王志浩，胡永輝，侯雷，吳華兵，葛君霞

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二次多項式模型和灰色理論模型在接收機鐘差預(yù)報中的應(yīng)用和比較

王志浩1,2,3，胡永輝1,2，侯雷1,2，吳華兵1,2,3，葛君霞1,2,3

（1. 中國科學(xué)院國家授時中心，西安 710600；2. 中國科學(xué)院精密導(dǎo)航定位與定時技術(shù)重點實驗室，西安 710600；3. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

為了更好地對接收機鐘差作科學(xué)、準(zhǔn)確的預(yù)報，基于實驗室解算出的接收機鐘差數(shù)據(jù), 分別采用二次多項式模型和灰色理論模型對接收機鐘差進行了預(yù)報和分析。預(yù)報結(jié)果及其比較表明，對于需要用少量接收機鐘差數(shù)據(jù)建立預(yù)報模型時，灰色理論模型預(yù)報不論是單點預(yù)報還是多點（30個點）預(yù)報，其預(yù)報精度都優(yōu)于二次多項式預(yù)報模型，可以在實際工作中應(yīng)用。

接收機鐘差；二次多項式模型；灰色理論模型

0 引言

根據(jù)衛(wèi)星導(dǎo)航定位理論，接收機同時觀測4顆以上的導(dǎo)航定位衛(wèi)星，可以實現(xiàn)定位，并且可以解算出接收機的鐘差。當(dāng)接收機在城市街道、高樓附近或者森林等遮擋物較多的環(huán)境工作時，由于衛(wèi)星信號被遮擋，接收機短時間內(nèi)能收到的衛(wèi)星數(shù)可能少于4顆。在僅收到3顆衛(wèi)星信號時，可以將接收機鐘差模型預(yù)測出的下一時刻鐘差當(dāng)成一個已知參數(shù)，再根據(jù)偽距觀測方程進行接收機的輔助定位。此外，接收機鐘差預(yù)報在接收機完備性檢測、弱信號環(huán)境下信號的快速捕獲等方面均有十分重要的意義。

目前接收機鐘差預(yù)報方法主要以多項式模型及其改進模型為主。文獻[1]提出采用滑動窗的方式建立參數(shù)實時更新的接收機鐘差改進模型，即對擬合所用的采樣數(shù)據(jù)集設(shè)置一定長度，同時把新的采樣數(shù)據(jù)引入擬合模型，并剔除最舊數(shù)據(jù)，然后重新估計模型參數(shù)再用于預(yù)報，從而建立參數(shù)實時更新的鐘差模型；文獻[2]針對最小二乘鐘差預(yù)報算法會造成數(shù)據(jù)飽和的不足，將遺忘因子引入最小二乘預(yù)報算法，減弱了老數(shù)據(jù)對預(yù)報值的影響，防止了數(shù)據(jù)飽和；文獻[3]針對GPS/INS深組合系統(tǒng)中GPS接收機誤差狀態(tài)模型難以確定的問題，提出一種自適應(yīng)的時鐘誤差模型，該模型可以根據(jù)GPS接收機鐘差的變化規(guī)律而自適應(yīng)地調(diào)節(jié)模型參數(shù)。

灰色系統(tǒng)是指部分信息已知、部分信息未知的系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)理論以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”的不確定系統(tǒng)為研究對象，通過對“部分”已知信息的生成、開發(fā)，提取有價值的信息，實現(xiàn)對系統(tǒng)運行行為的正確認(rèn)識和有效控制?；疑A(yù)報基于人們對系統(tǒng)演化不確定性特征的認(rèn)識，運用序列算子對原始數(shù)據(jù)進行生成、處理，挖掘系統(tǒng)演化規(guī)律，建立灰色系統(tǒng)模型，對系統(tǒng)的未來狀態(tài)做出科學(xué)的定量預(yù)報[4]。

