樊世偉+薛東彬

摘 要： 本文介紹了線性和非線性控制法則兩種控制律設(shè)計(jì)方法在小型直升機(jī)上的應(yīng)用，采用雙時(shí)域衡量分析方法來(lái)分析直升機(jī)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性。緊子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng)分別用于分析直升機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性，緊子系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由李亞普諾夫方程保證，同時(shí)采用反饋線性化方法穩(wěn)定控制內(nèi)回路。此外，在給出線性控制律缺點(diǎn)的同時(shí)給出了改進(jìn)后的非線性控制律，該控制律可以在無(wú)人直升機(jī)執(zhí)行大角度、快速度飛行運(yùn)動(dòng)科目時(shí)更穩(wěn)定可靠的控制直升機(jī)。

關(guān)鍵詞： 無(wú)人直升機(jī)控制； 穩(wěn)定性分析； 雙時(shí)域衡量分析； 李亞普諾夫穩(wěn)定性； 反饋線性化； 非線性控制

中圖分類號(hào)： TN911.7?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）13?0036?03

Control and stability analysis of small?size autonomous helicopters

FAN Shi?wei， XUE Dong?bin

（No. 27 Research Institute， CETC， Zhengzhou 450047， China）

Abstract： The application of design methods of both linear and non?linear control laws in small?size autonomous helicopter is introduced in this paper. A two?time scale decomposition method is used to analyze the dynamics characteristics of the helicopter. The fast subsystem ans slow subsystem are applied to analysis of the rotational and translational dynamics characteristics respectively. The stability of the fast subsystem is ensured by means of a Lyapunov equation. Furthermore， a feedback linearization technique is adopted to stabilize the control inner loop. Moreover， the drawbacks of the linear control law are pointed out and an improved nonlinear control law is proposed. This control law is able to control the helicopter when large variations occur in the orientation angle and position of the helicopter.

Keywords： autonomous helicopter control； stability analysis； two?time?domain scale analysis； Lyapunov stability； feedback linearization； nonlinear control

0 引 言

無(wú)人直升機(jī)的控制方法設(shè)計(jì)可以簡(jiǎn)要的分為以下兩個(gè)方面：基于操作手先驗(yàn)知識(shí)的方法和模擬控制方法[1]。本文以第二種設(shè)計(jì)方法為主，其中參考先驗(yàn)知識(shí)用于控制律的設(shè)計(jì)?；谥鄙龣C(jī)模型的控制方法在已發(fā)表的文獻(xiàn)中已有很多，比如：基于高階近似模型的線性魯棒控制[2]、基于模糊增益時(shí)序安排的線性控制[3]，以及基于非線性模型的預(yù)測(cè)控制等。在文獻(xiàn)[4]中綜合對(duì)比分析了線性控制和非線性控制的方法，值得注意的是在懸停狀態(tài)下，通過(guò)對(duì)非線性模型的線性化處理進(jìn)而可以采用諸如LQR和[H∞]多變量控制技術(shù)進(jìn)行控制，另一方面，非線性控制技術(shù)適用范圍更為廣泛且能夠包含更大的飛行包線，但是它需求更為精確的模型信息同時(shí)對(duì)模型更為敏感。

1 直升機(jī)模型

本文中所采用的直升機(jī)模型為文獻(xiàn)[7]中的模型。在該模型中直升機(jī)系統(tǒng)看作一個(gè)由力和力矩共同作用的剛體結(jié)構(gòu)。子系統(tǒng)和狀態(tài)及控制變量的連接關(guān)系如圖1所示。

圖1 模型中子系統(tǒng)、狀態(tài)變量和控制變量的連接關(guān)系圖

在本模型中狀態(tài)變量和輸入信號(hào)如下：

[q=PvpΘωbT=xyzvpxvpyvpz?θψωb1ωb2ωb3T] （1）

[u=TmTtabT] （2）

式中：[P]為直升機(jī)在慣性空間的位置；[Θ=?θψT]為直升機(jī)的歐拉角；力[fb]和力矩[τb]由主旋翼拉力[Tm]和縱、橫向周期變矩角（[a]和[b]）產(chǎn)生。尾槳系統(tǒng)可以看作是一個(gè)由尾槳推力[Tt]產(chǎn)生的純粹橫向力和反扭矩系統(tǒng)，機(jī)體坐標(biāo)和慣性坐標(biāo)系如圖2所示，其變換如下：

