楊海霞

摘 要：解決問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，本文通過實(shí)例分析數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生在解決數(shù)學(xué)問題中的差異，并分析差異產(chǎn)生的原因.

關(guān)鍵詞：解題；差異；分析

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程給人留下深刻印象的是不斷地提出問題、研究問題.衡量學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成效也主要通過解決數(shù)學(xué)問題的水平來評(píng)價(jià). 數(shù)學(xué)家波利亞曾說過這樣一段話：“掌握數(shù)學(xué)意味著什么呢？這就是說善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見解獨(dú)特和有發(fā)明創(chuàng)造的題.” 這就意味著，解題是掌握數(shù)學(xué)的一個(gè)重要途徑.解題是一個(gè)重要手段. 通過解題活動(dòng)獲取知識(shí)，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，不斷提高思維能力和思維水平，形成數(shù)學(xué)的思維方式，促使學(xué)生的身心全面發(fā)展. 正因?yàn)閿?shù)學(xué)問題及解題活動(dòng)具有多種功能，所以在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，它成為學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和重要形式.

問題是指某個(gè)給定過程，對(duì)對(duì)象認(rèn)知的當(dāng)前狀態(tài)與智能主體所要求的目標(biāo)狀態(tài)之間差距或矛盾的主觀反映. 解決問題是認(rèn)知主體尋求從初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)的合理途徑、方法的活動(dòng)，這是一個(gè)主動(dòng)的過程. 問題和解題都不能脫離解題者而獨(dú)立存在，這是因?yàn)椴煌娜艘丫邆涞闹R(shí)和經(jīng)驗(yàn)及掌握知識(shí)的水平不同. 在同一教學(xué)要求和進(jìn)度下，由于教學(xué)對(duì)象個(gè)別差異的客觀性，學(xué)生在理解知識(shí)、掌握技能和方法、解題等方面往往存在很大的差異. 以下主要通過實(shí)例對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中優(yōu)等生與困難生在解決問題中的差異作簡要的分析，并尋找產(chǎn)生這種差異的原因.

[?] 優(yōu)等生和困難生在解決數(shù)學(xué)問題中的差異比較

數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題解決，與其他科學(xué)領(lǐng)域用數(shù)學(xué)解決問題不同. 數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的問題解決不但關(guān)心問題解決的結(jié)果，而且更關(guān)心求得結(jié)果的過程. 數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生在解題過程中存在很大的差異，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

下文中，T表示筆者；A1：男生，頭腦靈活，數(shù)學(xué)成績良好；A2：女生，比較踏實(shí)，數(shù)學(xué)成績不錯(cuò)；B1：男生，踏實(shí)，但反應(yīng)比較慢；B2：男生，思維活躍，但不愛學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；B3和B4均是女生，數(shù)學(xué)成績比較差.

1. 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力不同

下面是筆者與學(xué)生之間的一段對(duì)話.

B1：題看完了，感覺一團(tuán)糟，理不出頭緒.

T：你能說出該題已知哪些，要求哪些嗎？

B1通過仔細(xì)閱讀，理出已知及未知，但不能和學(xué)過的數(shù)學(xué)問題聯(lián)系起來.

數(shù)優(yōu)生在遇到一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，能夠很快地將題目經(jīng)過適當(dāng)?shù)摹胺g”、加工，從而抓住問題的關(guān)鍵和實(shí)質(zhì)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型. 而數(shù)困生在看題時(shí)往往一見到題就發(fā)憷，望而生畏，認(rèn)為高不可攀，感覺到無從下手，都弄不清已知什么，要求什么，常常輕易放棄.

2. 在理解題設(shè)條件時(shí)存在較大差異

理解題設(shè)條件是解題的第一步，細(xì)致深入地理解題設(shè)條件是解題的必要前提.解題所需要的信息首先是由題目提供的，但題目本身不會(huì)主動(dòng)、有序地向我們大腦輸入信息，它需要解題者積極主動(dòng)地去獲取. 因此，分析題設(shè)條件就是解題者對(duì)題目信息的發(fā)現(xiàn)、辨認(rèn)、轉(zhuǎn)移的過程. 它是主體的一種有目的、有計(jì)劃的知覺活動(dòng)，并有思維的積極參與.

