薛樹強,楊元喜,黨亞民

1．長安大學(xué)地測學(xué)院,陜西西安 710054;2．中國測繪科學(xué)研究院,北京 100830;3．西安測繪研究所地理信息工程國家重點實驗室,陜西西安 710054

測距定位方程非線性平差的封閉牛頓迭代公式

薛樹強1,2,楊元喜3,黨亞民2

1．長安大學(xué)地測學(xué)院,陜西西安 710054;2．中國測繪科學(xué)研究院,北京 100830;3．西安測繪研究所地理信息工程國家重點實驗室,陜西西安 710054

距離觀測在測量中具有極其重要的地位,其觀測方程為非線性函數(shù)模型。本文導(dǎo)出計算距離函數(shù)線性化二階殘余項的簡潔公式,討論測距定位觀測方程的線性化近似條件;在此基礎(chǔ)上,導(dǎo)出附加多余參數(shù)測距定位方程非線性平差的封閉牛頓迭代公式,給出牛頓迭代法退化為高斯-牛頓迭代法的條件。最后以GPS長距離偽距定位方程和短距離病態(tài)測距定位方程非線性平差為例,驗證了本文的主要結(jié)論。

測距方程;非線性強度;最小二乘;高斯-牛頓法;牛頓法;病態(tài)方程

1 引 言

大地測量數(shù)據(jù)處理所涉及的觀測模型一般為非線性模型[1-2]。線性最小二乘法處理非線性平差模型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為平差函數(shù)模型的一階泰勒級數(shù)逼近,這要求線性化初值充分接近問題的解且平差函數(shù)模型的非線性強度較低[3]。非線性平差是國內(nèi)外研究的難點和熱點問題,從微分幾何的觀點出發(fā),模型的固有曲率和參數(shù)效應(yīng)曲率是刻畫非線性模型非線性強度的重要指標[4]。文獻[5—6]論述了經(jīng)典測量平差理論處理非線性的適用條件。文獻[7]從擾動分析角度討論了非線性平差的收斂穩(wěn)定性問題,并指出非線性擾動主要來自線性近似時系數(shù)矩陣的擾動、附加的截斷誤差及近似正交過程。在參數(shù)估值非線性誤差傳播精度評定方面,也取得了大量研究成果[8]。

距離觀測在測量中具有極其重要的地位,在諸如大地測量在內(nèi)的各種高精度測距定位應(yīng)用,除了確定待定點的點位坐標參數(shù),還需要附加一些多余參數(shù)以精化平差函數(shù)模型,其有關(guān)平差模型都是非線性的。當(dāng)平差模型的非線性強度較高時,選取不同初始值及近似正交過程可導(dǎo)致線性近似引起的系數(shù)矩陣擾動和截斷誤差偏大,此時又常采用正則化迭代解法。常用的測距觀測方程非線性平差方法有高斯-牛頓法、擴展牛頓迭代法[9-11]。文獻[2]指出不穩(wěn)定性是病態(tài)問題的重要特征之一。文獻[12]指出,高斯-牛頓迭代法處理病態(tài)測距方程時成功率較低。文獻[13]提出了一種似解析非線性平差解法,該解法的基本思想起源于高斯-雅克比組合平差方法[14]。

本文在測距定位觀測方程非線性分析的基礎(chǔ)上,導(dǎo)出了距離函數(shù)二階殘余項的估計公式,以及附加多余參數(shù)的測距定位方程非線性平差的牛頓迭代公式,討論了封閉牛頓迭代公式退化為高斯-牛頓迭代法的條件。最后以GPS長距離偽距定位方程和短距離病態(tài)測距定位方程非線性平差為例,驗證了本文的主要結(jié)論。

2 測距定位觀測方程非線性分析

2．1 附加多余參數(shù)的測距定位觀測方程[15]

附加多余參數(shù)的測距定位觀測方程可表示為

2．2 距離函數(shù)的泰勒級數(shù)展開

下面討論觀測方程(1)的線性化近似條件。對于第i個距離函數(shù)di(x)在x0處的泰勒級數(shù)展開為[6]

距離函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)式(4)還可見于文獻[4,6,12]。在導(dǎo)航定位領(lǐng)域,常記ei(x):＝d′i(x),其幾何意義為觀測方向余弦。事實上,式(4)可簡記為

式(5)建立了距離函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,這在下面推導(dǎo)中有重要應(yīng)用。

2．3 距離函數(shù)線性化誤差分析

下面討論式(2)中二階殘余項的性質(zhì)。結(jié)合函數(shù)(5)可得

圖1給出了式(6)中各項的幾何意義。設(shè)初值精度足夠高,即d x→0。由于α∈(0,1),則αx總落在向量x上,且由極限

圖1 二階殘余項的幾何意義Fig．1 Geometrical meaning of the second-order remainder

當(dāng)n個控制點均勻分布于三維空間時,條件(2)無法對每個觀測方程均成立。因此,是距離函數(shù)線性化近似的重要前提條件。當(dāng)距離較短時,線性化誤差不容忽視,應(yīng)考慮非線性方法確定問題的解,而當(dāng)距離觀測值較大且初值較為接近問題的解時,可忽略線性化誤差影響。

