王慧娟，李 琳

(華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，1.河北保定071003;2.北京102206)

磁懸浮教學(xué)實(shí)驗(yàn)是“電磁場”課程中經(jīng)典實(shí)驗(yàn)之一，通過該實(shí)驗(yàn)可以讓學(xué)生對課堂教學(xué)中電磁感應(yīng)定律、電磁力等內(nèi)容有更深刻的理解，提高教學(xué)效果，增進(jìn)學(xué)生對電磁場現(xiàn)象過程的感性認(rèn)識，拓展學(xué)生的動手能力。目前，有關(guān)磁懸浮實(shí)驗(yàn)分析的理論較少[1，2]，本文結(jié)合磁懸浮實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，對實(shí)驗(yàn)原理及算法進(jìn)行探討、分析，供教師和學(xué)生參考。

1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

磁懸浮實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖1所示。圖中設(shè)備的參數(shù)如下:盤狀線圈匝數(shù)N=250匝，內(nèi)徑R1=31mm，外徑 R2=195mm，厚度 h=12.5mm，質(zhì)量 M=3.1kg，鋁板的厚度為14mm，自耦變壓器電壓量程為0～100 V，電流0～30 A，交流電源為220V，50Hz。

圖1 磁懸浮實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

扁平盤狀線圈的激磁電流由自耦變壓器提供，盤狀線圈放在鋁板上，當(dāng)線圈中的正弦交變電流增大到某一值時，由于鋁板中產(chǎn)生的感應(yīng)渦流的去磁效應(yīng)，克服了線圈自身的重力，線圈便被浮起。

實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 線圈所加電流與鋁板起浮高度

2 磁懸浮力的兩種算法及分析

磁懸浮力的分析法通常都是基于理想的情況下分析的，即假設(shè)鋁板是理想導(dǎo)體，并且無限大，不存在熱損耗，鋁板的厚度足夠大，以致磁場能量無法透過它。

2.1 算法一

這種算法是從能量的角度來計算的，也是普遍采用的理論分析法[3，4]，線圈等效為平均半徑為 a的N匝線圈，導(dǎo)線的半徑R遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于浮起高度h。則根據(jù)鏡像法可求得該磁系統(tǒng)的自感為

將盤狀載流線圈和鋁板的組合看成一個磁系統(tǒng)，則其對應(yīng)于力狀態(tài)分析的磁場能量

式中，I為激磁電流的有效值。按虛位移法可求得作用于該系統(tǒng)的電動推斥力，也就是作用于盤狀載流線圈的向上的電磁懸浮力為

將式(1)代入上式得

當(dāng)磁懸浮達(dá)到穩(wěn)定時，磁力與盤狀線圈重力相等，即有

整理即可得到工作電流與懸浮高度的關(guān)系為

2.2 算法二

這種算法是從磁感應(yīng)強(qiáng)度的角度直接推算的。假設(shè)在理想的情況下，如果盤狀線圈為載有電流I的單匝線圈，距離鋁板的高度為 h，應(yīng)用鏡像法[5，6]。該電流環(huán)和在導(dǎo)電平面中所感應(yīng)電流的合成場可以等效為原電流和對稱反向的鏡像電流合成的磁場，如圖2所示。環(huán)形電流的磁場由此可推導(dǎo)得到[7]。

根據(jù)文獻(xiàn)[9]的推導(dǎo)可知，如圖3所示的半徑分別為a和a'的兩個共軸圓環(huán)，圓心相距為b，分別載有電流I和I'。

圖2 鏡像法示意圖

圖3 共軸圓環(huán)電流

載流為I'的電流環(huán)所受沿z方向的電磁力FZ為

其中，令k2=4aa'/(a2+a'2+2aa'+b2)

當(dāng) a=a'，I=I'=NI，b=2h 時有

2.3 算法分析

算法一和算法二都是在理想的情況下推導(dǎo)出來的電流環(huán)和鋁板之間的作用力，算法一的電感計算中采取了近似，因此式(4)是式(8)的近似。式(4)表達(dá)式簡潔，方便計算:而式(8)含有橢圓積分，需用軟件計算，現(xiàn)在對兩式的計算結(jié)果做對比。

取圓盤的等效半徑為內(nèi)徑和外徑的平均值，即a=(R1+R2)/2，勵磁電流取20A，用Matlab計算得到兩種算法的懸浮力隨起浮高度h變化的誤差為δ，δ=(F1－F2)/F2×100%。其中 F1為算法一得到的力，F(xiàn)2為算法二得到的力。誤差如圖4(a)所示。當(dāng)起浮高度一定(取1cm)，且勵磁電流20A時，誤差隨等效半徑a的變化曲線如圖4(b)所示。

