周毅

（淮南師范學院數(shù)學與計算科學系，安徽淮南 232038）

神經(jīng)元HR模型簇放電活動的計算機仿真

周毅

（淮南師范學院數(shù)學與計算科學系，安徽淮南 232038）

針對神經(jīng)元HR模型，通過數(shù)值仿真，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)4種不同的轉(zhuǎn)遷行為。運用快慢動力學理論，將這些神經(jīng)元簇放電活動歸結(jié)為4類不同的模式：fold/fold滯后環(huán)fold/SupHopf型、fold/fold滯后環(huán)SupHopf/SupHopf型、fold/fold點-點滯后環(huán)型、fold/homoclinic滯后環(huán)的fold/homoclinic型，并探討它們的動力學行為和產(chǎn)生機制。

神經(jīng)元；仿真；簇放電；分岔；快慢動力學

生物神經(jīng)系統(tǒng)是由數(shù)量龐大的神經(jīng)元組成的結(jié)構(gòu)復雜的一類信息網(wǎng)絡，它通過神經(jīng)元的發(fā)放對接收到的信息進行處理、編碼、整合繼而轉(zhuǎn)變?yōu)樯窠?jīng)沖動，并以此聯(lián)絡和調(diào)節(jié)生物各系統(tǒng)和器官的功能。因而神經(jīng)元的電活動在機體功能調(diào)節(jié)系統(tǒng)中起著舉足輕重的作用。

作為神經(jīng)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)和功能單位的神經(jīng)元，能夠感受外界刺激和傳導興奮。研究者在很多電生理實驗中都發(fā)現(xiàn)：在不同幅度的外界直流激勵或者不同的Ca2+離子濃度下神經(jīng)元能表現(xiàn)出模式眾多的放電行為，如混沌的峰放電或周期性的簇放電等。在新興的交叉學科神經(jīng)動力學的眾多研究領域中，神經(jīng)元簇放電活動的非線性行為、動力學特性以及模式劃分一直都是研究重點①BELYKH V.N.BELYKH I.V.COLDING J.M.etc.Homoclinic bifurcations leading to the emergence of bursting oscillations in cell models.Eur.Phys.2000,3.pp.205-219；楊卓琴，陸啟韶：《神經(jīng)元Chay模型中不同類型的簇放電模式》，《中國科學G輯:物理學力學天文學》2007年第37期，第440-450頁；張艷嬌,李美生,陸啟韶：《ML神經(jīng)元的放電模式及時滯對神經(jīng)元同步的影響》，《動力學與控制學報》2009年第7期，第19-22頁。。生物體內(nèi)神經(jīng)元的簇放電活動是不盡相同的，并且不同類型簇放電模式的計算性質(zhì)和動力學機制也是各不相同的②CHRISTOPHER P..F.Computational cell biology.Springer,2002.。由于神經(jīng)元電活動的高度非線性，這一方面的結(jié)論仍然需要進一步完善。本文主要針對神經(jīng)元Hindmarsh-Rose(HR)模型③HINDMARSH J.L.ROSE R.M.A model of neuronal bursting using three coupled first order differential equations.Proc R Soc.London Ser.B.,1984,221.pp.87-102.，利用計算機仿真④IZHIKEVICH E.M.Mathematical foundations of neuroscience.Springer,2010；BARD E.Simulating,analyzing,and animating dynamical systems.Springer,2002；周毅：《神經(jīng)元Morris-Lecar模型簇放電活動的分岔研究》，《長春工業(yè)大學學報》（自然科學）2012年第4期，第427-431頁；周毅：《神經(jīng)元Chay模型簇放電活動的分岔研究》，《赤峰學院學報》（自然科學）2012年第11期，第23-25頁；李遠華：《非興奮型生物細胞內(nèi)鈣離子濃度振蕩的數(shù)值仿真》，《淮南師范學院學報》2011年第3期，第1-3頁。的方法來研究其簇放電活動。

1 模型

Hindmarsh和Rose根據(jù)由電壓鉗實驗獲得的關于池塘蝸牛神經(jīng)細胞的數(shù)據(jù)，于1982年提出了最初的Hindmarsh-Rose(HR)神經(jīng)元模型。1984年他們在實驗中觀察到，蝸牛的腦神經(jīng)起初處于靜息狀態(tài)而不放電，當輸入短的去極化電流脈沖后，會產(chǎn)生一簇比輸入電流持續(xù)時間更長的動作電位。為了解釋該現(xiàn)象，他們將模型進一步修改為以下形式：

