王惠芳，趙志誠，張井崗(太原科技大學電子信息工程學院，太原 030024)

開環(huán)不穩(wěn)定過程在工業(yè)領域中普遍存在，如連續(xù)攪拌反應釜、聚合反應器等，不穩(wěn)定極點的存在使得系統(tǒng)難以控制，尤其當不穩(wěn)定過程又含有時滯環(huán)節(jié)時，閉環(huán)系統(tǒng)的相位裕度減小，從而進一步增加了控制的難度。近年來，針對開環(huán)不穩(wěn)定時滯過程，國內(nèi)外眾多學者在控制方法的研究上開展了大量的工作，取得了豐富的成果。文獻[1]對控制能量存在約束條件的一類不穩(wěn)定時滯過程探討了最優(yōu)控制器的設計方法，文獻[2]針對不穩(wěn)定時滯過程提出了一種基于靈敏度指標的PID控制器整定方法，有效地增強了系統(tǒng)的魯棒性，文獻[3]采用多項式擬合過程的時滯環(huán)節(jié)，并通過狀態(tài)反饋方法鎮(zhèn)定不穩(wěn)定過程，在此基礎上給出了內(nèi)模PID控制器參數(shù)的解析式，文獻[4]提出了一種改進的內(nèi)?？刂平Y構，給出了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定判定定理，并基于系統(tǒng)閉環(huán)性能和相角裕度，實現(xiàn)了控制器參數(shù)的整定。文獻[5]提出一種基于靈敏度函數(shù)的二自由度PID控制器整定策略但同時增加了成本。另外，隨著分數(shù)階控制理論研究的不斷深入，分數(shù)階控制器設計的靈活性以及對系統(tǒng)性能的改善使其越來越受到控制界的廣泛關注，針對不穩(wěn)定時滯過程，文獻[6]提出了一種分數(shù)階PDμ控制器設計方法，并根據(jù)D分割技術實現(xiàn)了控制器參數(shù)的整定，文獻[7]推導出了分數(shù)階PIλDμ控制器的解析整定規(guī)則。但這兩種方法仍然存在著整定復雜的缺陷，且控制系統(tǒng)性能還有待進一步提高。

本文針對不穩(wěn)定過程提出了一種設定值加權的分數(shù)階PIλDμ控制器的設計方法。首先利用比例環(huán)節(jié)構成的內(nèi)環(huán)反饋鎮(zhèn)定不穩(wěn)定過程，然后基于鎮(zhèn)定后的等效過程模型設計分數(shù)階PIλDμ控制器，克服了控制器直接控制不穩(wěn)定過程的不足。仿真結果表明了所提方法的有效性。

1 不穩(wěn)定過程的鎮(zhèn)定

在工業(yè)過程中，典型的一階不穩(wěn)定時滯過程模型為：

(1)

式中，K為過程增益；T為時間常數(shù)；L為時滯時間。

采用比例控制器對不穩(wěn)定時滯過程進行鎮(zhèn)定的控制結構如圖1所示，其中Gp(s)為不穩(wěn)定過程，G(s)為鎮(zhèn)定后的等效過程模型，K1為內(nèi)環(huán)比例控制器，C(s)為分數(shù)階PIλDμ控制器，R(s)、Y(s)分別為系統(tǒng)的輸入和輸出，N(s)為輸入擾動。

圖1 不穩(wěn)定過程控制結構圖

由系統(tǒng)結構圖可得等效過程的模型:

(2)

對式(2)分母中的時滯項用一階泰勒公式e-Ls≈1-Ls逼近后得G(s)的近似表達式：

(3)

為了保證G(s)的穩(wěn)定性，由Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)可知內(nèi)環(huán)比例控制器的增益K1需滿足條件：

(4)

式中，Kmin和Kmax分別為K1的最小值和最大值。

針對式(4)，文獻[7]給出了滿足最優(yōu)增益裕度的比例控制器增益為：

(5)

將式(5)帶入式(3)得:

(6)

2 分數(shù)階PIλDμ控制器設計

分數(shù)階PIλDμ控制器是整數(shù)階PID控制器一般化形式的推廣，其數(shù)學模型為：

(7)

式中，Kp、Ti、Td分別為比例、積分和微分增益，λ和μ分別為積分階次和微分階次。觀察上式可以發(fā)現(xiàn)：當λ=μ=0，即C(s)為P控制器；當λ=0，μ=1，C(s)為PD控制器；當λ=1，μ=0，C(s)為PI控制器；當λ=μ=1，C(s)為PID控制器。與傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器相比，分數(shù)階PIλDμ控制器多了積分階次λ和微分階次μ兩個參數(shù)，因此整定較為復雜。

為避免純微分運算，工程上常常采用一種改進結構的PID控制器[9]:

(8)

式中，N為常數(shù)，其取值范圍為[1，33].