圖2 慣性坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系

作用在剛體結(jié)構(gòu)飛行器的動(dòng)力學(xué)方程的力[fb]和力矩[τb]從慣性坐標(biāo)系到機(jī)體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方程如下：

[mI00Ivbωb+ωb×mvbωb×Iωb=fbτb] （3）

式中：[vb]是體坐標(biāo)系下的速度；[ωb]是體坐標(biāo)系下的角速度；[m]為質(zhì)量；[I]為單位矩陣，[I]為慣性矩陣，設(shè)[R（Θ）]為機(jī)體軸相對(duì)于慣性軸的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣（上角標(biāo)為[p]）。令則剛體運(yùn)動(dòng)方程可以寫為：

[PvpΘωb=vp1mR（Θ）fbΨ（Θ）ωbI-1（τb-ωb×Iωb）] （4）

2 線性控制

上節(jié)所給出的無(wú)人直升機(jī)數(shù)學(xué)模型是一個(gè)不穩(wěn)定的非線性多變量模型，該模型具有的獨(dú)立控制機(jī)構(gòu)要少于自由度數(shù)。然而，在忽略掉一些耦合因素可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單的線性化模型。主要的輸入輸出關(guān)系見(jiàn)表1。

考慮表1中的輸入輸出對(duì)應(yīng)關(guān)系可以設(shè)計(jì)得到如下的線性控制律：

[U=Tm=k1z+k2dzdt+k3zdtTt=k′1ψ+k′2ωb3a=k4x+k5dxdt+k6xdt+k′3θ+k′4ωb2b=k7y+k8dydt+k9ydt+k′5?+k′6ωb1] （5）

其中：

[vpx=dxdt；vpy=dydt；vpz=dzdt]

任何一種線性控制算法都可以通過(guò)調(diào)整參數(shù)[ki，][i=1，2，…，9]和參數(shù)[k′i，][i=1，2，…，6]得到，本文中筆者是在懸停狀態(tài)下的LQR控制算法完成的控制器設(shè)計(jì)，該線性控制器只適合在懸停狀態(tài)下直升機(jī)的穩(wěn)定控制，但是在大機(jī)動(dòng)飛行時(shí)不能保證直升機(jī)的穩(wěn)定性。

3 穩(wěn)定性分析及改進(jìn)線性控制律設(shè)計(jì)

直升機(jī)的穩(wěn)定性分析采用的方法是將直升機(jī)動(dòng)力學(xué)模型分解到兩個(gè)時(shí)間域內(nèi)，一個(gè)是關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)的，另一個(gè)響應(yīng)相對(duì)較慢，是關(guān)于平動(dòng)的。這就使得動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分析更為簡(jiǎn)單，也就是說(shuō)兩個(gè)包含著兩個(gè)周期域內(nèi)的分解子系統(tǒng)。因?yàn)橹鄙龣C(jī)的自身重量導(dǎo)致了線速度是一個(gè)短周期運(yùn)動(dòng)可以說(shuō)明該分解方式是可行的。

3.1 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)快周期子系統(tǒng)

本子系統(tǒng)由下式給出：

[Θ=Ψ（Θ）ωbωb=I-1（τf+τs-ωb×Iωb）] （6）

這里[τ=τf+τs]（f指快周期，s指慢周期）是控制變量由下式定義：

[τf?K（z）ΘΘ+K（z）ωω，K（z）Θ，K（z）ω<0，?z]

[τs?KXXs] （7）

這樣的話式子（5）可以寫由式子（7）進(jìn)行改進(jìn)，可以保證在穩(wěn)定點(diǎn)附近[（?，θ）

[Λ=12（ωb）TIωb-ΔΘKTΘ（Θ）Ψ-1（Θ）dΘ] （8）

這里用[ΔΘ]來(lái)替代平衡狀態(tài)[Θ0，]在滿足條件[（?，θ）

[Λ=（ωb）TKω（Θ）ωb<0，?Θ∈0] （9）

從而，可以確保該子系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3.2 平動(dòng)動(dòng)力學(xué)慢子系統(tǒng)