其中x代表神經(jīng)元的膜電壓，y是與內(nèi)電流（如Na+離子或K+離子）相關聯(lián)的恢復變量，z是與Ca2+離子激活的K+離子電流相關的慢變調(diào)節(jié)電流。a,b,c,d,r,s以及x0都是系統(tǒng)參數(shù)，I為外界直流激勵。我們把全系統(tǒng)分成由方程（1）和（2）構(gòu)成的快系統(tǒng)，而把方程（3）作為慢系統(tǒng)。在快慢動力學分岔分析中，分岔參數(shù)取為慢變量Z。

2 仿真與分析

2.1 經(jīng)由fold/fold滯后環(huán)fold/SupHopf型簇放電

系統(tǒng)中各參數(shù)取值如下：

快系統(tǒng)（1）-（2）的平衡點形成如圖1(b)所示的Z形分岔曲線，并將圖1(a)對應的相圖也疊加于圖1(b)中。Z形分岔曲線中支和下支分別由鞍點和穩(wěn)定結(jié)點構(gòu)成，Lp1、Lp2為fold分岔點。Z形分岔曲線上支的穩(wěn)定焦點隨著慢變量Z的增加，經(jīng)由SupHopf分岔點H1失穩(wěn)轉(zhuǎn)變?yōu)榘包c，再經(jīng)由SupHopf分岔點H2轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的焦點。與此同時，穩(wěn)定周期軌在不穩(wěn)定的焦點周圍產(chǎn)生。

由圖1（b）的快慢動力學分岔分析（按順時針方向跟蹤相軌線）：當快系統(tǒng)的分岔參數(shù)Z逐漸減小時，位于快系統(tǒng)分岔曲線下支的下靜息狀態(tài)經(jīng)由fold分岔（Lp1）消失，同時由于分岔曲線上支的穩(wěn)定周期軌的吸引作用，系統(tǒng)的上狀態(tài)即穩(wěn)定的簇放電開始。隨著Z的增大，穩(wěn)定的簇放電經(jīng)SupHopf分岔點結(jié)束，而此時由于上支穩(wěn)定焦點的吸引，簇放電以振幅逐漸衰減的方式振蕩減弱，最后經(jīng)由fold分岔點（Lp2）轉(zhuǎn)遷到簇放電的下狀態(tài)。

圖1 （a）膜電壓的時序圖;（b）快慢動力學分岔圖

因此，在上述參數(shù)條件下，系統(tǒng)的簇放電模式應為經(jīng)由fold/fold滯后環(huán)的fold/SupHopf型。

2.2 經(jīng)由fold/fold滯后環(huán)SupHopf/SupHopf型簇放電

當a=1，b=2，c=1.2，d=5,r=0.01，s=4,x0=-1.6，i=4時。

由圖2（b）可見，由于分岔參數(shù)Z的減小，對應于穩(wěn)定結(jié)點構(gòu)成的分岔曲線下支的下靜息狀態(tài)，經(jīng)由fold分岔（Lp1）轉(zhuǎn)遷到由穩(wěn)定焦點構(gòu)成的分岔曲線上支的簇放電上狀態(tài)。由于穩(wěn)定焦點的吸引作用，振幅在逐漸衰減，當經(jīng)過SupHopf分岔（H1）后，系統(tǒng)被穩(wěn)定周期軌吸引開始持續(xù)的簇振蕩。隨著分岔參數(shù)Z增加，放電狀態(tài)對應的穩(wěn)定周期軌經(jīng)由SupHopf分岔（H2）成為穩(wěn)定的焦點。同樣因為穩(wěn)定焦點的吸引放電狀態(tài)結(jié)束。

導致滯后環(huán)產(chǎn)生的分岔分別為：簇放電的下狀態(tài)結(jié)束、上狀態(tài)開始時經(jīng)過的Lp1，以及簇放電的上狀態(tài)轉(zhuǎn)遷到下狀態(tài)時碰到的Lp2。

圖2 （a）膜電壓的時序圖；（b）快慢動力學分岔圖

由此簇放電模式的動力學性質(zhì)可知其為經(jīng)由fold/fold滯后環(huán)的SupHopf/SupHopf型簇放電。

2.3 fold/fold點-點滯后環(huán)型簇放電

系統(tǒng)中各參數(shù)取值如下：

如圖3（b），由于快系統(tǒng)分岔曲線上不存在Hopf點，所以引發(fā)持續(xù)放電行為的穩(wěn)定周期軌同樣是不存在的，從而該系統(tǒng)中不存在導致放電狀態(tài)開始或結(jié)束的分岔。此時的點-點滯后環(huán)由分岔曲線上支穩(wěn)定焦點代表的上狀態(tài)與下支的穩(wěn)定焦點代表的下狀態(tài)構(gòu)成。

