路芳

(包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭014030)

在離散數(shù)學(xué)課中引入研究型題目的教學(xué)實(shí)踐*

路芳

(包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭014030)

為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)抽象概念的掌握和對(duì)相關(guān)知識(shí)應(yīng)用的理解，將研究型題目引入離散數(shù)學(xué)教學(xué)中。通過(guò)完成閱讀題目和課后實(shí)踐題目，使學(xué)生提高學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到掌握知識(shí)、提高能力的目的。

離散數(shù)學(xué);研究型題目;教學(xué)實(shí)踐

離散數(shù)學(xué)是以離散的量及其相互關(guān)系作為主要研究對(duì)象的一門(mén)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課。學(xué)生通過(guò)對(duì)這門(mén)課程的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力，掌握處理離散結(jié)構(gòu)的描述工具和方法，提高對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)的表述能力。因此，做好這門(mén)課程的教學(xué)工作，保證學(xué)生學(xué)習(xí)效果，就要將理論和實(shí)際應(yīng)用結(jié)合起來(lái)，既要注重對(duì)理論進(jìn)行細(xì)致的分析，又要注重實(shí)際應(yīng)用的介紹和實(shí)踐。通過(guò)有意識(shí)地對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，讓他們感受到離散數(shù)學(xué)課程的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

概念多、定義抽象是離散數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)，雖然在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，但在教材中卻沒(méi)有很好的體現(xiàn)，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中感覺(jué)內(nèi)容脫離應(yīng)用，抽象難理解，影響了學(xué)習(xí)的積極性。另外，網(wǎng)絡(luò)的高度普及應(yīng)用，使得一些學(xué)習(xí)自覺(jué)性差的同學(xué)容易受到課堂外因素的吸引，影響了上課學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

基于上述原因，教師需要通過(guò)變革教學(xué)的方式方法，不僅要想辦法在課堂上吸引學(xué)生的注意力，保證課堂教學(xué)效果，而且要通過(guò)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，使他們?cè)敢庠谡n堂外通過(guò)認(rèn)真完成作業(yè)達(dá)到掌握知識(shí)、提高能力的目的。在教學(xué)中，我引用設(shè)計(jì)了一些研究型題目，用以改革教學(xué)模式，改進(jìn)教學(xué)方法。

1 以問(wèn)題的求解導(dǎo)入新課，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

離散數(shù)學(xué)課程理論性強(qiáng)、概念抽象，要想在課堂上吸引學(xué)生的注意力，讓他們跟著教師的引導(dǎo)一步步由理解到掌握知識(shí)，需要我們用心設(shè)計(jì)好每一節(jié)課，尤其是新課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)。實(shí)踐證明，通過(guò)實(shí)例問(wèn)題的分析，引出相關(guān)知識(shí)的教學(xué)內(nèi)容，可以增加學(xué)生的興趣。例如在介紹邏輯推理時(shí)，可以舉例:

認(rèn)真聽(tīng)講或者按時(shí)完成作業(yè)，是學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)好的必不可少的條件。小麗成績(jī)好但不認(rèn)真聽(tīng)講。因此，小麗肯定按時(shí)完成作業(yè)。

要求學(xué)生判斷以下哪項(xiàng)和上述的論證方式最類(lèi)似。

A.一個(gè)影視作品要想有高收視率或票房?jī)r(jià)值，作品的質(zhì)量和必要的包裝宣傳是缺一不可的。A上映以來(lái)票房?jī)r(jià)值一般但實(shí)際上質(zhì)量堪稱(chēng)上乘。因此，它缺少必要的廣告宣傳。

B.必須有超常業(yè)績(jī)或者30年以上工齡的雇員，才有資格獲得公司的特殊津貼。B先生獲得了特殊津貼但在公司僅供職2年，因此他一定有超常業(yè)績(jī)。

C.如果一個(gè)公司既經(jīng)營(yíng)無(wú)方又鋪張浪費(fèi)，則一定會(huì)嚴(yán)重虧損。C公司雖經(jīng)營(yíng)無(wú)方但并沒(méi)有虧損，說(shuō)明它沒(méi)有鋪張浪費(fèi)。

D.罪犯要實(shí)施犯罪，必須既有作案動(dòng)機(jī)，又有作案時(shí)間，在這個(gè)案件中，D有作案動(dòng)機(jī)但沒(méi)有作案時(shí)間。因此，他不是該案的作案者。

E.一個(gè)論證不成立，當(dāng)且僅當(dāng)它的論據(jù)虛假，或者推理錯(cuò)誤。E的論證雖然邏輯嚴(yán)密，推理正確，但還是被認(rèn)定為不能成立?？梢?jiàn)，她的論據(jù)有虛假的成份。

學(xué)生通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的分析討論，得到一個(gè)選項(xiàng)，但要想說(shuō)明自己的選擇正確與否，就需要用命題邏輯的知識(shí)來(lái)推導(dǎo)了。首先，將已知推理的形式結(jié)構(gòu)的符號(hào)化形式寫(xiě)出來(lái):

