葛旭峰，湯炳新

（河海大學(xué)常州校區(qū) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 常州213022）

1 引言

液壓缸是實(shí)現(xiàn)直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)的執(zhí)行元件，它能將液體的液壓能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能[1]。在液壓系統(tǒng)中，當(dāng)液壓缸處于低速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)滯滑現(xiàn)象（stick-slip），這是一種短暫“卡阻”和“失壓”前沖現(xiàn)象[2]，這種現(xiàn)象十分普遍且復(fù)雜，關(guān)于液壓爬行的機(jī)理已有很多研究，液壓缸爬行的原因有很多，大致可以歸納為機(jī)械原因、液壓原因、潤滑原因、混進(jìn)空氣等[3]。

2 理論分析

2.1 動(dòng)力學(xué)分析

為了方便研究，我們把外部影響因素、液壓油與活塞間的復(fù)雜受力關(guān)系簡(jiǎn)化為一個(gè)彈簧阻尼系統(tǒng)，這樣就可以把液壓缸簡(jiǎn)化為如圖1 所示的模型，在這個(gè)模型里，我們認(rèn)為液壓油是不可壓縮的[4]。那么，活塞所受的動(dòng)力學(xué)方程可表示為：

式中：x 為液壓油的位移；y 為活塞的位移；k 為液壓油的彈性剛度；c 為阻尼系數(shù)；f 為活塞所受的摩擦力。對(duì)于此模型，我們做如下分析，當(dāng)液壓油以較低的恒速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于摩擦力f 的存在，活塞不會(huì)運(yùn)動(dòng)而彈簧被壓縮。當(dāng)彈簧的推力大于活塞所受最大靜摩擦力時(shí)，活塞開始運(yùn)動(dòng)，由于動(dòng)摩擦力較最大靜摩擦力小，所以活塞會(huì)做加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)活塞運(yùn)動(dòng)一定距離后，彈簧的壓縮量減小，從而使活塞所受推力減小，當(dāng)活塞受到的推力等于動(dòng)摩擦力時(shí)，活塞就會(huì)停止運(yùn)動(dòng)。這個(gè)過程在液壓油的速度低于臨界速度時(shí)會(huì)周期存在。

圖1 液壓缸爬行模型

這里，我們把f 看成是擾動(dòng)，那么可以對(duì)（1）式進(jìn)行拉氏變換得到傳遞函數(shù)為：

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2 所示。

圖2 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖

2.2 摩擦力

摩擦是在兩個(gè)接觸面間產(chǎn)生的切向作用力，它普遍存在于各種系統(tǒng)中，許多學(xué)者都在研究摩擦特性，無數(shù)試驗(yàn)研究已逐漸揭示了摩擦豐富的行為特性[5]，摩擦特性可分為靜態(tài)摩擦特性、動(dòng)態(tài)摩擦特性。靜態(tài)摩擦特性包括庫倫摩擦（Coulomb friction）、黏性摩擦（Viscous friction）、靜摩擦力（Static force）、Stribeck 摩擦（Stribeck friction）；動(dòng)態(tài)摩擦特性包括預(yù)滑動(dòng)位移（Presliding displacement）、可變的靜摩擦力（Varying static force）、摩擦滯后（Frictional lag）。

本文選用如圖3 所示的摩擦模型[6]，該摩擦模型包括庫倫摩擦特性、黏性摩擦特性、靜摩擦特性，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表示為：

式中，f 為摩擦力；Fc為庫倫摩擦力；u（t）為外力；Fs為最大靜摩擦力；σ 為黏性摩擦系數(shù)。

3 模擬仿真

圖3 摩擦模型

圖4 摩擦的Simulink 模型

考慮到實(shí)際中，圖3 的兩條曲線并不一定對(duì)稱，也即第一象限的Fs、Fc、σ 與第三象限的Fs1、Fc1、σ1不相等，則對(duì)應(yīng)的Simulink 摩擦模型為圖4，模型中用Fcn模塊定義滑動(dòng)時(shí)的摩擦力，用Sign 模塊獲得輸入速度的方向，由于是數(shù)值仿真，所以在該模型中定義了一個(gè)零速區(qū)間，當(dāng)時(shí)，強(qiáng)制認(rèn)為速度為0，這樣做的好處是避免了零速檢測(cè)問題以及滯滑摩擦狀態(tài)方程間的切換問題，DV 的值應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況而選定，這里我們認(rèn)為是1×10-5。此模型與文獻(xiàn)6不同之處在于這里的模型加入了switch 模塊來實(shí)現(xiàn)雙向摩擦力參數(shù)的設(shè)定，從而更符合真實(shí)情況。由文獻(xiàn)6 可知，對(duì)于u-f=ma 的動(dòng)力學(xué)方程，運(yùn)用此摩擦模型的滯滑運(yùn)動(dòng)的仿真結(jié)果和理論值是幾乎相等的。則將此摩擦模型應(yīng)用到液壓系統(tǒng)中，并在MATLAB 中進(jìn)行仿真。其各參數(shù)如表1 所示，單位均為國際標(biāo)準(zhǔn)單位。