解算出的接收機的鐘差變化受到各種因素的影響，除衛(wèi)星坐標(biāo)誤差、對流層延遲以及電離層延遲等因素外，接收機鐘差變化還與其內(nèi)部的晶體振蕩器有關(guān)。無論是星載鐘、地面原子鐘還是普通晶體振蕩器，都是非常敏感的，極易受到外界環(huán)境及自身因素的影響，很難掌握其復(fù)雜細(xì)致的變化規(guī)律，因此可將鐘差的變化視為灰色系統(tǒng)[5]。

近年來隨著灰色理論的發(fā)展，對于衛(wèi)星鐘差和接收機鐘差的處理越來越多地使用灰色理論。文獻[6] 對灰色理論的鐘差模型詳述了病態(tài)矩陣與判別方法，并對鐘差預(yù)報模型的穩(wěn)定性進行了分析。文獻[5]采用了灰色系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混合模型來實現(xiàn)星載鐘差的預(yù)報。

本文通過采用實驗室解算出的接收機鐘差數(shù)據(jù)進行數(shù)學(xué)建模，根據(jù)二次多項式模型和灰色理論模型，對接收機鐘差進行預(yù)報和分析比較。

1 接收機鐘差的求解

衛(wèi)星導(dǎo)航定位理論中，偽距觀測方程式為

由式（2）可以看出，求得的GPS接收機的鐘差精度水平主要取決于接收機的偽距測量精度、接收機的坐標(biāo)精度、衛(wèi)星的位置精度、衛(wèi)星鐘差的精度、對流層延遲改正以及電離層延遲改正的精度等。

接收機的鐘差一般與位置信息一并解算，故認(rèn)為各觀測瞬間的接收機的鐘差是相互獨立的，因此可以根據(jù)以往測得的接收機鐘差數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的鐘差模型，得到未來某個時刻的鐘差數(shù)據(jù)。

2 接收機鐘差模型的建立

2.1 二次多項式模型的建立

二次多項式模型是用二次多項式作為擬合的目標(biāo)函數(shù)，對接收機的原始鐘差進行建模：

我們可以直接套用矩陣方程的最小二乘法解的公式，得到方程（4）的最小二乘法解為

利用該模型求得的未來任意時刻的鐘差數(shù)值為

2.2 灰色理論模型的建立

對接收機的原始鐘差序列進行建模時，必須保證鐘差序列中符號保持一致[7]，若不一致，需要給每個元素都加上一個常數(shù)。在此基礎(chǔ)上才可以建立鐘差灰色理論模型，完成最后解算過程后重新減去此常數(shù)即可得到預(yù)報的鐘差數(shù)據(jù)。

對式（9）進行展開，得到：

將式（10）寫為矩陣形式，得

式（14）的離散形式為

將式（15）代入式（16）中，化簡得到：

3 預(yù)報和分析

為驗證上述兩種模型的可行性，本文采用實驗室解算出的接收機鐘差數(shù)據(jù)作為實測數(shù)據(jù)進行預(yù)報分析。為了在預(yù)報過程中保證模型參數(shù)的可靠性，同時考慮到接收機實際應(yīng)用中存儲數(shù)據(jù)量不會太多，一般只存儲大約幾十個到幾百個接收機鐘差值，因此本文采用60個鐘差數(shù)據(jù)（每秒1個數(shù)據(jù)，起始時間段為：2013年9月29日08:00:00至08:01:00）建立鐘差模型，采用滑動的形式不斷剔除最前面的舊數(shù)據(jù)，同時引入新的接收機鐘差數(shù)據(jù)。在本文中，單點預(yù)報為每次預(yù)報下一秒的接收機鐘差（預(yù)報時間段為：2013年9月29日08:01:01至08:45:00）；多點預(yù)報為每次預(yù)報隨后30s的30個接收機鐘差（預(yù)報時間段為：2013年9月29日08:01:01至08:45:00）。

二次多項式模型單點預(yù)報結(jié)果及其與實測值之差分別如圖1和圖2所示，灰色理論模型單點預(yù)報結(jié)果及其與實測值之差分別如圖3和圖4所示。

