朱泓霖，王興平

（海軍航空工程學(xué)院a.研究生管理大隊；b.基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

一類非線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋輸出跟蹤研究

朱泓霖a，王興平b

（海軍航空工程學(xué)院a.研究生管理大隊；b.基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

研究一類非線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋輸出跟蹤控制問題。對于給定的光滑有界的參考信號，利用反步方法設(shè)計系統(tǒng)的跟蹤控制器，使從任意初值出發(fā)的系統(tǒng)的輸出都漸近于給定的參考信號，同時系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)保持有界。仿真實例驗證了研究結(jié)論的可行性。

非線性系統(tǒng)；輸出跟蹤；狀態(tài)反饋；反步方法

通過反饋控制器使得受控系統(tǒng)的輸出漸近逼近給定的參考信號是控制工程中一個重要問題。這類問題在航天器的軌跡控制[1-2]、船舶航行控制[3-5]、水下機器人控制[6]等諸多領(lǐng)域有著廣泛地應(yīng)用，一直是控制理論研究的重點。

近年來，線性系統(tǒng)的輸出跟蹤問題得到了充分研究，并取得了系統(tǒng)的成果[7]。隨著非線性系統(tǒng)控制理論的發(fā)展，非線性系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問題研究也產(chǎn)生了一系列的學(xué)術(shù)研究成果。文獻[8]利用非線性系統(tǒng)的幾何理論研究了一類具有最小相位非線性系統(tǒng)的跟蹤問題。文獻[9]討論了一類下三角形式非線性系統(tǒng)的全局輸出反饋跟蹤問題，通過提出一種新的動態(tài)增益縮放技術(shù)給出了輸出反饋控制器的設(shè)計方法。文獻[10]討論了一類不滿足線性增長條件的不確定非線性系統(tǒng)的輸出反饋跟蹤問題，并基于變結(jié)構(gòu)觀測器用反步方法，設(shè)計了輸出反饋控制器。同時，實用跟蹤控制問題備受關(guān)注，它要求設(shè)計控制器使得系統(tǒng)輸出與給定參考信號的漸近誤差小于給定的數(shù)，文獻[11-12]研究了非線性系統(tǒng)的輸出反饋實用跟蹤問題。

1 問題描述

本文研究一類下三角結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋輸出跟蹤控制問題。與文獻中的方法不同的是，根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點，本文構(gòu)造了在系統(tǒng)輸出跟蹤參考信號時系統(tǒng)狀態(tài)的漸近軌跡，由此將系統(tǒng)的跟蹤問題變成一個系統(tǒng)向漸近軌跡的鎮(zhèn)定問題，并采用反步設(shè)計方法設(shè)計出輸出跟蹤控制器，使得這一方法的實現(xiàn)較為簡單。

考慮如下形式的非線性系統(tǒng)：

式（1）中：xi∈?(i=1,2,…,n)是系統(tǒng)狀態(tài)；u∈?是控制輸入；y=x1是系統(tǒng)輸出；fi(i=1,2,…,n)均是光滑函數(shù)。

本文研究的問題為：對給定的有界參考信號yr(t),t≥0，其各階導(dǎo)數(shù)也有界，設(shè)計如下形式的狀態(tài)反饋輸出跟蹤控制器：

使得從任意初值出發(fā)的閉環(huán)系統(tǒng)（1）、（2）的輸出y(t)滿足lti→m∞(y(t)-yr(t))=0，同時系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)是有界的。

2 跟蹤控制器的設(shè)計

對給定的參考信號yr(t)，若系統(tǒng)（1）在某一控制下從某一初值出發(fā)的系統(tǒng)輸出恰好是x1(t)≡yr(t)，由系統(tǒng)方程，則能夠推出系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)為：

如系統(tǒng)輸出y=x1是漸近趨于參考信號p1(t)的，則對于系統(tǒng)狀態(tài)xi(t)應(yīng)有xi(t)-pi(t)→0(t→∞)。即能夠?qū)崿F(xiàn)輸出跟蹤的跟蹤控制器也可以實現(xiàn)xi(t)-pi(t)→0。反之，實現(xiàn)xi(t)-pi(t)→0的控制器也是實現(xiàn)輸出跟蹤的跟蹤控制器。基于這一分析，可以把輸出跟蹤控制問題與一個關(guān)于xi(t)-pi(t)的鎮(zhèn)定問題聯(lián)系一起。

