馮 強(qiáng),范金成,張 強(qiáng),,蔣斌松

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)深部巖土力學(xué)與地下工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇徐州 221116;2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院,江蘇徐州 221116)

基于Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的球形洞室圍巖應(yīng)變軟化彈塑性分析

馮 強(qiáng)1,范金成2,張 強(qiáng)1,2,蔣斌松1

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)深部巖土力學(xué)與地下工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇徐州 221116;2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院,江蘇徐州 221116)

通過用一系列的塑性流動(dòng)與脆性跌落近似逼近峰后應(yīng)變軟化過程,將開挖球形洞室引起的塑性變形區(qū)劃分為k個(gè)同心球殼。假定各球殼內(nèi)巖體均質(zhì)且各向同性,采用Mohr-Coulomb準(zhǔn)則和非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則對(duì)受靜水壓力球形洞室圍巖的應(yīng)力和變形進(jìn)行理論計(jì)算。由各球殼內(nèi)巖體屬性表征點(diǎn)建立巖體再破壞的補(bǔ)充方程,得到了圍巖塑性半徑求解方程組。通過算例驗(yàn)證了方法的合理性。最后,考慮巖體進(jìn)入峰后階段后,變形參數(shù)也隨之劣化,討論了彈性模量線性劣化對(duì)洞壁位移、軟化半徑和破裂半徑的影響。

球形洞室;應(yīng)變軟化;彈塑性分析;Mohr-Coulomb準(zhǔn)則;靜水壓力;變形模量劣化

洞室圍巖的破裂范圍及變形特征是評(píng)價(jià)其穩(wěn)定性的重要依據(jù),也是對(duì)其進(jìn)行支護(hù)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者[1-7]采用理想彈塑性、彈脆塑性、應(yīng)變軟化等模型,根據(jù)不同的強(qiáng)度準(zhǔn)則,如線性Mohr-Cou-lomb準(zhǔn)則和非線性Hoek-Brown準(zhǔn)則,以及為分析流動(dòng)特性對(duì)圍巖變形的影響,采用關(guān)(或非關(guān))聯(lián)流動(dòng)法則對(duì)洞室開挖問題進(jìn)行研究。研究途徑主要有2個(gè)方面:①理論解析方法,代表性成果有蔣斌松等[3]采用彈塑脆模型給出了深部圓形洞室圍巖應(yīng)力和形變的解析式;張俊文等[4]基于三剪能量屈服準(zhǔn)則,對(duì)圓形巷道圍巖塑性區(qū)半徑、圍巖位移等進(jìn)行了彈塑性分析。② 數(shù)值計(jì)算方法,代表性成果有 Y.K.Lee等[8]采用差分方法給出了圓形洞室應(yīng)變軟化數(shù)值解;李英杰等[9]通過在FLAC3D軟件中開發(fā)考慮變形模量劣化的應(yīng)變軟化本構(gòu)模型對(duì)深埋圓形隧道問題進(jìn)行彈塑性分析。

礦上箕斗裝載洞室的形狀接近球形或橢球形,針對(duì)考慮峰后強(qiáng)度參數(shù)劣化效應(yīng)的球形洞室圍巖應(yīng)力和變形分析,主要是依賴于數(shù)值計(jì)算。文獻(xiàn)[10]采用逐步卸壓法對(duì)球形洞室應(yīng)變軟化問題進(jìn)行了分析,但其求解過程較為繁瑣。因此,本文針對(duì)受靜水壓力的球形洞室,在各球殼巖體屬性表征點(diǎn)處建立巖體再破壞的補(bǔ)充方程,得到圍巖塑性半徑求解方程組;并討論了彈性模量線性劣化對(duì)洞壁位移、圍巖塑性、破裂區(qū)半徑的影響。

1 計(jì)算模型

設(shè)球形洞室開挖半徑為R0;支護(hù)荷載為σ0;無限遠(yuǎn)處的原始應(yīng)力(靜水壓力)為p。力學(xué)模型如圖1所示,用k次塑性流動(dòng)—脆性跌落來近似逼近峰后應(yīng)變軟化過程[11];根據(jù)問題的對(duì)稱性,幾何模型(球體的縱剖面)如圖2所示,相應(yīng)于力學(xué)模型,球形洞室開挖引起的塑性變形區(qū)劃分為k個(gè)同心球殼,且假定各球殼內(nèi)圍巖均質(zhì)、各向同性。

