馬亮亮， 劉冬兵

（攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 攀枝花 617000）

分?jǐn)?shù)階微分方程可用于模擬生物、金融等領(lǐng)域及半導(dǎo)體研究中的許多現(xiàn)象［1］；文獻(xiàn)［2－3］提出了分?jǐn)?shù)階的行方法，將分?jǐn)?shù)階微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程系統(tǒng)；文獻(xiàn)［4］考慮了有界區(qū)間上Riesz分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值問(wèn)題；文獻(xiàn)［5］給出了有界區(qū)間上分?jǐn)?shù)階空間擴(kuò)散方程滿(mǎn)足邊界條件的數(shù)值解法；文獻(xiàn)［6］考慮了一類(lèi)Riesz－Caputo分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程在有限區(qū)間上的隱式和顯式差分逼近；文獻(xiàn)［7］討論了一類(lèi)二維空間Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的解析解；文獻(xiàn)［8］基于Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，對(duì)一類(lèi)分?jǐn)?shù)階運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行了研究。

本文將考慮n維情況下空間Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的解析解問(wèn)題。

1 定義及性質(zhì)

定義1 在有界區(qū)間［0，L］上，Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo) 數(shù)的定義［9］如下：

2 Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的解析解

本文考慮齊次n維空間Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程為：根據(jù)常微分方程解的結(jié)構(gòu)，可以推出（4）式的一般解為：

3 非齊次Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的解析解

本文考慮非齊次n維空間Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程為：

根據(jù)疊加原理，非齊次n維空間Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的初邊值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：

將f（x1，x2，…，xn，t）展成傅里葉級(jí)數(shù)的形式，即）

4 結(jié)束語(yǔ)

本文給出了n維空間Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的特征函數(shù)、特征值之間的關(guān)系，并利用譜表示法分別給出了齊次和非齊次情況下，一類(lèi)n維空間Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程在有界區(qū)域內(nèi)滿(mǎn)足一定初邊值條件的解析解。

［1］Liu F，Anh V，Turner I，et al.Numerical simulation for solute transport in fractal porous media［J］.ANZIAM J，2004，45（E）：461－473.

［2］Liu F，Anh V，Turner T.Numerical solution of the space fractional Fokker－Planck equation ［J］.J Comput Appl Math，2004，166：209－219.

［3］趙小文，張 海，蔣 威.分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分系統(tǒng)的解［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，32（9）：1439－1441.

［4］Yang Qianqian，Liu Fawang，Turner I.Numerical methods for fractional partial differential equations with Riesz space fractional derivatives［J］.Applied Mathematical Modeling，2010，34：200－218.

［5］Ilic M，Liu Fawang，Turner I，et al.Numerical approximation of a fractional in space diffusion equation［J］.Fract Caculus Appl Anal，1998，1（2）：167－191.

［6］Shen Shujun，Liu Fawang，Anh V V.Numerical approximations and solution techniques for the space－time Riesz－Caputo fractional advection－diffusion equation［J］.Numerical Algorithms，2011，56（3）：383－403.

［7］王學(xué)彬.一類(lèi)二維空間Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的解［J］.寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，32（3）：222－225.

［8］張 毅，梅鳳翔.基于Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階運(yùn)動(dòng)微分方程［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，32（7）：766－770.

［9］Podlubny I.Fractional differential equations［M］.New York：Academic Press，1999：223－242.

［10］王學(xué)彬.二維、三維空間Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的基本解［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2011，46（8）：23－37.