●鄭大明

一天， 孫子用積木擺了一座如圖1 所示的 “房子”。

圖1

我問他：“積木是什么樣子的呀？它們有幾個？”他說：“方形的，三個；三角形的一個呀！ ”接著他告訴我，老師只問了他們每個積木的顏色和軟硬。 我告訴他，爺爺這個叫數(shù)學問法，老師那個叫物理問法。 等以后長大了， 兩種你都會問了。 他高興地說：“我要做數(shù)學大人，還要做物理大人。 ”

是呀，孫子要做“數(shù)學大人”。 我就琢磨，他怎樣才能從“數(shù)學幼兒”變成“數(shù)學大人”呢？ 需要有什么本領(lǐng)才是“數(shù)學大人”呢？

《數(shù)學課程標準》（2011 版） 開篇就指出：“數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學”。數(shù)量關(guān)系是什么呢？ 通俗地講就是關(guān)于事物的個數(shù)以及事物的多與少，大與小，長與短等信息?？臻g形式又是什么？就是關(guān)于事物的樣子即形狀， 以及事物所在的位置比如上邊或者下邊、前面或者后面，還有事物運動的方式比如汽車輪子是滾動著走的還是滑動著走等信息。如果把握了數(shù)學的這個本質(zhì)內(nèi)涵，我們就知道如何把小孩子培養(yǎng)成“數(shù)學大人”了。

一、學會數(shù)學地認知：有數(shù)學家的耳朵和眼睛

我們認識一樣東西，心理學上叫做認知。數(shù)學認知就是用數(shù)學家感知和認識事物的方法去收集事物的信息。 如果你會用數(shù)學家的看、聽、摸等方法去收集信息了，你就形成“數(shù)學認知”本領(lǐng)了。

《數(shù)學課程標準》（2011 版）提出了數(shù)學家認知事物的三個本領(lǐng)，即數(shù)感、空間觀念和數(shù)據(jù)分析觀念。

所謂數(shù)感，就是想到用看、聽和摸等方式了解事物的個數(shù)或多少的本領(lǐng)。 如圖2，一盤雞蛋多少個？一筐雞蛋多少個？

圖2

一盤雞蛋個數(shù)少，正常人用眼睛一看，邊看邊數(shù)邊念，一，二，三。 你就知道了雞蛋是3 個，旁邊的人也聽到了雞蛋是3 個。 瞎子怎么辦？ 聽你邊念邊數(shù)，也知道了。他也可以自己用手邊摸邊數(shù)，知道雞蛋是3 個。一筐雞蛋，你能只看就數(shù)出來了嗎？那不行，有些被遮住了，需要分揀出來，邊撿邊數(shù)了。

同時，通過這些信息收集活動，你也就知道了盤子里面的雞蛋個數(shù)比筐子里的少，反過來筐子里的雞蛋比盤子里的多。

所謂空間觀念，就是想到用形狀、方位、位置、運動等知識去了解事物的本領(lǐng)。

如圖3，看到這個箱子圖片你想說些什么？

圖3

圖4

“箱子是木頭做的?！边@不是數(shù)學家的眼光。數(shù)學家說：“箱子是正方體形狀的。 ”“箱子有一個面用木條釘成三角形了。”“箱子的6 個面都釘了木塊?！薄搬斢行蹦緱l的面不在前面，也不再上面?！薄跋渥硬蝗菀诐L動；容易推著滑動，也就是平移。 ”

當然，空間觀念還包括“看圖形想實物”，“看句子想圖形、想位置或者畫圖形”等內(nèi)容。 如圖4，根據(jù)下面的圖形設(shè)計制作一個禮品盒， 并在上面貼一朵花，在周圍畫上卡通畫或者寫上祝福語。

所謂數(shù)據(jù)分析觀念， 就是能想到用收集數(shù)據(jù)的方法研究一些事物或者現(xiàn)象發(fā)生的情況以及預測其發(fā)展勢頭的本領(lǐng)。

如，家長：“請問張老師，五年級的3 個班，哪個班好一些，我想把孩子轉(zhuǎn)到那個班去。 ”張老師：“3個都還可以，轉(zhuǎn)哪個班都沒問題。 ”

數(shù)學家：“請問同學們，五年級的3 個班，哪個班好一些？ 我們想知道哪些班能保持‘優(yōu)秀班集體’。 ”

學生：“你去查看各班的成績單吧，老師那有。 ”“你去班上問同學嘛！ ”