這樣,第1個(gè)球殼是破裂區(qū),圍巖強(qiáng)度為殘余強(qiáng)度;第k個(gè)球殼圍巖強(qiáng)度處于峰值,而第k+1個(gè)球殼圍巖處于彈性狀態(tài)。洞壁,即r=R0處的位移用U0表示;第i,i+1球殼交界面,即r=Ri處圍巖的位移和徑向應(yīng)力分別用Ui和σi表示;第i個(gè)球殼內(nèi)離球心距離為r處圍巖的徑向位移,徑向、環(huán)向應(yīng)力以及徑向、環(huán)向應(yīng)變分別用 U(i),σr(i),σθ(i),εr(i),εθ(i)(i=1, 2,…,k+1)表示。

2 基本理論和方程

根據(jù)彈塑性理論,各球殼內(nèi)應(yīng)力滿足靜力平衡條件(假定體積力為0):

圍巖破壞軟化過程中,即塑性屈服時(shí)應(yīng)力滿足M-C準(zhǔn)則:

圖1 巖石峰后應(yīng)變軟化模型Fig.1 Rock mass strain-softening model

圖2 球形洞室圍巖應(yīng)變軟化分析模型Fig.2 Analysis model of spherical cavity in strain-softening rock mass

式中,Ni和Si為材料參數(shù),且Ni和Si可由黏聚力ci、內(nèi)摩擦角φi表示為Ni=(1+sin φi)/(1-sin φi)和Si=2cicos φi/(1-sin φi)。

洞室第k+1個(gè)球殼,即r≥Rk范圍內(nèi)圍巖于彈性狀態(tài),其徑向和環(huán)向應(yīng)力可表示為

各球殼內(nèi)的巖體變形滿足幾何方程

問題的邊界和接觸條件為

3 圍巖應(yīng)力和變形

利用M-C準(zhǔn)則式(2),求解方程(1),可得

圍巖塑性屈服時(shí),徑向和環(huán)向應(yīng)變表示為

分別為徑、環(huán)向彈性應(yīng)變。

圍巖的彈性應(yīng)變服從廣義虎克定律,即開挖后洞室圍巖的彈性應(yīng)變可表示為

式中,νi為第i球殼內(nèi)巖體泊松比;Ei為第i球殼內(nèi)巖體彈性模量。

圍巖的塑性應(yīng)變?nèi)Q于其塑性勢(shì)Φi,巖石材料常采用塑性勢(shì)[12],即

式中,αi為材料參數(shù),且 αi=(1+sin ψi)/(1-sin ψi),其中ψi為擴(kuò)容角。

由式(14),徑向和環(huán)向塑性應(yīng)變滿足

將式(5),(6),(10)～(13)代入式(15),得到關(guān)于位移的一階線性微分方程

再將應(yīng)力表達(dá)式(8),(9)代入式(16),求解線性微分方程,并利用邊界和接觸條件式(7)可得

式(17)為考慮洞室圍巖應(yīng)變軟化時(shí)基于問題的基本方程所對(duì)應(yīng)的位移解析算式,相應(yīng)可得到其應(yīng)變表達(dá)式。但還需要確定各球殼的半徑Ri及其位移Ui。

4 各球殼半徑的確定

在彈塑性問題的分析中,通常是在彈塑性交界面,即r=Rk處彈性應(yīng)力滿足塑性屈服條件,以確定塑性區(qū)半徑。這樣,將彈性區(qū)應(yīng)力表達(dá)式(3),(4)代入M-C準(zhǔn)則式(2),彈塑性交界面處的徑向應(yīng)力σk可表示為

將式(18)和廣義虎克定律式(13)代入幾何方程(6),彈塑性交界面處徑向位移為

式中,Gk+1為彈性區(qū)剪切模量。

至此,問題的基本方程、邊界和接觸條件都已運(yùn)用,但圍巖的塑性半徑(各球殼半徑)還未定,這意味著圍巖的塑性區(qū)不確定(或不惟一),相應(yīng)地,圍巖可以對(duì)應(yīng)不同的應(yīng)力和變形狀態(tài)。事實(shí)上,洞室不同的巖性應(yīng)當(dāng)對(duì)應(yīng)不同的(破裂)塑性狀態(tài),即不同的塑性區(qū)半徑、應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)。顯然,洞室的塑性區(qū)范圍應(yīng)由圖1所示的圍巖應(yīng)力軟化特性所對(duì)應(yīng)。由于應(yīng)變軟化段已劃分成k(任意)個(gè)跌落區(qū)段,k取值足夠大時(shí),每個(gè)跌落段可認(rèn)為足夠小、且其應(yīng)變可認(rèn)為均勻。因此,取各球殼中間處圍巖的塑性剪應(yīng)變來表征該球殼內(nèi)應(yīng)變。設(shè)第 i個(gè)球殼內(nèi)在距離球心r=(Ri+Ri-1)/2處的圍巖塑性剪應(yīng)變值為βi。