首先，建立關(guān)于xi-pi的動態(tài)方程，令對1≤i〈n，計算

對i=n，計算

得到關(guān)于xi-pi的動態(tài)方程

可以把系統(tǒng)寫成簡單形式：

系統(tǒng)（1）的輸出對參考信號的跟蹤問題就變成系統(tǒng)（6）的鎮(zhèn)定問題。

然后，利用反步方法設(shè)計系統(tǒng)的控制器v實現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。

反步設(shè)計方法是針對非線性系統(tǒng)的一種系統(tǒng)化的控制器設(shè)計方法，它將Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造與控制器的設(shè)計結(jié)合一起，解決了以往非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性中Lyapunov函數(shù)的存在性問題。它通過從系統(tǒng)的最低階次微分方程開始，引入虛擬輸入的概念，一步步構(gòu)造Lyapunov函數(shù)并進行虛擬輸入的設(shè)計，最終設(shè)計出真正的控制律。

反步設(shè)計方法是一種遞歸設(shè)計方法，具有系統(tǒng)化、程序化的特點。

下面用反步設(shè)計方法，遞歸構(gòu)造實現(xiàn)系統(tǒng)（6）鎮(zhèn)定的狀態(tài)反饋控制器v。

第1步：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

對其求導(dǎo)得

選取虛擬輸入u1，則

當x^2取做虛擬控制u1時，可以使得式（8）是負定的，從而實現(xiàn)了對x^1的控制。

第k步：考慮系統(tǒng)

假設(shè)存在光滑函數(shù)

滿足

并且，

式中，

第k+1步：現(xiàn)在考慮系統(tǒng)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

計算Vk+1的導(dǎo)數(shù)V˙k+1，由歸納步驟假設(shè)得

根據(jù)鏈法則可以得到

再由式（12）可以得到

又因為全部gi在原點的值是0，并且利用式（18）得到

于是式（17）可以整理成如下形式：

根據(jù)αk+1的表達式，并考慮它是光滑的，根據(jù)式（14）、（19）可以得到αk+1() t,0,…,0=0。

按照歸納步驟進行到n步時，可以得到控制器

將上面推導(dǎo)敘述成如下結(jié)論。

定理：對于非線性系統(tǒng)

可經(jīng)遞歸步驟設(shè)計反饋輸出跟蹤控制器

可以使得閉環(huán)系統(tǒng)（23）、（24）的輸出y(t)都漸近趨于給定的參考信號yr(t)，即

3 仿真及實例

考慮一個二階系統(tǒng)

可由反步方法確定計算出：

圖1 系統(tǒng)輸出y(t)對參考信號yr(t)的跟蹤Fig.1 Tracking of system out put signal y(t) to the reference signal yr(t)

4 結(jié)語

本文研究一類非線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋輸出跟蹤控制問題。首先，建立了系統(tǒng)狀態(tài)在實現(xiàn)輸出跟蹤時的漸近軌跡，進而建立了可以描述系統(tǒng)狀態(tài)和漸近軌跡偏差的動態(tài)方程，最終將輸出跟蹤問題轉(zhuǎn)化為對偏差系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題；其次，利用遞歸的反步設(shè)計方法給出了偏差系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制器，這一控制器解決了系統(tǒng)的狀態(tài)反饋輸出跟蹤控制問題；最后，給出了一個仿真實例，仿真結(jié)果表明設(shè)計的跟蹤控制器是可行的。

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Research on State Feedback Tracking of the Nonlinear Systems

ZHU Hong-lina,WANG Xing-pingb
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Graduate students'Brigade;

The problem of state feedback tracking control of a class of nonlinear systems was studied.For a given bounded smooth reference signal,the tracking controller was presented by backstepping method.The controller made the outputs of the controlled systems asymptotically approach the given signal and all internal states keep bounded.Finally,a numeric simulation illustrated the effectiveness of the method.

nonlinear system;output tracking;state feedback;backstepping approach

TP273.4

A

1673-1522（2014）04-0311-04

10.7682/j.issn.1673-1522.2014.04.003

2014-03-28；

2014-04-23

朱泓霖（1989-），男，碩士生。