湯井田， 譚 潔, 潘克家

(中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院， 長沙 410083)

0 引言

直流電阻率法是以地殼中巖石和礦石的導(dǎo)電性差異為物理基礎(chǔ)，通過觀測與研究人工建立的地中穩(wěn)定電流場的分布規(guī)律,進(jìn)行找礦和解決地質(zhì)問題的一組電法勘探分支方法，無論在普查金屬、非金屬礦產(chǎn)和研究地質(zhì)構(gòu)造方面，還是在水文、工程、環(huán)境地質(zhì)調(diào)查以及勘查能源等方面，均取得了良好的地質(zhì)效果，發(fā)揮著重要作用。

卡連諾夫[1]早在上世紀(jì)三十年代提出，當(dāng)?shù)叵麓嬖趦A斜接觸面時(shí)，研究點(diǎn)源電流場的分布具有重要的理論與實(shí)踐意義。此后R.F.Aldredge[2], ，B.H.達(dá)連諾夫[3]等人也對該問題進(jìn)行了研究，K.Maeda[4]利用點(diǎn)源多次鏡像進(jìn)行求解，但僅適用于π是α的整數(shù)倍，或者(ρ2-ρ1)/(ρ2+ρ1)=-1(如ρ2=0)且π/2是α的整數(shù)倍，不及解析法的應(yīng)用廣泛。

作者詳細(xì)推導(dǎo)了傾斜接觸面存在時(shí)電測深視電阻率的實(shí)用計(jì)算公式[5-11,14]，對進(jìn)一步研究提供了一定的基礎(chǔ)，分析了對稱四極測深裝置[12-13]下不同的布極方位時(shí)的測深視電阻率曲線特征，對實(shí)際工作仍有一定的指導(dǎo)作用。

1 公式推導(dǎo)

利用解析法求解傾斜接觸面存在時(shí)的電位，是通過邊界條件求解與實(shí)際問題相應(yīng)的拉普拉斯方程。

圖1為點(diǎn)源場中傾斜接觸面模型結(jié)構(gòu)示意圖，A為點(diǎn)源，M為測點(diǎn)。采用柱坐標(biāo)系，以斜面與地表的交線為Z軸，于是A點(diǎn)的柱坐標(biāo)為(r0,0,0)。設(shè)任意一點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(r,θ,z)，當(dāng)0<θ<α?xí)r，M位于二面角α內(nèi)；當(dāng)α<θ<π時(shí)，M位于二面角α外。

圖1 點(diǎn)源場中斜接觸面模型結(jié)構(gòu)示意圖Fig．1 Field of a point source situated on the earth above a dipping bed

問題在于求大地任一點(diǎn)M(r,θ,z)處的電位

U(r,θ,z)：

顯然電位滿足拉普拉斯方程:

(1)

U1、U2滿足以下邊界條件：

(2)U1=U2(θ=α)。

令U(r,θ,z)=P(θ)Q(r,z)，用分離變量法求解該定解問題可以得到：

(2)

(3)

為了便于編程計(jì)算，將解化為級數(shù)形式。

(1)當(dāng)r>r0，且Res>-1/2時(shí)，交換積分次序，可改寫成式(4)。

Is(r0t)Ks(rt)ds

(4)

式中

g(s)=cos[s(π-θ)]+kcos[s(a-θ)]；h(s)=sin(sπ)+ksin(sa)。

(2)當(dāng)r-1/2時(shí)，同理可得式(5)。

Is(rt)Ks(r0t)ds

(5)

U2的改寫同理可得。

設(shè)F(s)表示上面兩式中內(nèi)層積分的被積函數(shù)。為了應(yīng)用留數(shù)定理來計(jì)算積分，先考慮F(s)的奇點(diǎn)。由于g(s)與第一、第二類Bessel函數(shù)Is、Ks是s的解析函數(shù)，故F(s)的奇點(diǎn)就是h(s)的零點(diǎn)，即方程h(s)=0的根，該方程sin(sπ)+ksin(sa)=0(式中a=2α-π)依具體的k值及s的值而定。