數(shù)學家看成績單和到班上去問學生， 都是調(diào)查研究、采集數(shù)據(jù)和分析情況的好方法。拿到成績單數(shù)一數(shù)，排一排，就知道哪個班成績好，成績好的人數(shù)有多少。問同學就知道哪個班表現(xiàn)好了。有了這個本領(lǐng)就不會像張老師那樣回答：“都可以。 ”或者“二班好點。 ”這樣回答，沒有說服人的證據(jù)或者理由。

數(shù)學家認知事物，最重要的就是有序地認知。認知時做到依次序，不重復不漏掉需要認知的東西。

數(shù)雞蛋等事物的個數(shù)， 一般按照由少到多的順序，一個一個地、一十一十地接著往下數(shù)；數(shù)水果等幾種事物的個數(shù)，就要先分開蘋果啊、香蕉啊和梨啊，分類以后再從少到多地數(shù)；數(shù)家里來的客人，就要從屋里到屋外依次一個一個地數(shù)完；看箱子有幾個面，就要從上到下，從左往右，從前往后依次數(shù)完6 個面。

像給你一個圓形，叫你聯(lián)想真實的事物，你就得從身邊近的東西開始觀察，再到離自己遠的東西。先看身邊的鐘表、杯子、碗等，再看遠處的汽車輪子、風車，再想天上的太陽、月亮；從熟悉的東西開始慢慢到陌生的東西。

二、學會數(shù)學地表達：有數(shù)學家的嘴巴和鉛筆

我們說話，在心理學上叫做表達。表達的目的是傳播或者交流信息， 是一個人向另一個人或一群人傳播或者交流信息。有了這種本領(lǐng)，你就能夠在人群中相互溝通了。表達經(jīng)過無記錄到有記錄地發(fā)展，分為口頭表達和書面表達?？陬^表達就是用嘴說，用聲音符號傳達信息； 書面表達在白紙或者電腦等東西上用文字和圖形符號傳遞信息。

《數(shù)學課程標準》（2011 版）提出了數(shù)學家表達信息的兩個本領(lǐng)，即符號意識和幾何直觀。

所謂符號意識，就是想到了用約定的、統(tǒng)一的數(shù)學符號來傳播所了解到的事物信息的本領(lǐng)。

數(shù)學家常用的符號有文字符號如一、二、三等，數(shù)字符號如 0，1，2，3 等， 字母符號如 a、b、c 和 x、y、z等，幾何符號如點、線、面、體等，圖形符號如〇、☉、☆、□等。 還有許多規(guī)定的符號如“＞、＜、=、（ ）、[ ]”等。

數(shù)學家用的聲音符號，就是指對每一種文字、數(shù)字和幾何符號等，都規(guī)定一個對應的讀音（每個不同的民族或者國家， 對同一個符號的讀音都不一定相同）。或者反過來說，對生活中人們的讀音，都對應一個文字、數(shù)字或者幾何符號等去記錄。 比如“0”讀作“零”，“=”讀作等于；“☉”讀作圓。

有了這些符號我們就能傳播和記錄事物的大小、多少、形狀等數(shù)學信息了，就能像數(shù)學家那樣說話了。 例“三角形什么樣子的？ ”“三角形有 3 個角，3條邊，3 個頂點”。

所謂幾何直觀， 就是想到了用約定的幾何符號點、線、面、體等來傳播一些沒有形狀特點的事物或現(xiàn)象的本領(lǐng)。比如記錄天氣變化的天氣實況圖，記錄心臟律動的心電圖等，都不是真正意義上的有形事物，但是我們用上幾何元素表示，就能直觀地說明問題。如圖5，這些交通標志牌上的幾何圖形符號，簡單明白地給司機們提示了哪些能行走、哪些不能行走、要注意些什么的信息。你想，要是每個需要提示的地方派一個人或者一個大喇叭在那里 “哇啦哇啦” 地提示，那效果會是怎樣的呢？

圖5

這里的圖形符號表示的是一種交通運行現(xiàn)象或者行為狀態(tài)，而不是一個事物真實的形狀或者樣子。

如圖6 是一張汕頭市平均月氣溫和降水量統(tǒng)計圖。這里的溫度和降水量也是一個沒有形狀的事物，但是通過用這些點、線和直條表達出來，人們一下就能感受它們的存在，也能很容易地知道了它們的發(fā)展變化狀態(tài)，可以預測明年大致每個月的氣溫和降水量的情況了。

數(shù)學家說話，最重要的就是注意了以下四點：

一是客觀真實。 數(shù)學不允許像童話故事那樣瞎編。 比如，小明說：“超人奧特曼昨天給我200 元錢，今天早上買了2 個包子和1 碗稀飯，還剩193 元。 ”