3 封閉牛頓迭代公式

3．1 非線性測量平差的正交條件

記X:＝[x u]∈Rm為由位置參數(shù)和多余參數(shù)構(gòu)成的待估參數(shù)向量,方程(1)的非線性最小二乘解為

方程(22)為相容非線性方程組,其解即為方程(1)的非線性最小二乘解。

3．2 牛頓迭代法和高斯-牛頓迭代法

下面構(gòu)造求解方程(22)的迭代計算公式。方向?qū)?shù)h(X)的微分表達式為[16]

此時,牛頓迭代公式退化高斯-牛頓迭代公式,即

矩陣S(X)在文獻[4]中采用了立體矩陣記法。當(dāng)觀測數(shù)量很大時,計算矩陣S(X)需要花費大量存儲和計算成本。

3．3 封閉牛頓迭代公式

為避免矩陣S(X)的存儲和計算成本,下面推導(dǎo)海森矩陣H(X)的壓縮記法。記

當(dāng)距離觀測相對精度足夠高時,由R→I,可導(dǎo)出β(x)→0,封閉牛頓迭代法退化為高斯-牛頓迭代法。當(dāng)使用式(39)計算海森矩陣H(X)時,僅需在高斯-牛頓迭代公式的基礎(chǔ)上,計算矩陣ˉP和阻尼因子β(x)。對于病態(tài)定位方程,封閉牛頓迭代公式中的阻尼因子β(x)有望改善迭代序列的收斂性和穩(wěn)定性。

4 算 例

算例1:GPS偽距單點定位。表1給出了8顆GPS衛(wèi)星的改正偽距觀測值(多余參數(shù)為鐘差參數(shù))。分別利用高斯-牛頓迭代法和封閉牛頓迭代法對GPS偽距定位方程進行平差,迭代初值

表1 GPS偽距觀測數(shù)據(jù)Tab．1 GPS pseudo-ranging data m

如圖2所示,高斯牛頓迭代法和封閉牛頓迭代法的收斂序列基本相同,兩者相差毫米級。算例表明,因GPS衛(wèi)星距離待定點兩萬余千米之遠,迭代公式(34)和(27)相差甚微。高斯-牛頓迭代法計算成本較低,而封閉牛頓迭代公式計算成本相對較高。當(dāng)距離觀測方程態(tài)性良好且距離觀測量非常大時,建議使用高斯-牛頓迭代法。

圖2 點位坐標序列Fig．2 Sequence of coordinates

算例2:短距離病態(tài)定位方程。在三維測距定位中,當(dāng)未知點與已知點近似共面時,測距定位方程的設(shè)計矩陣為病態(tài)矩陣[19]。在移動蜂窩網(wǎng)三維定位中,基準站和移動終端一般近似分布于地表。短距離病態(tài)定位問題還常存在于室內(nèi)導(dǎo)航定位、三維激光掃描、水下GPS定位等應(yīng)用場合。

如圖3所示,給出一正六邊形蜂窩網(wǎng)(控制點位于正六邊形的頂點)一組仿真?zhèn)尉嘤^測數(shù)據(jù)。表2給出的控制點與未知點P(點位真值為[4400 4440 0]近似共面),法方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)約為9800。分別使用高斯-牛頓迭代法、封閉牛頓迭代法和正則化高斯-牛頓迭代法對該偽距定位問題進行非線性最小二乘平差。3種方法使用相同的初值X0＝4400 4400 0 0 [

圖3 蜂窩定位網(wǎng)Fig．3 Cell network

表2 模擬偽距觀測數(shù)據(jù)Tab．2 Simulation for pseudo-distances m

正則化高斯-牛頓迭代公式為[9]

式中,先驗信息迭代初值參考文獻[9],位置參數(shù)的先驗信息采用正六邊形的幾何中心,即

其最后一個元素0為鐘差先驗信息,正則化因子設(shè)為λ＝10－4。

圖4給出了3種方法的點位坐標迭代解序列。高斯-牛頓迭代法收斂速度最慢,且在第3步迭代產(chǎn)生了較大的擾動(當(dāng)最小二乘點位與控制點近似共面時,迭代方程系數(shù)矩陣具有較強的病態(tài)性,這導(dǎo)致迭代序列不穩(wěn)定)。封閉牛頓迭代法由于使用了距離函數(shù)的二次項信息,其收斂過程穩(wěn)定,且可精確收斂至非線性最小二乘解。正則化方法收斂最快,但因先驗信息存在系統(tǒng)偏差其解明顯存在系統(tǒng)誤差(相對于非線性最小二乘點位解^x＝[4 361．55 4 365．63 143．29],正則化解[4 350．216 4 353．081 102．497]不滿足非線性最小二乘正交條件(22),兩者存在系統(tǒng)偏差[－11．337－12．548－40．789])。