表1 參數(shù)表

仿真時(shí)，假定活塞推拉雙向的摩擦參數(shù)相等，動(dòng)摩擦系數(shù)為0.07，最大靜摩擦系數(shù)為0.1。從圖5 可以看出，活塞有明顯的振顫現(xiàn)象。圖6 是活塞的受力和速度曲線圖，其中實(shí)線是由摩擦模型給出的摩擦力，雙劃線是活塞受除摩擦力外的合力，為了更好地顯示下方的速度曲線，速度數(shù)值已經(jīng)過處理。

圖5 活塞運(yùn)動(dòng)曲線

4 PID控制

由前一部分可知，通過Simulink 模型，已經(jīng)可以準(zhǔn)確描述低速下液壓油缸的爬行現(xiàn)象，這里我們通過傳統(tǒng)控制算法——PID 算法對(duì)其進(jìn)行控制，以期使速度曲線能平穩(wěn)接近輸入信號(hào)0.004。

圖6 活塞受力曲線

PID（比例、積分、微分）控制是發(fā)展較早、理論成熟、運(yùn)用廣泛的一種控制策略，其表達(dá)式的一般形式為[7]：

連續(xù)PID控制器的傳遞函數(shù)模型為：

三參數(shù)的作用為：比例參數(shù)KP的作用是加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度；積分作用參數(shù)的最主要作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；微分作用參數(shù)的作用是改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，其主要作用是在響應(yīng)過程中抑制偏差向任何方向的變化，對(duì)偏差變化進(jìn)行提前預(yù)報(bào)。

圖7 系統(tǒng)框圖

取KP、KI、KD分別為4、0.1、0.1。系統(tǒng)框圖如圖7所示，控制效果如圖8 所示。

由控制效果圖可知，通過簡(jiǎn)單的PID控制，可以使系統(tǒng)的輸出速度穩(wěn)定在0.035 左右，基本實(shí)現(xiàn)了對(duì)輸入速度的復(fù)現(xiàn)。

圖8 PID控制效果圖

5 結(jié)論

本文建立了液壓缸滯滑現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，該模型簡(jiǎn)單，原理清晰。在Simulink 中搭建了仿真模型，通過引入摩擦模型，成功模擬了液壓缸低速爬行現(xiàn)象。由式（1）可知，在不改變內(nèi)因的條件下，液壓油的速度越低，活塞的質(zhì)量越大，就越容易引起爬行現(xiàn)象。同時(shí)本文為液壓缸低速運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性控制提供了參考。

[1]陸 紅，周 琦.面向超低速“蠕進(jìn)”液壓缸的控制回路及設(shè)計(jì).鍛壓裝備與制造技術(shù)，2004，39（5）：49-51.

[2]陸 紅.滑動(dòng)爬行界面間隙腔簇的滯沖速效應(yīng)探討.鍛壓裝備與制造技術(shù)，2010，45（5）：107-108.

[3]王林鴻，郭俊杰，吳 波，等.液壓缸低速爬行原因新探[J].液壓與氣動(dòng)，2006，9（1）：14-18.

[4]金 哲，柯 堅(jiān)，于蘭英，等.液壓缸低速爬行動(dòng)力學(xué)研究[J].機(jī)械設(shè)計(jì)，2006，23（2）：39-42.

[5]劉麗蘭，劉宏昭，吳子英，等.機(jī)械系統(tǒng)中摩擦模型的研究進(jìn)展[J].力學(xué)進(jìn)展，2008，38（2）：201-213.

[6]王 毅，何 朕，蘇寶庫.摩擦模型的Simulink仿真[J].電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2004，8（1）：60-62.

[7]張德豐.MATLAB/Simulink 建模與仿真實(shí)例精講[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010.