令Kr(i)表示塑性區(qū)第i個(gè)球殼內(nèi)距離球心r處的圍巖塑性剪應(yīng)變,可得確定圍巖塑性區(qū)半徑的補(bǔ)充方程

將徑向、環(huán)向塑性應(yīng)變關(guān)系式(11),(15)和幾何方程表達(dá)式(6)代入式(21)得到

聯(lián)立式(18),(19),(23)即可求解塑性區(qū)半徑。

5 算例分析

巖體強(qiáng)度和彈性模量隨塑性應(yīng)變?cè)龃蠖饾u劣化,通?？扇∷苄约魬?yīng)變作為強(qiáng)度參數(shù)和變形模量的劣化指標(biāo),這里是取塑性剪應(yīng)變?chǔ)耰作為其劣化評(píng)價(jià)指標(biāo)。圍巖強(qiáng)度和變形模量的演化規(guī)律如圖3所示。

圖3 圍巖強(qiáng)度參數(shù)和變形模量的演化規(guī)律Fig.3 Evolution law of strength parameters and deformation modulus in surrounding rock mass

第k個(gè)球殼圍巖的強(qiáng)度和彈性模量處于峰值,且βk=0;第1個(gè)球殼圍巖的強(qiáng)度和彈性模量處于殘余值。第i個(gè)球殼圍巖的強(qiáng)度和變形模量ωi與βi之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)式表達(dá)為

假設(shè)各球殼圍巖塑性剪應(yīng)變值βi呈線性變化,即

將式(25)代入式(24),各球殼圍巖的強(qiáng)度和變形模量可表示為

由式(26)計(jì)算得到的各球殼圍巖的強(qiáng)度和變形模量值代入到方程組(18),(19)和(23),即可求解塑性區(qū)半徑。β1取值不同,所建立的方程組不同,得到的圍巖塑性區(qū)半徑(各球殼半徑)將不同。

[10]中球形洞室圍巖的物理力學(xué)參數(shù)取:洞室半徑R0=50 m,原始應(yīng)力p=25 MPa,彈性模量Ek=E1=15.5 GPa,泊松比νk=ν1=0.25,擴(kuò)容角ψk=ψ1=30°,黏聚力ck=1 MPa,c1=0.1 MPa,內(nèi)摩擦角φk=46°,φ1=36°。

k取值20(滿足精度要求),即將塑性變形區(qū)分20個(gè)球殼,并將上述參數(shù)代入式(18),(19)和(23),得到β1=2.00,0.05,0.025和0.001 25四種情況下圍巖洞壁位移曲線,如圖4所示。由圖可知:本文解析計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[10]數(shù)值計(jì)算成果能夠較好吻合,而且當(dāng)β1取值較大,即β1=2.00時(shí)對(duì)應(yīng)理想彈塑性模型的結(jié)果;而當(dāng)β1=0.001 25時(shí)對(duì)應(yīng)彈脆性模型的結(jié)果;β1值對(duì)洞壁位移有顯著影響。

圖4 β1取值對(duì)洞壁位移的影響Fig.4 Effect of β1on the displacement of free face

下面討論彈性模量劣化對(duì)圍巖變形的影響。

圍巖破裂軟化后取彈性模量線性劣化并分析其對(duì)洞壁位移U0,圍巖塑性區(qū)半徑Rk和破裂區(qū)半徑Rs的影響。取 ηE表示彈性模量的劣化程度,且 ηE= E1/Ek。彈性模量劣化程度對(duì)洞壁位移、塑性、破裂區(qū)半徑的影響如圖5所示。

圖5 β=0.025時(shí),彈性模量線性劣化對(duì)圍巖變形的影響Fig.5 Effects of linear deterioration of Young’s modulus on deformation of surrounding rock mass when β1=0.025

