劉平

摘要：CDO是目前國內(nèi)外非常關(guān)注的也是定價(jià)很復(fù)雜的一類信用衍生產(chǎn)品，其定價(jià)的關(guān)鍵就是違約概率和違約相關(guān)性的估計(jì)。文章在Merton擴(kuò)展模型的基礎(chǔ)上，采用蒙特卡洛方法，并結(jié)合copula函數(shù)來生成具有相關(guān)性的違約時(shí)間分布，然后計(jì)算出各個(gè)違約時(shí)點(diǎn)，進(jìn)而求出標(biāo)的資產(chǎn)組合的違約損失。在此基礎(chǔ)上分別計(jì)算收益面和損失面的期望值，最終對(duì)各種要素對(duì)CDO定價(jià)的影響進(jìn)行分析與比較。

關(guān)鍵詞：債務(wù)抵押債券；蒙特卡洛模擬；Merton擴(kuò)展模型；copula函數(shù)

中圖分類號(hào)：F83091文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：10085831（2014）03005506

債務(wù)抵押債券（CDO）的定價(jià)中主要包括回復(fù)率、相關(guān)系數(shù)、違約強(qiáng)度以及不同copula聯(lián)結(jié)函數(shù)等4種要素，不同要素對(duì)CDO定價(jià)的影響不同。雖然2007年美國金融危機(jī)后，由于CDO定價(jià)過于復(fù)雜受到業(yè)界和研究者的普遍批評(píng)，但近年來中國CDO產(chǎn)品發(fā)展迅猛，繼國開行、建設(shè)銀行之后，上海浦東發(fā)展銀行、工商銀行、興業(yè)銀行、民生銀行以及招商銀行都陸續(xù)發(fā)行了各自的CDO產(chǎn)品。因此如何開發(fā)適合國內(nèi)市場的CDO產(chǎn)品，研究各種要素對(duì)CDO定價(jià)的影響就具有緊迫性和重要的現(xiàn)實(shí)意義。

一、文獻(xiàn)綜述

CDO定價(jià)方法主要有結(jié)構(gòu)模型和約化模型。結(jié)構(gòu)模型主要有BET模型、copula模型和因子copula模型。由于本文采用copula模型，因此本文著重對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行梳理和綜述。

國外研究方面，Li [1]利用市場中CDS的已知價(jià)格來模擬違約時(shí)點(diǎn)，用 Gaussian copula 建立多元聯(lián)合損失分布。Li模型的主要貢獻(xiàn)在于用Gaussian copula將過去某一時(shí)期內(nèi)違約事件、相關(guān)性等離散變量的估算，擴(kuò)展到具有連續(xù)時(shí)間的相關(guān)性違約時(shí)點(diǎn)的度量。Frey 等[2]進(jìn)一步改進(jìn)了Li的模型，提出了studentt copula。這個(gè)模型是Gaussian copula的極值形式，能更好地解釋金融變量的肥尾特征。Schonbucher等[3]將違約相關(guān)性納入違約強(qiáng)度模型中，發(fā)展出一套最一般化的copula 函數(shù)分析及一致性的個(gè)別違約強(qiáng)度動(dòng)態(tài)模式。Rogge[4]延續(xù)了Schonbucher等的研究，發(fā)現(xiàn) Clayton copula 相較于市場上常使用的Gaussian copula 或 studentt copula ，可產(chǎn)生較為真實(shí)的信用價(jià)差變化過程。然而，這一模型的最大缺點(diǎn)是模擬過程復(fù)雜，不易執(zhí)行。Burtschell [5]等對(duì)不同的copula 函數(shù)在CDO 定價(jià)中的應(yīng)用作了總結(jié)性的比較分析，表明Student-t 和Clayton copula比Gaussian copula能更好地?cái)M合市場數(shù)據(jù)， 但Marshall-Olkin copula能進(jìn)一步提升模型的準(zhǔn)確性。Totouom[6-7]將動(dòng)態(tài)相關(guān)copula 模型運(yùn)用到CDO定價(jià)中，提出了動(dòng)態(tài)copula 模型。