由下式給出表達(dá)式：

[P=vpvp=1mR（Θ）fb] （10）

力平衡可以記作如下形式：

[fb=ΔF+F0+R（Θ）Tmg] （11）

式中：[F0=-R（Θ0）Tmg]是平衡力，考慮如下反饋控制律：

[ΔF=R-1（Θ）Kp（z）P] （12）

這里[Kp（z）]是反饋增益，將式（11）和（12）代入可得：

[vp=1mR（Θ）ΔF+（R（Θ）+R（Θ0））mg] （13）

則在平衡點(diǎn)[Θ=Θ0，][ωb=0]處慢周期子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性由下式確定：

[vp?1mR（Θ）（R（Θ）-1Kp（z）P）vp?1mKp（z）P] （14）

可以看出控制律（12）相對(duì)于一個(gè)反饋線性化，如果增益足夠小且增益矩陣[Kp（z）]對(duì)于所有的[z]為負(fù)值，則在[（?，θ）

4 非線性控制

由上節(jié)的控制策略來(lái)看，其只適應(yīng)于在平衡點(diǎn)附近狀態(tài)變量變化很小的范圍內(nèi)能夠保持穩(wěn)定，如果出現(xiàn)較大的狀態(tài)浮動(dòng)可能重新改變控制策略，首先在尾槳控制上必須滿足狀態(tài)量從-π到π的變化。線性控制律式（5）是基于表1設(shè)計(jì)的，其給出了表中控制變量和體坐標(biāo)系下狀態(tài)變量的匹配關(guān)系。在無(wú)人直升機(jī)引入偏航角計(jì)算時(shí)球面坐標(biāo)系[x，][y]和集體坐標(biāo)系下是不一致的。為解決這一問(wèn)題，必須將控制效果作用量通過(guò)航向角坐標(biāo)變換到同一坐標(biāo)系下計(jì)算：

[cosψ-sinψsinψcosψk4+k5dxdt+k6xdtk7+k8dydt+k9ydt] （15）

此外在[x，][y]和[z]軸方向的位置偏差量在（-∞，+∞）內(nèi)必須能夠保持直升機(jī)的全局穩(wěn)定，對(duì)于式（5）和式（15），如果[x]或者[y]位置偏差量增加，控制變量[a]和[b]會(huì)持續(xù)增大，最終回到這直升機(jī)在滾轉(zhuǎn)通道和俯仰通道不穩(wěn)定，為了解決這一問(wèn)題，引入非線性方程[μ]來(lái)形成如下非線性控制策略：

[Tm=k1z+k2dzdt+k3zdtTt=k′1ψ+k′2ωb3ab=μ（?，θ）cosψ-sinψsinψcosψ?k4+k5dxdt+k6xdtk7+k8dydt+k9ydt+k′3θ+k′4ωb2k′5?+k′6ωb1] （16）

[μ（?，θ）=1，if （?，θ）<δ00，if （?，θ）>δ0] （17）

這時(shí)，當(dāng)狀態(tài)變量[?，θ]足夠小的時(shí)候，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)線性控制律起作用（[μ=1]），然而，當(dāng)角變化量偏大時(shí)，[μ=0]則控制變量[a和b]不受位置偏差影響而去穩(wěn)定姿態(tài)角[?和θ。]在此運(yùn)算過(guò)程中可以通過(guò)模糊邏輯來(lái)計(jì)算[μ]的值，此外，可用線性控制技術(shù)來(lái)計(jì)算式（16）中的[ki]和[k′i，]通過(guò)階躍響應(yīng)輸入進(jìn)行仿真可得如圖3所示結(jié)果。

采用不同的非線性控制技術(shù)測(cè)試了在非線性控制律下系統(tǒng)的穩(wěn)定特性，控制算法的平衡性和連續(xù)性得到了很好的驗(yàn)證，通過(guò)這些控制方法的證明了其控制效果不存在導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散極限環(huán)。

