左惟涵，陳趙江，方健文，劉世清

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，金華321004)

引 言

隨著微電子產(chǎn)業(yè)的高速發(fā)展，半導(dǎo)體材料作為電子產(chǎn)業(yè)重要的材料之一，其光熱效應(yīng)研究越來(lái)越受到重視，這需要發(fā)展高靈敏、高空間分辨率和快速簡(jiǎn)單的測(cè)量技術(shù)來(lái)檢測(cè)半導(dǎo)體材料的特性。光聲光熱技術(shù)是一種基于光聲光熱效應(yīng)建立起來(lái)的靈敏度高和有較高空間分辨率的非接觸無(wú)損檢測(cè)技術(shù)，目前已廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)和材料等領(lǐng)域［1-4］，特別是半導(dǎo)體材料和器件一直是光聲光熱檢測(cè)技術(shù)的重要應(yīng)用對(duì)象［5-7］。近些年來(lái)，ZHAO等人［8］提出了一種新的激光光熱技術(shù)——階躍光激勵(lì)的光熱技術(shù)。相比傳統(tǒng)技術(shù)，該技術(shù)實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)單、測(cè)量快捷，因而越來(lái)越得到人們的關(guān)注。目前，階躍光激勵(lì)光熱技術(shù)大多局限于普通固體材料的熱學(xué)參量測(cè)量和表征，在半導(dǎo)體材料中的應(yīng)用尚在起步階段。ZHANG等人［9］基于本征函數(shù)法給出了階躍光激勵(lì)下材料溫度分布的3維理論，但僅局限于一般固體材料;YE等人［10］求解分析了半導(dǎo)體材料中的1維溫度分布，但是模型中沒(méi)有考慮載流子表面復(fù)合速率的影響，且1維模型不能很好地和實(shí)驗(yàn)條件相符合。此外，以往關(guān)于階躍光激勵(lì)光熱技術(shù)的理論研究均局限于溫度瞬態(tài)分布的上升沿部分，對(duì)下降沿的情況沒(méi)有進(jìn)行討論。

本文中根據(jù)半導(dǎo)體的光電效應(yīng)和熱傳導(dǎo)規(guī)律建立了矩形激光脈沖輻照下半導(dǎo)體材料的3維理論模型，明確地給出了等離子體波和溫度分布隨時(shí)間變化的具體解析形式。通過(guò)數(shù)值模擬研究了矩形激光脈沖輻照下半導(dǎo)體內(nèi)光生載流子濃度和溫度的變化規(guī)律，對(duì)不同半導(dǎo)體參量如光生載流子復(fù)合速度、光生載流子壽命以及擴(kuò)散速率等對(duì)變化規(guī)律的影響進(jìn)行了分析。其次，討論了矩形激光脈沖激勵(lì)下半導(dǎo)體材料溫度沿徑向的擴(kuò)散規(guī)律。此外，利用多參量擬合靈敏度以及相關(guān)性分析對(duì)利用階躍響應(yīng)脈沖信號(hào)表征半導(dǎo)體參量的可行性進(jìn)行了闡述。

1 理論模型

當(dāng)一束矩形激光脈沖垂直入射半導(dǎo)體樣品表面時(shí)，如果入射光子的能量(E=hν，其中h為普朗克常數(shù)，ν為輻射電磁波頻率)大于半導(dǎo)體的禁帶寬度(即能隙Eg)，則在半導(dǎo)體體內(nèi)將激發(fā)電子-空穴對(duì)，即光生載流子。然后在大約10-12s的弛豫時(shí)間內(nèi)，載流子的過(guò)剩能量(hν-Eg)通過(guò)與晶格的碰撞將傳遞給晶格而轉(zhuǎn)化為熱能，使晶格溫度上升。由于濃度梯度的存在，光生載流子將產(chǎn)生擴(kuò)散，形成等離子體波。與此同時(shí)，伴隨著電子-空穴的復(fù)合過(guò)程，其復(fù)合時(shí)間(即光聲載流子的壽命τ)約為10-3s～10-9s。隨著激發(fā)態(tài)的光生電子與空穴復(fù)合，其能量將傳遞給晶格，相當(dāng)于對(duì)晶格形成又一次加熱過(guò)程，使半導(dǎo)體溫度場(chǎng)發(fā)生變化，形成熱波。本文中采用的理論模型如圖1所示，在模型中忽略空氣介質(zhì)的影響。

Fig.1 Theoreticalmodel of semiconductormaterials irradiated with rectangular laser pulse