（n+1）（n-1）， n為正奇數(shù)時(shí)，

其中，n為正奇數(shù)時(shí)，n+1，n-1均為偶數(shù)，因此（n+1）（n-1）一定能被4整除，所以（n+1）（n-1）是正整數(shù)或零，但不一定是正偶數(shù)，所以填（1）.

B2：因?yàn)锳表示非負(fù)偶數(shù)集，B：b=0， n為正偶數(shù)時(shí)，

（n+1）（n-1）， n為正奇數(shù)時(shí).

當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，n+1與n-1表示兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，其中必有一個(gè)是4的倍數(shù)，所以（n+1）（n-1）表示非負(fù)偶數(shù)，所以填（3）.

A2：集合A是非負(fù)偶數(shù)集，即A={0，2，4，6，8，…}，集合B中的元素b=0， n為正偶數(shù)時(shí)，

（n+1）（n-1）， n為正奇數(shù)時(shí).

（n+1）（n-1）（n為正奇數(shù)時(shí)）表示非負(fù)偶數(shù)，但是不表示所有的正偶數(shù)，取n=1，3，5，7，…，由（n+1）（n-1）依次得到0，2，6，12，20，…，即B={0，2，6，12，20，…}，因此填（2）.

數(shù)優(yōu)生在分析題設(shè)條件時(shí)，分析比較透徹，能充分地獲取題目的信息，如上題中A2對(duì)B的元素的分析較其他三位學(xué)生更深入. 他們能對(duì)所獲取的信息通過分析、聯(lián)想、比較、想象等一系列思維活動(dòng)，去偽存真，由表及里尋找內(nèi)在規(guī)律，排除干擾信息，巧妙地捕捉求解信息. 而數(shù)困生在分析題設(shè)條件時(shí)不能透徹理解其內(nèi)在含義，沒有看清題目，沒有慎重分析，就草率地下結(jié)論，如B3的解答. 他們不能很好地理解概念、術(shù)語、符號(hào)，認(rèn)識(shí)比較膚淺. 如B4、B2在對(duì)n為正奇數(shù)時(shí)，b到底表示怎樣的數(shù)認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤. 在明確問題空間時(shí)，分析綜合能力是關(guān)鍵，而數(shù)困生在這方面與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生有明顯差距.

3. 在解題思路方面也大有不同

任何數(shù)學(xué)題目在求解時(shí)都要形成解題思路.解題思路有成功的，也有失敗的，常因解題者自身知識(shí)不同，觀察角度不同等造成解題思路不同.

題目3：已知a，b，c都是正數(shù)，求證：++=（a+b+c）.

B2是這樣想的：由于a，b，c都是正數(shù)，所以有+（b+c）≥2a，+（c+a）≥2b，+（a+b）≥2c，從而+（b+c）++（c+a）++（a+b）≥2（a+b+c）.

B2接著說這樣下去好像得不出所要求證的結(jié)論.

筆者再讓A2分析B2的思路，A2是這樣分析的：

（?）式等號(hào)成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)=b+c，=c+a，=a+b同時(shí)成立，即a=b+c，b=c+a，c=a+b同時(shí)成立，即a=b=c=0時(shí)才能成立，顯然不合題設(shè)條件.

數(shù)困生在尋求解題思路時(shí)往往易受思維定式的消極影響而造成解題思路受阻，如上例中，在推理過程上出現(xiàn)了漏洞. 另外，數(shù)困生往往憑借自己過去對(duì)有關(guān)知識(shí)的認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)，通過直覺思維認(rèn)為可行的想法事實(shí)上往往行不通. 如上例中，碰到不等式，且a，b，c均大于零，就認(rèn)為用基本不等式應(yīng)該能得證，但直覺思維不是胡思亂想，這種解題念頭是一種未經(jīng)證實(shí)的想法，是不嚴(yán)密的. 數(shù)困生還常忽略隱藏在題設(shè)背后的隱含條件，導(dǎo)致不能尋得有效可行的解題途徑.而數(shù)優(yōu)生能克服以上缺點(diǎn)，認(rèn)真分析，及時(shí)調(diào)整解題思路.

4. 解題過程的表述上存在很大的差異

筆者問B3，由=如何得出AQ·BR=QR2，B3能準(zhǔn)確地說出其理由. 盡管B3會(huì)解這道題，但事實(shí)上B3的解題過程是不完整的.