圖3 階躍響應(yīng)輸入條件下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

5 結(jié) 論

線性控制技術(shù)可用于直升機(jī)懸停狀態(tài)下的穩(wěn)定控制，在考慮到大角度機(jī)動(dòng)飛行時(shí)，僅依靠線性控制算法不是能完成對(duì)直升機(jī)的穩(wěn)定控制的，引入雙子模型對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行分解可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由李亞普諾夫方程可以確?？熘芷冢ㄞD(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)）子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，此外在穩(wěn)定點(diǎn)附近可以采用反饋線性化的方法來(lái)穩(wěn)定慢周期（平動(dòng)動(dòng)力學(xué)）子系統(tǒng)。

非線性控制技術(shù)值無(wú)人直升機(jī)的控制上是非常有用的，尤其在出現(xiàn)大角度機(jī)動(dòng)飛行時(shí)能夠穩(wěn)定的控制直升機(jī)，本文中所介紹的非線性控制算法正是能夠滿足這一控制要求的算法，在該算法中由于引入了偏航角量使得直升機(jī)航行和位置控制更為精確。此外該非線性控制算法排除了直升機(jī)在滾轉(zhuǎn)角和俯仰角出現(xiàn)較大偏差時(shí)直升機(jī)失穩(wěn)的可能性，而使得直升機(jī)在非懸停狀態(tài)下也能得到穩(wěn)定的控制。在非線性反饋控制系統(tǒng)中應(yīng)用諧波穩(wěn)定和連續(xù)激勵(lì)的方法也不會(huì)出現(xiàn)任何極限環(huán)或發(fā)散情況。

參考文獻(xiàn)

[1] OLLERO AníbalAuthor Vitae， MERINO Luís. Control and Perception techniques for aerial robotics [J]. Annual Reviews in Control， 2004， 28（2）： 167?178.

[2] LA CIVITA M， PAPAGEORGIOU G， MESSNER W C， et al. Design and flight testing of a gain?scheduled h?infinity loop shaping controller for wide?envelope flight of a robotic helicopter [C]// Proceedings of the 2003 American Control Confe?rence， Denver， CO： ACC， 2003： 4195?4200.

[3] KADMIRI B， BERGSTEN P， DRIANKOV D. Autonomous helicopter using fuzzy?gain scheduling [C]// Proceedings of the IEEE International Conference on Robotic and Automation. Seoul， Korea： IEEE， 2001， 3： 2980?2985.

[4] SHIM H， KOO T J， HOFFMAN F， et al. A comprehensive study of control design of an autonomous helicopter [C]// Proceedings of the 37th IEEE Conference on decision and Control. Tampa， Florida， USA： IEEE， 1998： 3653?3658.

[5] KOO T J， MA Yi， SASTRY S. Non linear control of a helicopter based unmanned aerial vehicle model [J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2001， 30（5）： 234?244.

[6] HEREDIA G， REMU? V， OLLERO A， et al. Actuator fault detection in autonomous helicopters [C]// Proceedings of the 5th IFAC Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles. Lisbon， Portugal： IFAC， 2004： 1?6.

[7] KIM J， SHIM D H. A flight control system for aerial robots： algorithms and experiments [J]. Control Engineering Practice， 2003， 11： 1389?1400.

非線性控制技術(shù)值無(wú)人直升機(jī)的控制上是非常有用的，尤其在出現(xiàn)大角度機(jī)動(dòng)飛行時(shí)能夠穩(wěn)定的控制直升機(jī)，本文中所介紹的非線性控制算法正是能夠滿足這一控制要求的算法，在該算法中由于引入了偏航角量使得直升機(jī)航行和位置控制更為精確。此外該非線性控制算法排除了直升機(jī)在滾轉(zhuǎn)角和俯仰角出現(xiàn)較大偏差時(shí)直升機(jī)失穩(wěn)的可能性，而使得直升機(jī)在非懸停狀態(tài)下也能得到穩(wěn)定的控制。在非線性反饋控制系統(tǒng)中應(yīng)用諧波穩(wěn)定和連續(xù)激勵(lì)的方法也不會(huì)出現(xiàn)任何極限環(huán)或發(fā)散情況。

參考文獻(xiàn)

[1] OLLERO AníbalAuthor Vitae， MERINO Luís. Control and Perception techniques for aerial robotics [J]. Annual Reviews in Control， 2004， 28（2）： 167?178.