然后分別寫(xiě)出各選項(xiàng)的形式結(jié)構(gòu)，通過(guò)比較得出B的推理結(jié)構(gòu)與它最類(lèi)似。

這樣引入教學(xué)，可以抓住學(xué)生的注意力，使他們知道這節(jié)課的理論知識(shí)可以解決哪一類(lèi)問(wèn)題，從而明確聽(tīng)課的目的，保證了教學(xué)效果。

2 設(shè)置課堂教學(xué)陷阱，強(qiáng)調(diào)容易被忽視的問(wèn)題

在課堂上，學(xué)生難免因?yàn)樗鶎W(xué)內(nèi)容的枯燥而思維游離，所以在講授知識(shí)的過(guò)程中，要用心設(shè)計(jì)一些教學(xué)陷阱，既可以集中學(xué)生的注意力，也突出了要強(qiáng)調(diào)的知識(shí)點(diǎn)。例如，在介紹有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣時(shí)，先給出關(guān)聯(lián)矩陣的定義:

然后給出一個(gè)帶環(huán)的有向圖，要求學(xué)生根據(jù)定義寫(xiě)出它的關(guān)聯(lián)矩陣。在遇到帶環(huán)的點(diǎn)時(shí)，矩陣中的相應(yīng)元素是無(wú)法給出的，此時(shí)和學(xué)生一起分析出現(xiàn)這種狀況的原因是這個(gè)點(diǎn)既是有向邊的起點(diǎn)又是終點(diǎn)，無(wú)法按定義寫(xiě)出矩陣元素，于是對(duì)照定義強(qiáng)調(diào)，有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣應(yīng)排除帶環(huán)圖的情況。通過(guò)這個(gè)例子，強(qiáng)調(diào)了有向圖關(guān)聯(lián)矩陣的定義是針對(duì)沒(méi)有環(huán)的有向圖這一要求。經(jīng)過(guò)掉入陷阱－得到解救這樣的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，同時(shí)也可活躍課堂氣氛、提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。

3 布置課前閱讀題目，了解教學(xué)內(nèi)容的相關(guān)知識(shí)

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)學(xué)科的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，在很多后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程中有廣泛的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)這門(mén)課程的時(shí)候，大部分專(zhuān)業(yè)課還未開(kāi)課，所以學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用沒(méi)有感受，因而影響了學(xué)習(xí)興趣。比如，學(xué)生雖然學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的內(nèi)容，但在離散數(shù)學(xué)課程中，函數(shù)的概念被推廣到是對(duì)離散的量的一種運(yùn)算，相應(yīng)的概念更加抽象了，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中總是難以理解，感覺(jué)較中學(xué)時(shí)的內(nèi)容更加枯燥無(wú)味。而這部分知識(shí)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中非常重要，可以說(shuō)，計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)據(jù)的輸出都可以看成是輸入數(shù)據(jù)的某個(gè)函數(shù)，但教材中一般都沒(méi)有介紹。為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，又不至占用課堂時(shí)間，可以通過(guò)布置課前閱讀題目，讓學(xué)生了解與課程內(nèi)容相關(guān)的背景知識(shí)、前沿知識(shí)和應(yīng)用實(shí)例。

例如，在計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)一批數(shù)據(jù)，為了準(zhǔn)確讀取到相應(yīng)的數(shù)據(jù)，要確定每個(gè)數(shù)據(jù)的位置，這樣就要通過(guò)建立在存儲(chǔ)表與數(shù)據(jù)編碼間的散列(Hash)函數(shù)來(lái)進(jìn)行，所以，在講解函數(shù)前，可以出示一些例子，如:

設(shè)計(jì)算機(jī)內(nèi)存中有編號(hào)從0到10的存儲(chǔ)單元，按次序?qū)?5、558、32、102、5存入后的情形如圖1所示，若要在這些存儲(chǔ)單元中存儲(chǔ)任意非負(fù)整數(shù)并可以進(jìn)行檢索。試用Hash函數(shù)完成對(duì)259和558的檢索。

圖1:數(shù)據(jù)與存儲(chǔ)單元的對(duì)應(yīng)關(guān)系

要求學(xué)生查找、閱讀與散列函數(shù)有關(guān)的資料，了解它的定義和在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生不僅可以得出本問(wèn)題的解為h(259)=259 mod 11=6，h(558)=8，而且也對(duì)函數(shù)在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的應(yīng)用能有一個(gè)較全面的了解，從而達(dá)到明確所學(xué)內(nèi)容的實(shí)際應(yīng)用，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情的目的。

4 設(shè)計(jì)課后研究型題目，鍛煉解決問(wèn)題的能力

關(guān)于離散數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，并不是所有內(nèi)容都適合布置課前閱讀，有些知識(shí)只有在經(jīng)過(guò)課堂講授，學(xué)生對(duì)概念有了一定的理解后，才能對(duì)相關(guān)的應(yīng)用有所領(lǐng)悟。因此，為一些知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)課后研究型題目，讓學(xué)生在通過(guò)查閱資料，撰寫(xiě)學(xué)習(xí)報(bào)告來(lái)加深對(duì)新概念的理解，同時(shí)嘗試用所學(xué)理論和方法去解決實(shí)際問(wèn)題。