圖4 誤差分析

可見，兩種算法的誤差隨著懸浮高度的增加而變大。隨著圓環(huán)電流半徑的增大而減小，在懸浮高度不大，等效半徑取平均半徑時，兩種算法誤差不大(小于10%)，磁懸浮力可近似用算法一計算。當(dāng)懸浮高度增加時，誤差增大。

2.4 算法與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比

以14mm厚的鋁板的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，比較兩種算法在相同的勵磁電流和起浮高度下計算得到的懸浮力，如圖5所示。F1為算法一得到的磁力，F(xiàn)2為算法二得到的磁力，F(xiàn)0為實(shí)驗(yàn)力，與盤狀線圈重力相等，根據(jù)式(5)可計算得到。

圖5 磁懸浮力對比

可見，這兩種算法在相同的勵磁電流和起浮高度下，得到的結(jié)果近似，但都比重力大很多，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差較大，其原因有三點(diǎn):①這兩種算法均為理想狀況下的計算結(jié)果。而在本實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)頻率為50Hz時，鋁板的集膚深度為12mm，當(dāng)選用14mm厚的鋁板時僅近似滿足這一要求，實(shí)際上有很大一部分磁場能量泄露掉了，沒有用于克服重力;②盤狀線圈的等效半徑被簡單的等效為內(nèi)外徑的平均值，根據(jù)文獻(xiàn)[6]，在內(nèi)外徑差距較大時，等效半徑應(yīng)采用公式RoL=(R2－R1)/In(R2/R1)來計算;③在實(shí)驗(yàn)過程中計算時被忽略的部分渦流熱損耗。

3 磁懸浮力的數(shù)值仿真

3.1 單匝線圈仿真

由于理論計算中沒有考慮頻率和等效半徑對磁懸浮力的影響，現(xiàn)用軟件Comsol對該磁懸浮系統(tǒng)進(jìn)行建模仿真。模型如圖6(a)所示，取盤狀線圈的等效半徑為內(nèi)外徑平均值113mm，導(dǎo)線為半徑1mm的銅線，勵磁電流20A，懸浮高度為1cm，底盤半徑為250mm，厚度14mm的鋁盤，計算得到在鋁盤的軸向截面上感應(yīng)電流在頻率為50Hz和200Hz時的分布情況，分別如圖6(c)和圖6(d)所示。

圖6 單匝線圈仿真

可見隨著頻率的升高，集膚效應(yīng)明顯。電磁力逐漸增大，如圖6(b)所示，當(dāng)?shù)竭_(dá)一定頻率，電磁力趨于穩(wěn)定，可認(rèn)為渦流只在鋁板的表面流動，與理想情況近似。

從圖6(b)可知，當(dāng)頻率為3kHz左右時，磁力F=N2f=2502×0.0023≈144N，與圖5的理論計算結(jié)果近似，可見隨著頻率升高，磁懸浮力的仿真結(jié)果與理想情況下的理論計算趨于一致。

3.2 多匝線圈仿真

由圖6(b)可知，當(dāng)頻率為50Hz時，單匝線圈的電磁力F≈0.0015N，所以等效的盤狀線圈總的磁懸浮力F=N2f≈94N。可見，當(dāng)模型采用單匝線圈，等效半徑為平均半徑時，計算得到的電磁力與圓盤的重力(30N)相差仍很大。其原因是由于鋁板的尺寸比盤狀線圈的外半徑大得不很多，實(shí)際上有部分能量通過鋁盤的邊緣散失了，而模型中等效的線圈半徑比實(shí)際線圈的外半徑小很多，磁場能量幾乎未變。

現(xiàn)用多匝線圈來建模，為方便計算，取5匝等效線圈，即將盤狀線圈的寬度R2-R1平均分成5份，然后計算每份寬度的等效半徑RCL，分別得到五份的等效半徑 r1，r2，r3，r4，r5，然后建模。導(dǎo)線采用與實(shí)驗(yàn)一致的片狀鋁導(dǎo)線，如圖7(a)所示。五匝線圈的電磁力頻率特性如圖7(b)所示。

圖7 多匝線圈仿真

從上圖可知，當(dāng)頻率為50Hz時，5匝線圈的磁力為0.0124N，則作用于盤狀線圈總的磁力在小為F=(N/5)2f=2500f=31N，與鋁盤的重力大致相等。所以，這種多匝等效模型與實(shí)際情況更相符，能較為精確地表示盤狀線圈的受力情況。

4 結(jié)語

磁懸浮實(shí)驗(yàn)涉及到“電磁場”課程的若干個知識點(diǎn)，包括電磁感應(yīng)、磁場能量、電感參數(shù)和集膚效應(yīng)等。本文結(jié)合這些知識點(diǎn)，分析了磁懸浮的兩種理論算法，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果做了對比。筆者在仿真建模的基礎(chǔ)上，提出了等效多匝線圈的建模方法。驗(yàn)證表明，這種方法與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更接近，能比較精確地計算出盤狀線圈的受力情況。

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