圖6

二是科學準確。使用數(shù)學語言，不管是聲音符號還是文字、字母符號，都不能用錯了，因為用錯了別人就聽不懂或者看不懂了。 比如135，讀音記錄為一百三十五，不能寫成“一白山石午”。也不能用模棱兩可的語言或者符號。 比如“一頭牛重四百1000 克。 ”這里的“1000 克”和“1 千克”，看起來意義上好像區(qū)別不大，但是在計數(shù)規(guī)則上，就不一樣。 1000 克是以“1 克”為計量的標準單位，意思是 1000 個“1 克”；而1 千克是以“千克”為計量的標準單位，意思是1 個“1 千克”。 因此，應該寫成“一頭牛重 400 千克。 ”

三是簡單明了。數(shù)學家表達的特點是簡單。比如交通標志的第一和第二排，一看圖形就明白意思，就不需要加文字。 第三排比較復雜， 就加了簡單的文字。通常來講，如果一個詞語或者一個符號能說清楚的，就絕不使用兩個。

四是圖文并茂。表達比較復雜的事物，往往需要文字符號與圖片、圖形或者圖形符號一起使用，才方便說清楚意思。 比如上面圖5 的“禁行標識”和圖6的“氣溫和降水量統(tǒng)計圖”，既有文字說明，又有符號、圖形等。

三、學會數(shù)學地思考：有數(shù)學家的大腦和胸襟

我們想問題，在心理學上叫做思考，想的過程叫做思維。數(shù)學家想問題，有兩個關(guān)鍵，一個是情緒，一個是方式。也就是說，一要靜下心來，心平氣和，不偏不倚，實事求是，在社會學里面叫做中立，在數(shù)學上叫做理性精神。二要有思考的路徑，從哪里開始到哪里結(jié)束，用什么作參照，用什么做比較，他們都有相應辦法。 如果沒有這些東西作支撐，就可能胡思亂想，沒有結(jié)果。

《數(shù)學課程標準》（2011 版）提出了數(shù)學家想問題的兩個本領(lǐng)，即模型思想和推理能力。

所謂模型思想，就是想到了要建立若干個想問題的參照標準的本領(lǐng)。 這些參照標準既可以是生活中有的東西，也可以是我們大家約定俗成的一些東西。 像雷鋒叔叔，就是生活中的好人模型。 一說做好事了，大家馬上就想到和雷鋒叔叔比一比，看自己做的是不是雷鋒做的那些好事。

數(shù)學家塑造了許許多多這樣的標準化模型。 比如，數(shù)的模型與加法模型。 如表1 中的實物，我們發(fā)現(xiàn)蘋果、 蜜蜂和足球， 在生活中他們幾乎沒什么聯(lián)系。但是在表格中，數(shù)每一列事物個數(shù)的次數(shù)也就是頻率是一樣的。 因此， 我們先用點子表示數(shù)數(shù)的次數(shù)，有了數(shù)數(shù)的模型。 再給他一個讀音，有了“yī、èr、sān、sì”這樣的聲音模型，我們就可以說話了。以后數(shù)任何東西，凡是數(shù)“●”的，就說“yī”，數(shù)“●●”的，就說“èr”。 嘴上能說了，數(shù)學家又規(guī)定了寫數(shù)的符號化模型“一、二、三、四......”，再后來引進了國際上通用的阿拉伯數(shù)字符號“1，2，3，4……”進行書寫。

表1

如表2 中的點字圖，呈現(xiàn)了加法模型的基本形成過程，從若干個類似的黑白點子組合，抽象出兩部分合成一個整體的過程，再用語言和式子記錄這個過程。于是，整個一個從點子模型到式子模型的加法模型就形成了。

表2

后來，數(shù)學家還發(fā)現(xiàn)這個模型中的兩部分，無論先寫哪一部分，結(jié)果都是一樣的。 于是出現(xiàn)了A+B=B+A 以及7=1+6=2+5=3+4 的衍生模型。

類似的模型還很多種類，如圖7 中（1）是計數(shù)單位的模型；（2）計量單位的模型；（3）基本圖形的模型。有了這些基本的模型，我們就可以借助它們思考和研究更復雜的問題。

圖7

所謂推理能力，就是想到運用已知模型或者研究出的結(jié)論進行肯定與否定，從而得出新結(jié)論的本領(lǐng)。 這里涉及兩個詞語，概念和判斷。 利用概念對事物的某些特征進行肯定和否定，就是判斷。

西方人把推理過程叫做邏輯 （源自古典希臘語logos）。邏輯三要素是概念、判斷和推理。上面講了推理和判斷，現(xiàn)在說說概念。

概念就是數(shù)學家想問題時使用的參照標準，也就是基本模型。從前面的研究發(fā)現(xiàn)，有些模型是生活中的實物或者數(shù)學家根據(jù)事物共同的形狀特點約定的圖形元素，用起來很直觀、很形象；有些模型沒有實物或者事物的圖形元素做標準，只能靠語言、文字來進行說明的，比如“加法”“負數(shù)”“圓周率”等。 于是，邏輯學上把借助實物或圖形元素想問題的過程，叫做形象思維； 借助非實物或者圖形元素想問題的過程，叫做抽象思維。