例如，在介紹了有向圖的鄰接矩陣后，有定理:設(shè)A為有向圖D的鄰接矩陣，D的頂點(diǎn)集為V= {v1，v2，…vn}，則A的k次冪Ak中的元素a(k)ij為D中vi到vj長(zhǎng)度為k的通路數(shù)。這個(gè)定理教材中沒(méi)有給出證明，可以布置課后作業(yè):

圖2:有向圖D及其鄰接矩陣

通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解答，學(xué)生由定義能得到A (D)中i行j列元素表示D中vi到vj長(zhǎng)度為1的通路數(shù)，再根據(jù)矩陣乘法的定義，分析出A2中i行j列元素表示D中vi到vj長(zhǎng)度為2的通路數(shù)，從而在理解了定理內(nèi)容實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上，找到利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明本定理的方法。通過(guò)對(duì)類(lèi)似問(wèn)題的研究，不僅讓學(xué)生接觸到了所學(xué)知識(shí)的具體應(yīng)用，同時(shí)也鍛煉了解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)了科學(xué)研究意識(shí)。

5 設(shè)置編程題目，在實(shí)踐中理解和掌握算法

用計(jì)算機(jī)求解問(wèn)題的基本步驟是:首先由實(shí)際問(wèn)題建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)出相應(yīng)的算法，再編程實(shí)現(xiàn)。離散數(shù)學(xué)知識(shí)便是在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用離散結(jié)構(gòu)做出問(wèn)題的抽象模型，進(jìn)而構(gòu)造算法的能力。所以，在每個(gè)教學(xué)模塊結(jié)束時(shí)，設(shè)計(jì)一兩個(gè)編程題目，要求學(xué)生解答，可以使他們?cè)趯?shí)踐中掌握所學(xué)算法，提高解決問(wèn)題的能力。

編程題目可以分為兩類(lèi)，簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)題目是對(duì)照數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的某些算法，讓學(xué)生用程序語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。比如編程實(shí)現(xiàn)對(duì)歐拉圖的判定，求解最優(yōu)二叉樹(shù)等，通過(guò)實(shí)踐對(duì)所學(xué)定義定理的應(yīng)用，使抽象的理論具體化。綜合性的實(shí)驗(yàn)題目是針對(duì)每個(gè)知識(shí)模塊給出的，要求學(xué)生給出解決問(wèn)題的方案，并編程實(shí)現(xiàn)。例如，給出一個(gè)游樂(lè)園中不同游樂(lè)項(xiàng)目的費(fèi)用和分布情況及距離，要求學(xué)生設(shè)計(jì)出滿(mǎn)足游客對(duì)游園線(xiàn)路最短、游樂(lè)項(xiàng)目最全等不同需求的程序。通過(guò)問(wèn)題的解決，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和科學(xué)研究的能力。

通過(guò)上述幾個(gè)環(huán)節(jié)的題目設(shè)計(jì)，將離散數(shù)學(xué)課的教學(xué)用各類(lèi)題目串連起來(lái)。通過(guò)課前閱讀了解新課程中內(nèi)容的應(yīng)用領(lǐng)域，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)完成課堂學(xué)習(xí)，再通過(guò)完成課后研究型題目加深對(duì)概念的理解，鍛煉數(shù)學(xué)表達(dá)能力。這一系列的過(guò)程中，選擇、設(shè)計(jì)合適的實(shí)例是實(shí)施這一教學(xué)改革的重要保證。

6 結(jié)語(yǔ)

引入研究型題目的教學(xué)實(shí)踐，是一種通過(guò)實(shí)例增強(qiáng)對(duì)抽象概念的理解和對(duì)知識(shí)的應(yīng)用的教學(xué)方法，達(dá)到了將理論與應(yīng)用相結(jié)合的目的，有效地保證了教學(xué)質(zhì)量。這種教學(xué)設(shè)計(jì)，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，有利于數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，對(duì)今后專(zhuān)業(yè)課的學(xué)習(xí)、能力的提高有很好的促進(jìn)作用。

［1］馬慧，等.離散數(shù)學(xué)的實(shí)例化概念教學(xué)法［J］.計(jì)算機(jī)教育，2011，(16).

［2］郭曉姝.離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式改進(jìn)探討［J］.計(jì)算機(jī)教育，2012，(5)

［3］屈婉玲，耿素云，張立昂.離散數(shù)學(xué)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2008，1.

The Teaching Practice by Importing Research Problem in Discrete Mathematics

LU Fang
(Faculty of Mathematical Science，Baotou Teachers’College;Baotou 014030)

In order to strengthen students＇mastery of combine theory and application，our teaching method is Enhancing Comprehension of Concepts via research Example.By completing reading and practice to make the students understand the abstract concepts，Improve the learning interest.The goal is to achieve knowledge and improve ability of purpose.

discrete mathematics;Research Problem;Teaching practice

G642.0

A

1004－1869(2014)01－0086－03

2013－12－31

路芳(1970－)，女，山東長(zhǎng)清人，副教授，研究方向:計(jì)算軟件與理論。