基于分數(shù)階微積分理論，將式(8)中的微積分階次推廣至分數(shù)，得相應的分數(shù)階PIλDμ控制器：

(9)

另外，考慮設定值加權方法可以有效的減少系統(tǒng)超調(diào)量[7，10-11]，進一步改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，因此可以在式(8)的基礎上進一步設計一種設定值加權的分數(shù)階PIλDμ控制器：

(10)

式中，β為設定值加權系數(shù)。

由式(10)可以看出，除了N之外，設定值加權的分數(shù)階PIλDμ控制器中包含6個待整定參數(shù)，文獻[6]針對式(6)所示的穩(wěn)定的一階時滯過程，基于最大靈敏度指標和最小化積分絕對誤差(IAE)指標，給出了一種如下設定值加權的分數(shù)階PIλDμ控制器參數(shù)整定方法：

(11)

因此，本文將此控制器參數(shù)整定方法推廣應用于不穩(wěn)定時滯過程設定值加權分數(shù)階PIλDμ控制器的設計中。

3 仿真及結果分析

為了驗證本文方法的有效性，基于Matlab平臺進行仿真分析，并與文獻中的方法進行對比。

例1：考慮文獻[2]中不穩(wěn)定時滯過程：

(12)

利用本文方法，根據(jù)式(5)得內(nèi)環(huán)比例控制器增益K1=0.5，同時根據(jù)式(6)得等效的穩(wěn)定時滯過程參數(shù)K′=4，T′=2.根據(jù)式(11)，可得分數(shù)階PIλDμ控制器參數(shù)為Kp=0.199 5，Ti=0.936 6，Td=0.561 0，β=1.016 3，λ=1，μ=1.1.將參數(shù)代入式(10)，并取參數(shù)N=30，得Csp(s)控制器；文獻[11]針對此過程設計了PID控制器，其參數(shù)分別為Kp=0.655，Ti=0.060 1，Td=0.49.在t=90 s時，加入幅值為+0.2的階躍輸入擾動，系統(tǒng)的單位階躍響應如圖2所示。由圖可見本文方法可使系統(tǒng)響應速度加快，調(diào)節(jié)時間短，并能快速抑制擾動。

圖2 例1控制系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

為了驗證系統(tǒng)的魯棒性，假設過程增益發(fā)生-10%的攝動，系統(tǒng)的單位階躍響應如圖3所示?？梢钥闯霰疚姆椒ㄔO計的閉環(huán)系統(tǒng)對參數(shù)攝動不敏感，具有更好的魯棒性。

例2：考慮文獻[7]中不穩(wěn)定過程：

(13)

同樣利用本文方法，內(nèi)環(huán)比例控制器增益K1由式(5)為2.236 1，由式(6)等效過程模型參數(shù)系統(tǒng)增益K′取0.809 0，時間常數(shù)T′取0.447 2.根據(jù)式(11)，可得分數(shù)階PIλDμ控制器參數(shù)為Kp=0.851 8，Ti=0.198 0，Td=0.098 6，β=0.970 0，λ=1，μ=1.1，取參數(shù)N=30，得Csp(s)控制器，而利用文獻[12]方法得出的分數(shù)階PIλDμ控制器參數(shù)為Kp=0.254 6，Ti=0.437 1，Td=0.093 0，λ=1.480 1，μ=0.981 0.分別用這兩種控制器對該系統(tǒng)進行控制，其單位階躍響應曲線如圖4所示。從圖中可以看出本文設計的分數(shù)階PIλDμ控制器可以使系統(tǒng)獲得更好跟蹤特性。與文獻所設計的控制器相比，其閉環(huán)系統(tǒng)輸出超調(diào)小，震蕩少，系統(tǒng)反應快，調(diào)節(jié)時間短，表現(xiàn)出了很好的動靜態(tài)性能。當t=40 s時，加入幅值為+0.2階躍輸入擾動，可見本文方法可以更好地抑制干擾，具有良好的控制特性。

圖3 例1模型失配情況下系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

圖4 例2 控制系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

圖5 例2模型失配情況下系統(tǒng)的單位階躍響應

同樣驗證系統(tǒng)的魯棒性，在過程增益發(fā)生-10%攝動的情況下，系統(tǒng)的單位階躍響應如圖5所示。可以看出本文所設計控制器的閉環(huán)輸出只是超調(diào)有微小增大，調(diào)節(jié)時間和系統(tǒng)反應速度基本上沒有差別。與文獻控制器相比，本文控制器具有更好的魯棒效果。

4 結論

針對工業(yè)過程中具有代表性的一階不穩(wěn)定時滯過程，給出了一種基于設定值加權的分數(shù)階PIλDμ控制器設計方法。仿真結果表明：本文設計方法簡單有效，可使不穩(wěn)定過程獲得較快的設定值跟蹤特性、擾動抑制特性，同時提高了系統(tǒng)克服參數(shù)變化的魯棒性。

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