圖3 （a）膜電壓的時序圖;（b）快慢動力學分岔圖

我們按順時針方向跟蹤相軌線，由穩(wěn)定結(jié)點構(gòu)成的分岔曲線下支對應的下靜息狀態(tài)經(jīng)由fold分岔（Lp1）結(jié)束，轉(zhuǎn)遷到由穩(wěn)定焦點構(gòu)成的分岔曲線上支，即上靜息態(tài)。隨著分岔參數(shù)Z的增加，上靜息狀態(tài)又經(jīng)由fold分岔（Lp2）轉(zhuǎn)遷到下靜息態(tài)。由此，一個經(jīng)由穩(wěn)定的上靜息態(tài)和穩(wěn)定的下靜息狀態(tài)之間的相互轉(zhuǎn)遷而產(chǎn)生的點-點滯后環(huán)出現(xiàn)了。由此簇放電模式表現(xiàn)出的動力學性質(zhì)可知其為fold/ fold點-點滯后環(huán)型。

2.4 經(jīng)由fold/homoclinic滯后環(huán)的fold/homoclinic型簇放電

系統(tǒng)中各參數(shù)取值如下：

由圖4（b）的快慢動力學分岔圖，在快系統(tǒng)的分岔參數(shù)Z逐漸減小的過程中，位于由穩(wěn)定結(jié)點構(gòu)成的分岔曲線下支所對應的下靜息狀態(tài)經(jīng)由fold分岔（Lp1）結(jié)束，進而轉(zhuǎn)遷到分岔曲線上支，系統(tǒng)開始簇放電活動。接下來，相軌線隨著Z增大經(jīng)由鞍點同宿軌分岔（Hc）回到中支處的鞍點，并進一步轉(zhuǎn)遷到下靜息態(tài)，放電結(jié)束.由分析可知，導致靜息態(tài)結(jié)束、引發(fā)簇放電開始的分岔是fold分岔Lp1；簇放電狀態(tài)完結(jié)的分岔是鞍點同宿軌分岔Hc。另外，引起滯后環(huán)的分岔，即從下靜息態(tài)到上部簇振蕩狀態(tài)和從上狀態(tài)到下靜息態(tài)的分岔仍然是fold分岔和鞍點同宿軌分岔（Hc）。

圖4.（a）膜電壓的時序圖;（b）快慢動力學分岔圖

由此簇放電模式的動力學性質(zhì)知其為fold/homoclinic滯后環(huán)的fold/homoclinic型簇放電。

3 結(jié)論

神經(jīng)系統(tǒng)的信息傳遞主要靠神經(jīng)元的放電活動，而周期性簇放電由于振幅與頻率的多變，成為主導方式。不同類型的簇放電模式其轉(zhuǎn)遷機制也是不一樣的。本文通過計算機仿真的方法，應用Matlab等軟件，數(shù)值模擬了電生理實驗中觀測到的4種典型簇放電模式：fold/fold滯后環(huán)fold/SupHopf型、fold/fold滯后環(huán)SupHopf/SupHopf型、fold/fold點-點滯后環(huán)型、fold/homoclinic滯后環(huán)fold/homoclinic型。針對模型中的雙時間尺度，運用快慢動力學理論，研究了不同放電行為轉(zhuǎn)遷機制的成因，并按Izhikevich的分類方法給出了其類型。然而由于噪聲以及時滯等因素的影響，實驗中獲得的簇放電模式異常龐雜，這就需要我們對神經(jīng)元模型做出改進以符合實驗結(jié)果。同時由于神經(jīng)網(wǎng)絡的復雜性，不同耦合方式的動力系統(tǒng)中的放電活動也是需要進一步研究的內(nèi)容。

Computer simulation of neuron bursting in HR model

ZHOU Yi

Four types of bursting pattern were simulated in the HR model.They are fold/SupHopf bursting via fold/fold hysteresis loop,SupHopf/SupHopf bursting via fold/fold hysteresis loop,fold/fold bursting via point-point hysteresis loop,and fold/homoclinic bursting via fold/homoclinc hysteresis loop.The dynamical behavior and mechanisms of them were also studied.

neuron;simulation;bursting;bifurcation;fast-slow dynamics

O193

A

1009-9530（2014）05-0097-03

2014-03-03

安徽高校省級自然科學研究項目（KJ2013Z309）；淮南師范學院青年教師基金（2012LK17，2012LK18）

周毅（1979-），男，淮南師范學院數(shù)學與計算機系助教，碩士，主要研究方向：計算機仿真，穩(wěn)定性與分岔。