[2] LA CIVITA M， PAPAGEORGIOU G， MESSNER W C， et al. Design and flight testing of a gain?scheduled h?infinity loop shaping controller for wide?envelope flight of a robotic helicopter [C]// Proceedings of the 2003 American Control Confe?rence， Denver， CO： ACC， 2003： 4195?4200.

[3] KADMIRI B， BERGSTEN P， DRIANKOV D. Autonomous helicopter using fuzzy?gain scheduling [C]// Proceedings of the IEEE International Conference on Robotic and Automation. Seoul， Korea： IEEE， 2001， 3： 2980?2985.

[4] SHIM H， KOO T J， HOFFMAN F， et al. A comprehensive study of control design of an autonomous helicopter [C]// Proceedings of the 37th IEEE Conference on decision and Control. Tampa， Florida， USA： IEEE， 1998： 3653?3658.

[5] KOO T J， MA Yi， SASTRY S. Non linear control of a helicopter based unmanned aerial vehicle model [J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2001， 30（5）： 234?244.

[6] HEREDIA G， REMU? V， OLLERO A， et al. Actuator fault detection in autonomous helicopters [C]// Proceedings of the 5th IFAC Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles. Lisbon， Portugal： IFAC， 2004： 1?6.

[7] KIM J， SHIM D H. A flight control system for aerial robots： algorithms and experiments [J]. Control Engineering Practice， 2003， 11： 1389?1400.

非線性控制技術(shù)值無(wú)人直升機(jī)的控制上是非常有用的，尤其在出現(xiàn)大角度機(jī)動(dòng)飛行時(shí)能夠穩(wěn)定的控制直升機(jī)，本文中所介紹的非線性控制算法正是能夠滿足這一控制要求的算法，在該算法中由于引入了偏航角量使得直升機(jī)航行和位置控制更為精確。此外該非線性控制算法排除了直升機(jī)在滾轉(zhuǎn)角和俯仰角出現(xiàn)較大偏差時(shí)直升機(jī)失穩(wěn)的可能性，而使得直升機(jī)在非懸停狀態(tài)下也能得到穩(wěn)定的控制。在非線性反饋控制系統(tǒng)中應(yīng)用諧波穩(wěn)定和連續(xù)激勵(lì)的方法也不會(huì)出現(xiàn)任何極限環(huán)或發(fā)散情況。

參考文獻(xiàn)

[1] OLLERO AníbalAuthor Vitae， MERINO Luís. Control and Perception techniques for aerial robotics [J]. Annual Reviews in Control， 2004， 28（2）： 167?178.

[2] LA CIVITA M， PAPAGEORGIOU G， MESSNER W C， et al. Design and flight testing of a gain?scheduled h?infinity loop shaping controller for wide?envelope flight of a robotic helicopter [C]// Proceedings of the 2003 American Control Confe?rence， Denver， CO： ACC， 2003： 4195?4200.

[3] KADMIRI B， BERGSTEN P， DRIANKOV D. Autonomous helicopter using fuzzy?gain scheduling [C]// Proceedings of the IEEE International Conference on Robotic and Automation. Seoul， Korea： IEEE， 2001， 3： 2980?2985.

[4] SHIM H， KOO T J， HOFFMAN F， et al. A comprehensive study of control design of an autonomous helicopter [C]// Proceedings of the 37th IEEE Conference on decision and Control. Tampa， Florida， USA： IEEE， 1998： 3653?3658.

[5] KOO T J， MA Yi， SASTRY S. Non linear control of a helicopter based unmanned aerial vehicle model [J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2001， 30（5）： 234?244.

[6] HEREDIA G， REMU? V， OLLERO A， et al. Actuator fault detection in autonomous helicopters [C]// Proceedings of the 5th IFAC Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles. Lisbon， Portugal： IFAC， 2004： 1?6.

[7] KIM J， SHIM D H. A flight control system for aerial robots： algorithms and experiments [J]. Control Engineering Practice， 2003， 11： 1389?1400.