國內(nèi)研究方面，朱世武[8]討論了如何利用copula 函數(shù)來進(jìn)行資產(chǎn)組合的違約相關(guān)性度量， 并進(jìn)一步探討了信用衍生品的定價(jià)以及資產(chǎn)組合的信用風(fēng)險(xiǎn)管理問題， 但其研究對(duì)象只針對(duì)2種資產(chǎn)的簡單組合，對(duì)于copula函數(shù)及其參數(shù)的選擇也不夠深入。馮謙等[9]等使用非參數(shù)方法從市場數(shù)據(jù)中推導(dǎo)出一個(gè)合理的copula函數(shù)，然后提出利用蒙特卡洛計(jì)算CDO分券合理價(jià)差的方法，但沒有具體的實(shí)證分析。袁子甲等[10]在因素模型中引入NIG分布，對(duì)正態(tài)因素模型進(jìn)行了3 種不同形式的推廣應(yīng)用， 并用數(shù)值模擬對(duì)模型進(jìn)行了分析， 但其模型推廣和數(shù)值模擬均可進(jìn)一步深入討論分析。穆放等[11]以KMV模型和copula函數(shù)分別對(duì)債務(wù)人的違約概率和違約相關(guān)性進(jìn)行估計(jì)，并計(jì)算在不同樣本和回收率下各投資層次的風(fēng)險(xiǎn)溢酬，利用國內(nèi)市場公開信息，對(duì)債務(wù)抵押債券定價(jià)進(jìn)行了實(shí)證研究，但該模型對(duì)樣本選擇有很高的依賴性。陳田等[12]對(duì)CDO定價(jià)模型進(jìn)行了綜述，并按照各種定價(jià)方法對(duì)國內(nèi)外研究做了很詳細(xì)的綜述。尹占華等[13]在測算CDO損失分布的二項(xiàng)式擴(kuò)展技術(shù)的基礎(chǔ)上，提出用蒙特卡洛方法對(duì)建設(shè)銀行120筆貸款模擬了損失分布并計(jì)算了VaR。楊瑞成等[14]討論了基于混合分布單因子模型的CDO定價(jià)問題，假設(shè)資產(chǎn)價(jià)值的市場共同因子和異質(zhì)因子均服從標(biāo)準(zhǔn)高斯和NIG的混合分布，且相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)相關(guān)系數(shù)，通過半解析法給出了CDO分券層的公允價(jià)格公式。

綜合國內(nèi)研究，在CDO定價(jià)中已經(jīng)取得了一定的成績。本文在前人的基礎(chǔ)上有兩點(diǎn)創(chuàng)新：一是詳細(xì)模擬了計(jì)算違約時(shí)間點(diǎn)的過程；二是對(duì)各種要素對(duì)CDO定價(jià)的影響進(jìn)行了詳細(xì)的模擬。

二、研究方法

第一步，根據(jù)選定的copula函數(shù)產(chǎn)生n個(gè)服從均勻分布的隨機(jī)變量U。

第二步，模擬違約時(shí)間點(diǎn)：（1）計(jì)算違約強(qiáng)度λ；（2）違約時(shí)間點(diǎn)。

在不同copula函數(shù)產(chǎn)生出隨機(jī)變量Ui的基礎(chǔ)上，由τi=-lnUi/λi求得違約時(shí)間點(diǎn)τi。

第三步，計(jì)算CDO相應(yīng)的收益面和損失面以及各個(gè)層級(jí)的溢價(jià)。

三、實(shí)證研究

（一）樣本選取和描述性統(tǒng)計(jì)

國家開發(fā)銀行2005、2006、2007年開發(fā)的3期債務(wù)抵押債券，都集中在電力、熱力、有色金屬及運(yùn)輸行業(yè)，并以電力行業(yè)為主，債務(wù)人所在的地區(qū)非常分散。本文選取了凱迪電力、魯陽股份、天富熱電、粵水電和云南銅業(yè)進(jìn)入基礎(chǔ)組合，涉及電力行業(yè)、熱力業(yè)、建材行業(yè)和有色金屬行業(yè)，其中以電力行業(yè)為主。5家公司地域跨度也比較廣，地區(qū)分散度相對(duì)較好。以2007年1月1日至2009年12月31日的日收益率為研究對(duì)象，計(jì)算公式為Rt=100lnPtPt-1。數(shù)據(jù)來源于http：//cn.finance.yahoo.com/glbmarkets。采用matlab7.1軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，對(duì)一個(gè)3年期5個(gè)層級(jí)的CDO組合進(jìn)行模擬，假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)收益率為2.25%。