數(shù)學(xué)上可以證明，在0<α<π的情況下，方程的根必為實(shí)數(shù)，故方程寫為h(x)=0。且|k|<1的情形下，h(x)=0的根必為單根。此時(shí)h(x)=sin(xπ)+ksin(xa)=0的根x滿足sin2(xπ)=k2sin2(xa)。

當(dāng)0<|x|<1/2時(shí)，因0≤|α|<π，故0≤|xα|<|x|π<1/2。又在0≤φ<π/2時(shí)，(sinφ)′=cosφ>0，故sinφ是遞增函數(shù)。

于是sin|xα|

由此可見，在以原點(diǎn)為中心、以δ(<1/2)為半徑的圓內(nèi)，僅有s=0是方程的單根，從而原點(diǎn)是F(s)的單極點(diǎn)，故從iδ到-iδ沿這圓的左半部分c積分：

(6)

(7)

同樣，

(8)

于是

(9)

設(shè)|k|<1的情形，將[-iym,iδ]與[iδ,iym]二線段以及半圓c與折線Lm接成的圍線記為Cm，據(jù)留數(shù)定理，依正向積分：

(10)

式中N是在Cm內(nèi)h(x)=0的正根xi的個(gè)數(shù)，而

(11)

故：

(12)

令m→∞(從而ym→∞，N→∞)得到Cauchy主值：

(13)

將求和下標(biāo)j改寫成m，可得：

(1)當(dāng)r>r0時(shí)，

(14)

(2)當(dāng)r

(15)

代入式(2)與式(3)得到：

(1)當(dāng)r>r0時(shí)，

(16)

(2)當(dāng)r

由于

(17)

則

(18)

(19)

方程h(x)=0的單根xm就是F(s)的單極點(diǎn)，也就是g(s)/h(s)及cos[s(π-θ)]/h(s)的單極點(diǎn)，在這些點(diǎn)處：

(20)

(21)

由此可見，當(dāng)|k|<1時(shí)，計(jì)算公式為：

(22)

(23)

式中a=2α-π。

2 不同裝置下傾斜接觸面電測深曲線

在公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，繪制了二極裝置下點(diǎn)源場中傾斜接觸面電測深曲線[19-21]，對垂直接觸面上不同布極方位電測深曲線特征進(jìn)行了詳細(xì)討論。

2.1 二極裝置下傾斜接觸面電測深曲線

圖2為二極測深裝置的模型結(jié)構(gòu)示意圖。模型參數(shù)：裝置軸與接觸面垂直，傾斜接觸面的角度分別取為30°、45°、60°以及90°，測點(diǎn)M橫坐標(biāo)設(shè)為d，取為10 m，源點(diǎn)A橫坐標(biāo)分別取10.2 m、10.3 m、10.4 m、10.5 m、10.6 m、10.7 m、10.8 m、10.9 m、11.0 m、12.0 m、13.0 m、14.0 m、15.0 m、16.0 m、17.0 m、18.0 m、19.0 m、20.0 m、25.0 m、30.0 m、40.0 m、50.0 m、60.0 m、70.0 m、80.0 m、100.0 m、150.0 m、200.0 m、300.0 m、400.0 m、500.0 m、600.0 m、800.0 m、1 000.0 m。

圖2 二極測深裝置模型結(jié)構(gòu)示意圖Fig．2 The sketch of geoelectricity model with pole-pole array

二極裝置下，視電阻率定義為：

視電阻率曲線見圖3-圖6。

圖3 傾斜角度φ為30°，μ12分別取10、5、2、0.5、0.2、0.1Fig．3 Apparent resistivity curves for a dipping angle of 30° at constant values of μ12 as would be obtained by pole-pole array, where search electrodes are laid out in the down-dip direction