在激光脈沖輻照下半導(dǎo)體內(nèi)的瞬態(tài)光生載流子濃度分布 n(r，z，t)和樣品中溫度分布 Ts(r，z，t)滿足如下擴(kuò)散方程［11］:

式中，De是光生載流子的擴(kuò)散率，τ是光生載流子的壽命，Dt，s為樣品的熱擴(kuò)散率，r是樣品表面徑向距離，z是樣品的縱向深度，光生載流子的產(chǎn)生速率Qe(r，z，t)和熱源項(xiàng) Qt( r，z，t)分別表示為:

式中，η是量子效率系數(shù)，β是光吸收系數(shù)，P0是入射光功率，a是樣品表面入射光斑半徑，r是柱坐標(biāo)徑向分量，ks為樣品的熱導(dǎo)率，f(t)為矩形脈沖函數(shù)，可表示為:

式中，tp是矩形激光脈沖寬度。(1)式滿足如下邊界條件:

和

式中，Sf和Sr分別為樣品前表面和后表面的光生載流子復(fù)合速率，L為樣品厚度。

對(duì)(1)式分別作Hankel變換，并用z方向的本征函數(shù)法［12］展開:

式中，本征函數(shù)φk(z)和φk(z)的具體推導(dǎo)過(guò)程和表達(dá)式可見參考文獻(xiàn)［12］，δ是r經(jīng)漢克爾變換后的對(duì)應(yīng)的新變量，J0(δr)為漢克爾變換對(duì)應(yīng)的零階貝塞爾函數(shù)，T1(δ，t)φk(z)為對(duì)邊界條件(7)式齊次化后求得的溫度場(chǎng)，T2(δ，z，t)為對(duì)邊界條件(5)式進(jìn)行齊次化處理所得的附加項(xiàng):

將(8)式代入(1)式進(jìn)行Laplace變換，并應(yīng)用卷積定理，然后將f(t)的表達(dá)式代入，整理可得:

式中，tp表示階躍時(shí)間λk是對(duì)應(yīng) φk(z)的本征值。將(11)式代入(8)式即可得瞬態(tài)光生載流子濃度分布n(r，z，t)。

同理，經(jīng)整理后T1(δ，t)φk(z)可以寫成如下形式:

式中，將nk(δ，t)中的時(shí)間t和求和項(xiàng)k分別用積分變換和 j表示，得到 nj(δ，ξ)，nj'(δ，ξ)表示的是nj(δ，ξ)對(duì)時(shí)間 t的1 階偏導(dǎo)數(shù)。Qt(δ，λk)=G(δ) ×將(12)式和(10)式代入(9)式，即可得半導(dǎo)體中溫度場(chǎng)的瞬態(tài)分布。

2 結(jié)果與討論

根據(jù)理論模型對(duì)其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，所使用的參量如下:半導(dǎo)體材料厚度L=0.5mm，熱導(dǎo)率ks=142W·m-1·K-1，熱擴(kuò)散率 Dt，s=8.42 ×10-5m2/s，光吸收系數(shù)β=2.4×106m-1，禁帶寬度Eg=1.79×10-19J，激光功率P0=1W，光斑半徑a=1mm，入射光子能量 hν=3.97×10-19J。

圖2為不同載流子參量情況下根據(jù)上述理論模型計(jì)算得到的矩形激光脈沖輻照下光生載流子濃度n(r，z，t)隨時(shí)間t的變化規(guī)律。從圖2a中可以看出，隨著載流子上表面復(fù)合速率Sf的增加，曲線上升越快，光生載流子濃度達(dá)到平衡時(shí)所用的時(shí)間越短，但其幅值卻越小;其下降速率也越來(lái)越快。從圖2b中可看出，隨著載流子壽命τ的增加，曲線上升得越慢，光生載流子濃度達(dá)到平衡時(shí)所用時(shí)間越長(zhǎng)，其幅值也隨之變大;其下降的速率也越慢。從圖2c中可以看出，隨著載流子擴(kuò)散速率De的增大，其下降速率也越快。光生載流子濃度達(dá)到平衡時(shí)所用的時(shí)間越短，但是幅值卻越小，從(11)式可以看到時(shí)間項(xiàng)只和指數(shù)項(xiàng)有關(guān)，此項(xiàng)中的衰減系數(shù)λ2，kδ決定了曲線變化的快慢。而衰減系數(shù)的大小是由載流子上(下)表面復(fù)合速率Sf(Sr)、載流子壽命τ以及載流子擴(kuò)散速率De共同決定的，這些參量是造成了載流子濃度上升和下降快慢的主要因素。