數(shù)困生解題過程的表述往往出現(xiàn)不少漏洞，如理由不充分、邏輯錯(cuò)誤、解題過程表述不當(dāng)?shù)龋鴶?shù)優(yōu)生的解題過程的表述條理清晰、簡潔完整.

[?] 數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生解題差異的原因分析

數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生在解題方面的差異是有原因的，主要表現(xiàn)在個(gè)體的認(rèn)知、情感等方面.

1. 數(shù)困生的基礎(chǔ)差

數(shù)困生對(duì)課本的基礎(chǔ)知識(shí)、公式、定理都不熟悉，有的甚至根本不知道課本上有些什么內(nèi)容，他們的數(shù)學(xué)信息存儲(chǔ)量偏少. 數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)零亂無序，這就造成他們的記憶缺陷，因而影響他們?cè)谙嗷プ饔秒A段有序地組織知識(shí)、存儲(chǔ)知識(shí)、提取知識(shí). 所以在解題的時(shí)候，沒有工具可用. 因此，基礎(chǔ)知識(shí)的缺乏，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一大障礙.

2. 數(shù)困生的邏輯思維能力偏低

數(shù)困生認(rèn)知加工的邏輯障礙主要表現(xiàn)為邏輯的不嚴(yán)密性：（1）混淆概念. 用同一概念去表達(dá)幾個(gè)不同的對(duì)象，或者用幾個(gè)不同的概念去表達(dá)同一對(duì)象. 違反同一律，破壞思維的一貫性、確定性而陷入邏輯錯(cuò)誤. （2）虛假論據(jù). 他們會(huì)以虛假的命題作為推理的論據(jù)，違反邏輯思維的充足理由. （3）循環(huán)論證.數(shù)困生由于其邏輯論證能力弱，特別容易發(fā)生循環(huán)論證錯(cuò)誤. 他們?cè)诿}的證明中，論題通過論據(jù)推出，而論據(jù)又通過論題推出，最后這個(gè)循環(huán)論證并沒有真正證明要證的命題，而使自己陷入邏輯混亂.

3. 數(shù)困生的數(shù)學(xué)思維方式也呈劣勢狀態(tài)

一方面，數(shù)困生的思維單一機(jī)械. 一般情況下，數(shù)困生的解題策略只限于套用現(xiàn)成的公式或者從條件便能直接得到的結(jié)論的問題，而一個(gè)數(shù)學(xué)問題如果就從條件出發(fā)，往往是很難得到結(jié)論的，最起碼需要一些逆向或發(fā)散思維. 數(shù)優(yōu)生不用進(jìn)行特別的練習(xí)就能解決逆向的問題，而對(duì)于數(shù)困生來說，只有在最簡單的條件下，特別是所給的第二個(gè)問題和第一個(gè)問題完全相同，僅僅把條件和結(jié)論互換一下時(shí)，他們才會(huì)把第二個(gè)問題看成第一個(gè)問題. 所以對(duì)于許多數(shù)困生來說，從正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維，形成可逆心理的過程顯得非常困難.另一方面，數(shù)困生的思維雜亂無序. 數(shù)困生在解題過程中看到的問題空間是孤立的、無層次的狀態(tài)，他們一開始盯在具體數(shù)據(jù)上，認(rèn)識(shí)不到問題空間的種種聯(lián)系. 他們的解題過程總具有盲目的特點(diǎn)，雜亂無章地試著找出一個(gè)解答，或者說企圖猜測，而不是靠合情推理得到一個(gè)解法，所以他們的思維是模糊和不成熟的.

4. 數(shù)困生在解題方面與優(yōu)生的差距還有心理方面的因素

學(xué)生解題的過程也是一個(gè)不斷嘗試解題途徑的過程，一旦不能很快地找到正確的解題方法時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生焦慮心理. 過度的焦慮會(huì)使人產(chǎn)生高度注意定向而強(qiáng)化思維定式，沖淡學(xué)生的記憶，產(chǎn)生暫時(shí)的遺忘. 于是，公式、定理的前提條件甚至平時(shí)熟知的“分母不為零”等常識(shí)性知識(shí)也會(huì)隨著嘗試的深入和高度注意定向而被暫時(shí)遺忘，忽視對(duì)解題時(shí)所用手段的必要檢查和批評(píng)性的回顧.