圖4 點位坐標序列Fig．4 Sequence of coordinates

為了驗證本文第3部分給出的距離函數(shù)線性化誤差估計公式,表3給出了不同點位初值誤差(相對于點位坐標非線性最小二乘點位解^x＝[4 361．55 4 365．63 143．29])所引起的線性化誤差。

表3 線性化殘余項Tab．3 Remainder of linearization m

結(jié)果表明:①距離函數(shù)線性化誤差與點位初值誤差有關(guān),當(dāng)點位誤差方向與觀測方向(近似)平行時,線性化誤差一般很小,當(dāng)點位誤差方向垂直于觀測方向時,一般線性化誤差較大。例如,在X方向存在100 m誤差時,待定點至第1個控制點方向的距離函數(shù)線性化誤差約為2．25 m,而待定點至第2個控制點方向的距離函數(shù)線性化誤差僅為0．46 m,在Y方向存在100 m誤差時,待定點至第1個控制點方向的距離函數(shù)線性化誤差僅為0．02 m,而待定點至第2個控制點方向的距離函數(shù)線性化誤差為3．30 m;②當(dāng)控制點(近似)共面時,該平面法向量方向的點位誤差對距離函數(shù)線性化的影響最大,例如,在Z方向存在100 m誤差時,最小線性化誤差為0．99 m;③當(dāng)不同觀測方向和點位初值誤差方向夾角相差不大時,距離觀測越大線性化誤差越小,例如,在Z方向存在100 m誤差時,觀測方向與初值誤差方向近似垂直,最大線性化誤差發(fā)生在第2個距離函數(shù),最小線性化誤差發(fā)生在第5個距離函數(shù)。

5 結(jié) 論

(1)距離函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)可由其一階導(dǎo)數(shù)表示。本文導(dǎo)出的二階殘余項表達形式簡潔,幾何意義明確,可用于度量測距定位方程的非線性強度。分析表明,當(dāng)距離較短或初值精度較低時,二次殘余項不容忽視。

(2)由本文給出的距離函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)簡潔表達式導(dǎo)出的牛頓迭代公式存儲和計算成本較低。當(dāng)距離觀測精度較高或測距觀測方程的非線性強度較低時,牛頓迭代公式將退化為高斯-牛頓迭代公式。

(3)當(dāng)測距定位方程非線性強度很低時,高斯-牛頓迭代法和封閉牛頓迭代法并無顯著差異。而對于短距離病態(tài)定位方程非線性平差,封閉牛頓迭代公式迭代更穩(wěn)定、收斂速度更快。

(4)算例給出的測距定位方程僅附加了鐘差參數(shù),附加其他多余參數(shù)的應(yīng)用還有待討論。

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(責(zé)任編輯:宋啟凡)

A Closed-form of Newton Iterative Formula for Nonlinear Adjustment of Distance Equations

XUE Shuqiang1,2,YANG Yuanxi3,DANG Yamin2
1．School of Geological and Surveying Engineering,Chang’an University,Xi’an 710054,China;2．Chinese Academy of Surveying and Mapping,Beijing 100830,China;3．National Key Laboratory of Geo-Information Engineering,Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping,Xi’an 710054,China

Distance observations play a key role in surveying,of which the related observation model is nonlinear．A brief formula is deduced for estimating the second order reminder of distance equations and its geometrical meanings are shown．Moreover,the precondition of traditional adjustment based on the linearized model is discussed when solving the over-determined distance equations with nuisance parameters．A closed-form of Newton iterative formula is proposed and this novel formula immediately shows internal connection between the Newton method and the Gauss-Newton method as well as the difference．At last,as numerical examples very long pseudo-distance equations in GPS positioning and short distance-equations in mobile positioning are solved by different nonlinear adjustment methods to verify the main results．

distance equations;nonlinearity;least squares;Gauss-Newton method;Newton method; ill-conditioning

XUE Shuqiang(1980—),male,PhD candidate,majors in error theory and adjustment．

P207

A

1001-1595(2014)08-0771-07

國家自然科學(xué)基金(41020144004;41104018);國家科技支撐計劃(2012BAB16B01);國家863計劃(2009AA121405;2013AA122501)

2013-03-01

薛樹強(1980—),男,博士生,研究方向為誤差理論與測量平差研究。

E-mail:xuesq＠casm．a(chǎn)c．cn

XUE Shuqiang,YANG Yuanxi,DANG Yamin．A Closed-form of Newton Iterative Formula for Nonlinear Adjustment of Distance Equations[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(8):771-777．(薛樹強,楊元喜,黨亞民．測距定位方程非線性平差的封閉牛頓迭代公式[J]．測繪學(xué)報,2014,43(8):771-777．)

10．13485/j．cnki．11-2089．2014．0127

修回日期:2014-05-16