圖4 傾斜角度φ為45°，μ12分別取10、5、2、0.5、0.2、0.1Fig．4 Same as Fig.3 but for a dipping angle of 45°

圖5 傾斜角度φ為60°，μ12分別取10、5、2、0.5、0.2、0.1Fig．5 Same as Fig.3 but for a dipping angle of 60°

圖6 傾斜角度φ為90°，μ12分別取為10、5、2、0.5、0.2、0.1Fig．6 Same as but for a dipping angle of 90°

當(dāng)點(diǎn)源跨過接觸面時(shí)，測點(diǎn)M橫坐標(biāo)為10 m，源點(diǎn)A橫坐標(biāo)為9.5 m、9.4 m、9.3 m、9.2 m、9.1 m、9.0 m、8.0 m、7.0 m、6.0 m、5.0 m、4.0 m、3.0 m、2.5 m、2.0 m、1.5 m、1.0 m、0.5 m、-0.5 m、-1.0 m、-2.0 m、-3.0 m、-4.0 m、-5.0 m、-6.0 m、-7.0 m、-8.0 m、-9.0 m、-10.0 m、-11.0 m、-12.0 m、-15.0 m、-20.0 m、-30.0 m、-50.0 m、-100.0 m、-200.0 m、-500.0 m，相應(yīng)的曲線見圖7-圖10。

圖7 傾斜角度φ為30°，μ12分別取10、5、2、0.5、0.2、0.1Fig．7 Apparent resistivity curves for a dipping angle of 30° at constant values of μ12 as would be obtained by pole-pole array, where search electrodes are laid out perpendicular to the strike

圖8 傾斜角度φ為45°，μ12分別取為10、5、2、0.5、0.2、0.1Fig．8 Same as Fig.7 but for a dipping angle of 45°

圖9 傾斜角度φ為60°，μ12分別取10、5、2、0.5、0.2、0.1Fig．9 Same as Fig.7 but for a dipping angle of 60°

圖10 傾斜角度φ為90°，μ12分別取10、5、2、0.5、0.2、0.1Fig．10 Same as Fig.7 but for a dipping angle of 90°

由圖3-圖10可以看出，測深軸跨過接觸面時(shí)，在接觸面附近視電阻率曲線突變，而未跨過接觸面的曲線變化平緩，對比兩組曲線，可確定接觸面的位置；同時(shí)，接觸面兩側(cè)介質(zhì)的電阻率相差越大，接觸面對視電阻率曲線的影響也越大。

2.2 不同布極方位下垂直接觸面的電測深曲線

本節(jié)重點(diǎn)討論了對稱四極裝置下垂直接觸面存在時(shí)的電測深曲線(圖11、圖12)，通過求解不同模型下的視電阻率，得到對稱四極裝置下視電阻率曲線隨各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律。

圖11為對稱四極測深裝置的模型示意圖,對稱四級裝置下視電阻率定義為：

圖11 對稱四極測深裝置模型結(jié)構(gòu)示意圖Fig．11 The sketch of geoelectricity model with schlumberger array

圖12 對稱四極測深裝置在垂直接觸面上布極示意圖Fig．12 The sketch of geoelectricity model with schlumberger array over a vertical sheet

圖12的模型參數(shù)：垂直接觸面兩側(cè)電阻率之比ρ2/ρ1分別取為0.01、0.05、0.5、5、50、100；裝置軸與接觸面所成的角度分別取為30°、45°、60°以及90°，測點(diǎn)與接觸面的距離設(shè)為d，取為10 m。視電阻率曲見圖13-圖17。

圖13 φ=0°時(shí)視電阻率曲線，μ12分別取0.01、0.05、0.5、5、50、100Fig．13 Apparent resistivity curves for a intersection angle of 0° at constant values of μ12 as would be obtained by schlumberger array, where search electrodes are laid out perpendicular to the strike

