田社平，張 峰

(上海交通大學(xué)電子信息學(xué)院，上海200240)

T形電路和Π形電路的等效變換是“電路理論”或“電路分析”課程中重要的內(nèi)容之一。作為這一部分內(nèi)容的擴(kuò)展和補(bǔ)充，很多教科書在習(xí)題部分提出了含獨(dú)立電源T形電路和Π形電路的相互等效變換的問題[1，2]。含獨(dú)立電源T形電路和Π形電路的等效變換結(jié)果不是唯一的[3]。因此，當(dāng)出現(xiàn)含獨(dú)立電源T/Π形電路的兩個或多個Π/T形等效電路時，就存在如何判斷這些等效電路相互等效的問題。這也是筆者在教學(xué)實(shí)際中遇到的問題。下面就針對含獨(dú)立電源T形電路和Π形電路的相互等效變換，提出幾個結(jié)論，供大家參考。

1 幾個基本結(jié)論

為討論方便起見，假設(shè)含獨(dú)立電源T形電路和Π形電路如圖1所示，電源參考方向也示于圖上。

圖1 含獨(dú)立電源T形電路和Π形電路

假設(shè)圖1(a)、(b)所示的兩個電路互為等效，則有如下結(jié)論:

[結(jié)論1]T形電路等效為Π形電路

將圖1(a)電路等效為圖1(b)電路時，如果參數(shù)iS31可取任意值，則Π形電路中元件的參數(shù)值為

證明:由于圖1中T形電路和Π形電路等效，因此兩者的端口特性相同。將端鈕①、③和端鈕②、③分別構(gòu)成端口，如圖2所示。

圖2 含獨(dú)立電源T形電路和Π形電路的二端口形式

T形電路的端口特性可表示為

式中，開路電阻矩陣

開路電壓向量

Π形電路的端口特性可表示為

式中，開路電阻矩陣

開路電壓向量

由于T形電路和Π形電路相互等效，因此可得

由式(5)可得到含獨(dú)立源Π形電路和T形電路中三個電阻之間的三個等效關(guān)系式，由式(6)得到T形電路和Π形電路中三個電壓源之間的兩個等效關(guān)系式。取參數(shù)iS31為任意值，即可解得式(1)，得證。

［結(jié)論2］Π形電路等效為T形電路

將圖1(b)電路等效為圖1(a)電路時，如果參數(shù)uS3可取任意值，則T形電路中元件的參數(shù)值為

圖3 T形電路的等效

證明:首先證明必要性。圖1(a)電路和圖3電路互為等效，則兩電路的開路電阻矩陣和開路電壓向量分別相等。兩電路的開路電阻矩陣相等是顯然的，而兩電路的開路電壓向量分別為

令兩者相等，即得到uSS1=uSS2=uSS3。

證明過程可類似給出，此處從略。

［結(jié)論3］T形電路的等效

在圖1(a)電路的三條支路中分別串聯(lián)三個電壓源uSS1、uSS2、uSS3，電壓源的參考方向如圖3所示。則圖1(a)電路和圖3電路互為等效的充分必要條件為 uSS1=uSS2=uSS3。

再證充分性。由于uSS1=uSS2=uSS3，對圖1(a)電路和圖2(a)電路分別應(yīng)用[結(jié)論1]可知，兩個電路得到同樣的Π形電路的元件參數(shù)值R12、R23、R31、iS12、iS23、iS31完全相同，因此圖1(a)電路和圖 3 電路互為等效。

充分性也可利用電壓源的等效轉(zhuǎn)移加以證明。將圖3的支路①上的電壓源uSS1向支路②、③轉(zhuǎn)移，它們分別與支路②、③上的電壓源uSS2、uSS3抵消，因此圖1(a)電路和圖2(a)電路互為等效。

與[結(jié)論3]類似，可以得到如下結(jié)論。

[結(jié)論4]Π形電路的等效

在圖1(b)電路的三條支路中分別并聯(lián)三個電流源 iSS1、iSS2、iSS3，參考方向如圖4所示，則圖1(b)電路和圖4電路互為等效的充分必要條件為iSS1=iSS2=iSS3。

圖4 Π形電路的等效

2 應(yīng)用例子

圖5顯示了利用等效變換方法將一個含獨(dú)立電流源Π形電路等效變換為含獨(dú)立電源T形電路，再進(jìn)一步等效變換為含獨(dú)立電流源Π形電路的情形。具體變換過程為:將圖5(a)電路中Π形電阻電路等效變換為T形電阻電路，得到圖5(b)電路;將圖5(b)電路進(jìn)行電流源轉(zhuǎn)移等效，得到圖5(c)電路，對并聯(lián)電流源進(jìn)一步等效得到圖5(d)電路;將圖5(d)電路中的諾頓支路等效變換為戴維寧支路，得到圖5(e)電路;通過T－Π形電阻等效變換得到圖5(f)電路;將圖5(f)電路中的電壓源進(jìn)行轉(zhuǎn)移，得到圖5(g)電路;最后通過戴維寧－諾頓支路等效變換，得到圖5(h)電路。

比較圖5(a)、(h)兩個電路可知，其中對應(yīng)的電流源參數(shù)值并不相等，但由[結(jié)論4]不難判斷它們確實(shí)互為等效。事實(shí)上，在圖5(a)電路的三條支路上分別并聯(lián)iSS1=iSS2=iSS3=(6/5)A的電流源，參考方向同圖3，就得到了圖5(h)電路。

圖5 含獨(dú)立電源Π-T-Π形電路等效變換

3 結(jié)語

筆者每次在講授和討論含獨(dú)立源T形電路和Π形電路的等效變換時，總是得到學(xué)生的熱烈的響應(yīng)。究其原因，我們認(rèn)為這與該部分內(nèi)容包含比較豐富的電路知識點(diǎn)有關(guān)，含獨(dú)立電源T-Π形電路的等效變換至少包含如下知識點(diǎn):T-Π形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效變換、電源(電壓源/電流源)轉(zhuǎn)移的等效變換、戴維寧-諾頓支路等效變換等。另外，含獨(dú)立電源T-Π形電路等效變換的解答非唯一性，也增加了學(xué)生分析和探究的空間。

正因?yàn)楹?dú)立源T-Π形電路等效變換的解答非唯一性，使得對于給定的含獨(dú)立源T-Π形電路，可以有多個等效的Π-T形電路，本文討論的幾個結(jié)論給出了判斷這些電路相互等效的條件。本文的分析對“電路理論”或“電路分析”課程教學(xué)具有一定價值，可供教師在教學(xué)時參考。

參考文獻(xiàn):

[1]李瀚蓀.簡明電路分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社.2002

[2]陳洪亮，張峰，田社平.電路基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社.2007

[3]田社平，陳洪亮.含源T形電路和含源Π形電路的等效變換[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報，2008，30(2):29～32