由圖5可知:支護(hù)力較小時(shí),洞壁位移,塑性、破裂區(qū)半徑會(huì)隨彈性模量的劣化有不同程度的增大。下面以支護(hù)力為零進(jìn)行說明,見表1。由表1可知,當(dāng)洞室內(nèi)壁無支護(hù)時(shí),ηE=0.3的洞壁無量綱位移較ηE=1.0的增大了95.8%;圍巖無量綱軟化半徑增大了2.2%;無量綱破裂半徑增大了7.7%。

表1 σ0=0時(shí)彈性模量線性劣化對(duì)圍巖變形的影響Table 1 Effects of linear deterioration of Young’s modulus on surrounding rock deformation when σ0=0

6 結(jié) 論

(1)通過用k次塑性流動(dòng)—脆性跌落逼近巖體峰后應(yīng)變軟化過程,將球形洞室圍巖的塑性變形區(qū)劃分成k個(gè)同心球殼;采用Mohr-Coulomb準(zhǔn)則和非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則對(duì)圍巖的應(yīng)力和變形進(jìn)行理論推導(dǎo);再由各球殼材料屬性表征點(diǎn)建立補(bǔ)充方程,得到塑性區(qū)半徑求解方程組。

(2)破裂區(qū)塑性剪應(yīng)變?chǔ)?取值不同,所建立的補(bǔ)充方程將不同,得到的解會(huì)不同。β1取值較小時(shí),脆塑性逼近形式的軟化模型可退化成彈脆性模型;β1取值較大時(shí),該模型可退化成理想彈塑性模型。

(3)圍巖破裂范圍對(duì)塑性區(qū)的擴(kuò)展和圍巖穩(wěn)定性有顯著影響。球形洞室圍巖出現(xiàn)破裂區(qū)時(shí),彈性模量的線性劣化會(huì)促進(jìn)塑性區(qū)和破裂區(qū)的擴(kuò)展,而且對(duì)洞壁的變形有顯著影響。

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Elastoplastic analysis of spherical cavity in strain-softening rock masses based on Mohr-Coulomb criterion

FENG Qiang1,FAN Jin-cheng2,ZHANG Qiang1,2,JIANG Bin-song1
(1.State Key Laboratory for Geomechanics&Deep Underground Engineering,China University of Mining&Technology,Xuzhou 221116,China;2.School of Mechanics&Civil Engineering,China University of Mining and Technology,Xuzhou 221116,China)

The strain-softening process of rock media after peak-load was simplified into a series of plastic flows and brittle falls.The plastic deformation region caused by the excavation of a spherical cavity was divided into several concentric spherical rings.Assumed that in each spherical ring the rock masses were infinitely homogeneous and isotropic.Based on Mohr-Coulomb criterion and non-associated flow rule,the closed-form solutions of stresses and displacements around the spherical cavity subjected to hydrostatic initial stresses were obtained.Through the characteristic point of material properties in each spherical ring,supplementary equations of rock media to be destroyed were presented and the iterative formulas of plastic radii were also obtained.Considering that deformation parameters of the surrounding rock mass deteriorate after peak-load,this paper respectively discussed the effects of the linear degradation of the elastic modulus and Poisson’s ratio on the displacement of free surface,softening radius and rupture radius.

spherical cavity;strain-softening;elastoplastic analysis;Mohr-Coulomb criterion;hydrostatic stress;deformation modulus degradation

TD313

A

0253-9993(2014)05-0836-05

馮 強(qiáng),范金成,張 強(qiáng),等.基于Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的球形洞室圍巖應(yīng)變軟化彈塑性分析[J].煤炭學(xué)報(bào),2014,39(5):836-840.

10.13225/j.cnki.jccs.2013.1519

Feng Qiang,Fan Jincheng,Zhang Qiang,et al.Elastoplastic analysis of spherical cavity in strain-softening rock masses based on Mohr-Coulomb criterion[J].Journal of China Coal Society,2014,39(5):836-840.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2013.1519

2013-10-18 責(zé)任編輯:常 琛

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51174196,51204168)

馮 強(qiáng)(1985—),男,山東乳山人,博士研究生,E-mail:fqcumt@163.com。通訊作者:蔣斌松(1961—),男,江蘇溧陽(yáng)人,教授,博士生導(dǎo)師。E-mail:jiangbs@cumt.edu.cn