圖14 φ=30°時(shí)視電阻率曲線，μ12分別取0.01、0.05、0.5、5、50、100Fig．14 Same as Fig.13 but for a intersection angle of 30°

圖15 φ=45°時(shí)視電阻率曲線，μ12分別取0.01、0.05、0.5、5、50、100Fig．15 Same as Fig.13 but for a intersection angle of 45°

圖16 φ=60°時(shí)視電阻率曲線，μ12分別取0.01、0.05、0.5、5、50、100Fig．16 Same as Fig.13 but for a intersection angle of 60°

圖17 φ=90°時(shí)視電阻率曲線，μ12分別取0.01、0.05、0.5、5、50、100Fig．17 Same as Fig.13 but for a intersection angle of 90°

從圖13-圖17可以看出，對稱四極裝置在垂直接觸面上的測深曲線，總體呈現(xiàn)先增大后趨于定值的趨勢。φ=0°即裝置軸AMNB平行接觸面時(shí)，曲線的左側(cè)漸近值為ρ1，右側(cè)漸近值為ρs=2ρ1ρ2/(ρ2+ρ1)，在AB/d>>20時(shí)，界面對測深視電阻率的影響已可忽略；垂直接觸面時(shí)，曲線在AB/d=2處畸變達(dá)到極大值，垂直界面位置對應(yīng)于ρs極大(當(dāng)ρ2/ρ1>1)或極小(ρ2/ρ1<1)；當(dāng)ρ2/ρ1→∞時(shí)，ρs極大值等于1.45ρ1；當(dāng)ρ2/ρ1=0時(shí)，ρs極大值等于0.55ρ1；右支漸近線ρs→ρ1，與ρ2/ρ1值無關(guān)；當(dāng)布極方位與處置接觸面走向?yàn)椴煌瑠A角時(shí)，測深曲線形狀將介于上述兩種情況之間。

在同一垂直接觸面上，對比對稱四極裝置的裝置軸平行接觸面走向和垂直接觸面走向時(shí)的測深視電阻率曲線可見，因垂直接觸面的存在,給測深曲線帶來了一定的畸變，給實(shí)際異常曲線的解釋帶來了干擾。因此對其電測深理論正演曲線的研究，有助于對實(shí)測電測深曲線的分析認(rèn)識和推斷解釋。顯然，垂直接觸面走向布極時(shí),測深曲線的畸變比平行接觸面走向布極時(shí)復(fù)雜，在這種情形下，實(shí)際勘探中一般要求平行構(gòu)造走向布極。

界面附加進(jìn)行十字測深，由兩個(gè)方向ρs曲線的差異可以肯定垂直分界面的存在，而且可以大致確定其位置。

3 結(jié)論

通過作者對視電阻率曲線的分析及誤差對比可得到如下結(jié)論：

(1)平行接觸面時(shí)，曲線的左側(cè)漸近值為ρ1，右側(cè)漸近值為ρ∞=2ρ1ρ2/(ρ2+ρ1)；垂直接觸面時(shí)，曲線在AB/d=2處畸變達(dá)到極大值，垂直界面位置對應(yīng)于ρs極大(ρ2/ρ1>1)或極小(ρ2/ρ1<1)；當(dāng)ρ2/ρ1=∞時(shí)，ρs極大值等于1.45ρ1；當(dāng)ρ2/ρ1=0時(shí)，ρs極大值等于0.55ρ1,右支漸近線ρ∞→ρ1，與ρ2/ρ1值無關(guān)。

(2)當(dāng)布極方位與處置接觸面走向?yàn)椴煌瑠A角時(shí)，測深曲線形狀將介于上述兩種情況之間。

(3) 界面附加進(jìn)行十字測深，由兩個(gè)方向ρs曲線的差異可以肯定垂直分界面的存在，而且可以大致確定其位置。

(4)實(shí)際勘探中一般要求平行構(gòu)造走向布極。

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