（二）計(jì)算各copula函數(shù)的相關(guān)系數(shù)

（三）計(jì)算違約率和違約強(qiáng)度

（四）各要素對(duì)CDO定價(jià)的影響

1.回復(fù)率（R）對(duì)CDO定價(jià)的影響

2.相關(guān)系數(shù)對(duì)CDO定價(jià)影響

3.違約強(qiáng)度對(duì)CDO定價(jià)影響

4.不同copula函數(shù)對(duì)CDO定價(jià)的影響

5.實(shí)際情況比較

參考文獻(xiàn)：

[1] LI D.On default correlation： A copula approach[J].Journal of Fixed Income， 2000，9（4）：43-54.

[2]FREY R， McNEIL A. Dependent defaults in models of portfolio credit risk[J].Journal of Risk， 2003（6）： 59-92.

[3]SCHONBUCHER J， SCHUBERT D.Copuladependent default risk in intensity models[R].Working Paper， Department of Statistics， Bonn University，2003.

[4]ROGGE E， SCHONBUCHER J.Modeling dynamic portfolio credit risk[R].Working Paper，2003.

[5] BURTSCHELL X， GREGORY X J，LAURENT JP. A comparative analysis of CDO pricing models[R].Working Paper，BNP Paribas，2005.

[6]TOTOUOM T D，ARMSTRONG M.Dynamic copula processes：A new way of modeling CDO tranches[R].Working Paper， 2005.

[7] TOTOUOM T D，ARMSTRONG M.Dynamic copula and forward starting credit derivatives[R].Working Paper， 2007.

[8]朱世武.基于Copula 函數(shù)度量違約相關(guān)性[J].統(tǒng)計(jì)研究，2005（4）：61-64.

[9]馮謙， 楊朝軍.擔(dān)保債權(quán)憑證定價(jià)——Copula函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)與應(yīng)用[J].運(yùn)籌與管理，2006，15（5）：104-107.

[10]袁子甲， 李仲飛.基于因子模型的CDO 定價(jià)研究：正態(tài)單因子模型的三種推廣[EB/OL].[2011-10-20]http：//www. ccfr. org. cn/cicff2007/ download， 2007.

[11]穆放， 宋潔， 陳治津.債務(wù)抵押債券定價(jià)模型探討及實(shí)施研究[J].經(jīng)濟(jì)縱橫，2007（10）：10-13.

[12]陳田， 秦學(xué)志.債務(wù)抵押債券（CDO）定價(jià)模型研究綜述[J].管理學(xué)報(bào)，2008，7（5）：616-624.

[13]尹占華，徐昕，高春梅.基于蒙特卡洛模擬的CDO損失分布測算研究及實(shí)證分析[J].統(tǒng)計(jì)信息與論壇，2008， 9（23）：13-16.

[14]楊瑞成，秦學(xué)志，陳田.基于混合分布單因子模型的CDO定價(jià)問題[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2009（6）：1082-1090.

（二）計(jì)算各copula函數(shù)的相關(guān)系數(shù)

（三）計(jì)算違約率和違約強(qiáng)度

（四）各要素對(duì)CDO定價(jià)的影響

1.回復(fù)率（R）對(duì)CDO定價(jià)的影響

2.相關(guān)系數(shù)對(duì)CDO定價(jià)影響

3.違約強(qiáng)度對(duì)CDO定價(jià)影響

4.不同copula函數(shù)對(duì)CDO定價(jià)的影響

5.實(shí)際情況比較

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[2]FREY R， McNEIL A. Dependent defaults in models of portfolio credit risk[J].Journal of Risk， 2003（6）： 59-92.

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（二）計(jì)算各copula函數(shù)的相關(guān)系數(shù)

（三）計(jì)算違約率和違約強(qiáng)度

（四）各要素對(duì)CDO定價(jià)的影響

1.回復(fù)率（R）對(duì)CDO定價(jià)的影響

2.相關(guān)系數(shù)對(duì)CDO定價(jià)影響

3.違約強(qiáng)度對(duì)CDO定價(jià)影響

4.不同copula函數(shù)對(duì)CDO定價(jià)的影響

5.實(shí)際情況比較

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[14]楊瑞成，秦學(xué)志，陳田.基于混合分布單因子模型的CDO定價(jià)問題[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2009（6）：1082-1090.