圖1 二次多項式模型預(yù)報的鐘差（單點預(yù)報）

圖2 二次多項式模型預(yù)報的鐘差值與實測值之差（單點預(yù)報）

圖3 灰色理論模型預(yù)報的鐘差（單點預(yù)報）

圖4 灰色理論模型預(yù)報的鐘差值與實測值之差（單點預(yù)報）

二次多項式模型多點預(yù)報結(jié)果及其與實測值之差分別如圖5和圖6所示，灰色理論模型多點預(yù)報結(jié)果及其與實測值之差分別如圖7和圖8所示。

圖5 二次多項式模型預(yù)報的鐘差（多點預(yù)報）

圖6 二次多項式模型預(yù)報的鐘差值與實測值之差（多點預(yù)報）

圖7 灰色理論模型預(yù)報的鐘差（多點預(yù)報）

圖8 灰色理論模型預(yù)報的鐘差值與實測值之差（多點預(yù)報）

對于分別采用二次多項式模型和灰色理論模型進行鐘差預(yù)報所得到的預(yù)報值與實測值之間的差值，它們的最大值、最小值、平均值和均方根值列于表1。

表1 鐘差預(yù)報值與實測值之差的最大值、最小值、平均值和均方根值 ns

采用二次多項式模型進行鐘差預(yù)報的特點是方法比較簡單，計算步驟較少。由表1可見，二次多項式模型單點預(yù)報時預(yù)報值與實測值之差的均方根值為2.2984ns，效果較好；但在多點預(yù)報中，此均方根值上升，為3.8165ns?；疑碚撃Ｐ透芊从秤刹淮_定因素引起的鐘差變化，其計算步驟也不繁瑣。表1表明，灰色理論模型單點預(yù)報時和多點預(yù)報時預(yù)報值與實測值之差的均方根值分別為2.2196ns和2.4202ns。不論是單點預(yù)報還是多點預(yù)報，灰色理論模型的預(yù)報誤差均小于二次多項式模型的預(yù)報誤差。由此表明，灰色理論模型預(yù)報值比二次多項式模型預(yù)報值更貼近實測值。

4 結(jié)語

在實際接收機使用中，當(dāng)接收機時鐘頻率保持穩(wěn)定時，可以根據(jù)近期接收機鐘差的數(shù)據(jù)建立模型并預(yù)報后續(xù)時刻的接收機鐘差。當(dāng)需要基于少量接收機鐘差數(shù)據(jù)建立鐘差預(yù)報模型并進行預(yù)報時，灰色理論模型預(yù)報精度無論是單點預(yù)報還是多點預(yù)報都優(yōu)于二次多項式預(yù)報模型。因此，灰色理論預(yù)報模型更適用于基于少量接收機鐘差數(shù)據(jù)的鐘差預(yù)報，可以應(yīng)用在實際工作中。

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Application and comparison of quadratic polynomial modeland grey theory model in prediction of receiver clock bias

WANG Zhi-hao1,2,3, HU Yong-hui1,2, HOU Lei1,2, WU Hua-bing1,2,3, GE Jun-xia1,2,3

(1.National Time Service Center, Chinese Academy of Sciences, Xi′an 710600, China;2. Key Laboratory of Precision Navigation and Timing Technology, National Time Service Center,Chinese Academy of Sciences, Xi′an 710600, China;3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

In order to make a more scientific and accurate prediction of the receiver clock bias, we adopted the quadratic polynomial model and the grey theory model respectively to predict and analyze the receiver clock bias based on the calculated clock bias data obtained from the laboratory. The prediction and comparison show that in case of needing establishing the prediction model with a small amount of receiver clock bias data, the forecast precision of grey theory model is better than that of quadratic polynomial model, for both of single point prediction and multipoint (30 points) prediction, and the grey theory model can be used in practical work.

receiver clock bias; quadratic polynomial model; grey theory model

P228

A

1674-0637(2014)03-0157-07

10.13875/j.issn.1674-0637.2014-03-0157-07

2013-09-04

中國科學(xué)院“西部之光”人才培養(yǎng)計劃重點資助項目（2009ZD02）

王志浩，男，碩士，主要從事GNSS接收機的研究設(shè)計。