邏輯學上還把推理分為歸納推理和演繹推理等幾種形式。 所謂歸納推理就是舉出許多實物或者基本模型的共同點進行綜合判斷，得出新結(jié)論的過程。

如圖8，看圖片，孩子們很容易發(fā)現(xiàn)這些昆蟲的共同點得出結(jié)論：“昆蟲都有6 只腳和1 對翅膀”。

圖8

一些同學還能馬上舉出蜜蜂、蟬、蝴蝶、金龜子、天牛子等等都是昆蟲的例子。也有同學會產(chǎn)生疑問：昆蟲不是都有1 對翅膀嗎？跳蚤的翅膀呢？最后查閱資料，才發(fā)現(xiàn)跳蚤的翅膀退化了，屬于變態(tài)昆蟲。 但跳蚤的腿腳很發(fā)達，于是才跳著走的。

這就屬于演繹推理了。所謂演繹推理，就是運用已知結(jié)論對需要作出判斷的事物或現(xiàn)象進行對比判斷得出新結(jié)論的過程。 因為，昆蟲都有一對翅膀，是先前的結(jié)論。既然跳蚤是昆蟲，那么跳蚤的翅膀在哪里？

按照形式邏輯的演繹推理三段論格式表達上述過程就是：

四、學會數(shù)學地運用：有數(shù)學家的雙手和雙腳

我們做事情，要用到我們的身體和學來的知識，這在心理學上就叫做運用。 前面講的都是數(shù)學家怎樣運用自己的眼睛、嘴巴、耳朵和大腦了解事物的信息和想問題。 其實，要像數(shù)學家那樣做事情，前面講的那些就是關(guān)鍵的組成要素。 如果你不會看， 不會說，不會想，就談不上會做。 即使你照著別人設(shè)計好的圖紙、想好的方案、擺好的模型模仿一輩子，你也很難有自己的思想和方法，做不出大的成績來。因此我們說“學會數(shù)學地做”就是要像數(shù)學家那樣，自己看，自己想，自己說，自己做。這就是《數(shù)學課程標準》（2011 版）上告訴的數(shù)學家做事情兩個關(guān)鍵本領(lǐng)，即創(chuàng)新意識和實踐能力。

所謂實踐能力就是包括照著別人的圖紙與方案模仿做事情和自己獨立做事情的本領(lǐng)。

所謂創(chuàng)新意識就是專指自己獨立看、 自己獨立說、自己獨立想、自己獨立做的本領(lǐng)了，而且特別強調(diào)你要看到別人沒有看到的，說出別人沒有說出的，想到別人沒有想到的，做出別人沒有做出的。

同時，《數(shù)學課程標準》（2011 版）還告訴了數(shù)學家做事情的一個專項本領(lǐng)，即運算能力。

很多人認為，現(xiàn)在有計算機了，這個本領(lǐng)沒啥用了。 其實，數(shù)學家具備的運算能力，不是把自己訓練成會計算題目的機器，而是具備一種態(tài)度和一種規(guī)則意識。即做任何事情都要一絲不茍和按規(guī)則辦事。就像計算數(shù)學題，不專心觀察、不認真書寫、注意力不集中就容易出錯； 不按運算法則去做就很難找到合適的答案。 比如“先乘除，后加減；先括號里，再括號外”是先輩或者大家共同總結(jié)出來的規(guī)則，你照著做就會很快得出答案。 但是，如果遇到特殊數(shù)據(jù)，你會嘗試按照一些規(guī)律和性質(zhì)改變一下運算順序，就會找到簡便的算法，更快更好地完成任務。如果再遇到更特殊的運算數(shù)據(jù)，完全靠自己去尋找更新、更獨特的思路和算法， 得出答案或結(jié)論， 你就是數(shù)學家了。 比如，成功發(fā)布“陳式定理”的陳景潤、成功創(chuàng)造“統(tǒng)籌優(yōu)選法”的華羅庚、成功解決“孿生素數(shù)界限問題”的張益唐等，就是這樣的數(shù)學家。

因此，我們學習數(shù)學家做事，那么長大后如果按照一定的規(guī)則辦事，就會很順利地完成任務。如果我們解決問題過程中還學會了自己看、 自己想、 自己說、自己做，練就了“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題”的本領(lǐng)，那你就是真正的“數(shù)學大人”。