǎn)電力時既要用煤也要用電等。所以系統(tǒng)內(nèi)的每個部門既是生產(chǎn)部門又是消耗部門，消耗系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)品稱為 “投入”，生產(chǎn)本部門的產(chǎn)品稱為 “產(chǎn)出”。根據(jù)以上實際問題給數(shù)據(jù)列表 （表1）。

表1中的元素稱為直接消耗系數(shù)，由這些元素寫成矩陣

表1 直接消耗系數(shù)表 （元）

稱為直接消耗矩陣，元素tij為生產(chǎn)單位價值第j種產(chǎn)品所要消耗的第i種產(chǎn)品的價值。

1.2 建立模型

設(shè)煤礦、電廠和地方鐵路本星期生產(chǎn)的總產(chǎn)值分別是x1、x2和x3元，則

以上方程組以價值的形式說明了每一企業(yè)的消耗、外部需求和總產(chǎn)值之間的關(guān)系，即：系統(tǒng)內(nèi)各企業(yè)的消耗＋外部需求＝總產(chǎn)值

將以上方程組寫成矩陣，形式如下：

若設(shè)：X為產(chǎn)出向量，T為直接消耗矩陣，D為最終需求向量，則上述方程組可寫為

即

其中I是單位矩陣，矩陣 （I－T）為該系統(tǒng)的列昂捷夫矩陣。

1.3 計算

在本星期中，煤礦、電廠和地方鐵路的總產(chǎn)值分別大約為114 458、65 395、85 111元時，才能完成訂單要求。

由于得到了系統(tǒng)各個企業(yè)的總產(chǎn)值，可以利用直接消耗系數(shù)矩陣T計算每個企業(yè)分別用于系統(tǒng)內(nèi)部其他企業(yè)的消耗。

計算直接消耗

矩陣每一行即為各企業(yè)分別用于系統(tǒng)內(nèi)部其他企業(yè)的直接消耗。

1.4 投入產(chǎn)出表 （表2）

表2 直接消耗與最終需求表 （元）

2 經(jīng)濟系統(tǒng)各企業(yè)間的完全消耗

將完全消耗矩陣取近似得到完全消耗系數(shù) （表3）。

在某個企業(yè)生產(chǎn)或提供服務(wù)時，對任何一個產(chǎn)品的直接消耗還蘊含著對其它產(chǎn)品的間接消耗。例如鐵路在運輸時直接消耗了煤，但還通過消耗電而間接消耗了煤，因為電的生產(chǎn)需要消耗煤。這樣某企業(yè)生產(chǎn)單位產(chǎn)值的產(chǎn)品而對其他某一企業(yè)的總消耗值稱為完全消耗。

設(shè)煤礦、電廠和地方鐵路生產(chǎn)單位產(chǎn)值對煤、電、鐵路運輸?shù)目傁闹?（即完全消耗）分別為cij，則

將直接消耗矩陣與完全消耗矩陣對比分析。

表3 完全消耗系數(shù)表 （元）

可知：完全消耗＝直接消耗＋間接消耗

由以上計算數(shù)據(jù)得

即

將間接消耗矩陣取近似得到間接消耗系數(shù) （表4）。

3 結(jié) 論

從研究分析可以看出：直接消耗矩陣與完全消耗矩陣反映了煤礦、電廠和鐵路在生產(chǎn)上的需求關(guān)系。完全消耗矩陣從更深層次上揭示了系統(tǒng)內(nèi)各企業(yè)在生產(chǎn)上的相互依賴關(guān)系。從表2、表4看出，該城市要擴大煤的生產(chǎn)每周增加產(chǎn)值1萬元，那就不僅需要相應(yīng)增產(chǎn) （0.25＊1萬元）的電和 （0.35＊1萬元）的運輸費用作為直接消耗，而且還將大約有（0.46＊1萬元）的煤、（0.20＊1萬元）的電和 （0.27＊1萬元）的運輸費用作為間接消耗，這對經(jīng)濟系統(tǒng)的計劃決策者而言是極重要的數(shù)據(jù)。在企業(yè)或部門擴大生產(chǎn)而進行投資等問題上，要充分考慮其他部門的承受能力。

投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型為合理制定經(jīng)濟系統(tǒng)的生產(chǎn)計劃提供了一種科學(xué)的方法。根據(jù)社會需要確定社會產(chǎn)品的原則，先通過對計劃期需要量的預(yù)測，確定系統(tǒng)各部門的最終產(chǎn)品，再利用投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型推算出各個部門的總產(chǎn)品，在此基礎(chǔ)上編制經(jīng)濟系統(tǒng)計劃期的投入產(chǎn)出表，作為安排各個部門計劃期生產(chǎn)活動的依據(jù)，從而使經(jīng)濟系統(tǒng)達到平衡。

表4 間接消耗系數(shù)表 （元）

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