圖3是根據(jù)模型計(jì)算得到的不同載流子參量情況下，樣品表面中心溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律，從圖3a中可以看出，隨著載流子上表面復(fù)合速率Sf的增加，溫度幅值越大;從圖3b中可以看出，隨著載流子壽命τ的增加，溫度幅值隨之變小;從圖3c中可以看出，隨著載流子擴(kuò)散速率De的增大，溫度的幅值也隨之變大;從圖3d中可以看出，隨著熱擴(kuò)散速率Dt，s的增大，幅值雖無(wú)變化，但達(dá)到平衡時(shí)所用的時(shí)間縮短。這是因?yàn)椴牧系臒釘U(kuò)散率越大，熱量在材料中的傳遞速度也就越快，那么樣品達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需要的時(shí)間就越短。從(12)式中的指數(shù)項(xiàng)可以看出，熱擴(kuò)散系數(shù)的大小對(duì)溫度曲線變化快慢有非常重要的影響。對(duì)比圖2和圖3，由于半導(dǎo)體樣品的熱擴(kuò)散系數(shù)Dt，s=8.42×10-5m2/s比載流子擴(kuò)散速率De=1.5×10-3m2/s小很多，因此圖3中的曲線達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間與圖2相比更長(zhǎng)。此外，從圖3可知，不同參量條件下溫度上升曲線比溫度下降曲線的差異更為明顯，其原因可能與熱波的擴(kuò)散過(guò)程有關(guān)。

Fig.2 Time evolutions of photo-generated carriers density at the surface center for differentmaterial parameters a—different surface recombination rates Sf b—different photogenerated carriers lifetimesτ c—different photo-generated carriers diffusivity De

此外，作者對(duì)樣品表面溫度隨徑向距離的分布情況也進(jìn)行了計(jì)算。從圖4a可知，隨著激勵(lì)光光斑半徑的增大，靠近加熱光束中心位置的溫度快速衰減而溫升在徑向的分布范圍增大。這是因?yàn)榧?lì)光功率不變而光斑變大，光能量密度減少的緣故。因此，在光熱檢測(cè)時(shí)需激光光斑半徑較小以在加熱光束中心位置得到較為明顯的溫升。此時(shí)，為了能夠準(zhǔn)確地表征光斑中心及其周圍溫度場(chǎng)必須要使用3維模型。從圖4b可以看出，隨著光照時(shí)間的增加樣品溫度快速上升，與此同時(shí)樣品表面的溫度隨徑向距離快速擴(kuò)散。根據(jù)這個(gè)特性，可以用矩形激光脈沖輻照的光熱技術(shù)獲得樣品表面的光學(xué)和熱學(xué)信息。

Fig.3 Time evolutions of temperature variation at the surface center a—different surface recombination rates Sf b—different photo-generated carriers lifetimesτ c—different photo-generated carriers diffusivity De d—different thermal diffusivity Dt，s

在利用階躍光激勵(lì)光熱技術(shù)表征半導(dǎo)體材料參量時(shí)主要是采用基于最小二乘法原理的多參量擬合方法，即利用光熱信號(hào)模型對(duì)階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行擬合使其誤差平方和函數(shù)最小，從而來(lái)確定待測(cè)的半導(dǎo)體材料參量［13］。在多參量擬合時(shí)，需考慮所用數(shù)學(xué)模型中待求參量對(duì)信號(hào)的靈敏度以及各參量間的相關(guān)程度。當(dāng)待求參量靈敏度很小或待求參量之間存在線性依賴時(shí)，擬合時(shí)很難得到收斂和穩(wěn)定的解。從圖2和圖3可知，表面復(fù)合速率Sf、載流子壽命τ和載流子擴(kuò)散率De參量變化時(shí)，其等離子體波和熱波階躍響應(yīng)曲線具有類似的特征。因此，能否利用階躍響應(yīng)曲線同時(shí)確定上述3個(gè)未知半導(dǎo)體參量需進(jìn)一步研究。利用參考文獻(xiàn)［14］中給出的方法對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了分析，并在圖5中給出了一個(gè)典型的數(shù)值模擬結(jié)果。圖5中3條曲線分別代表上述3個(gè)參量對(duì)等離子體波階躍響應(yīng)信號(hào)的靈敏度。從圖可知，不同參量對(duì)階躍響應(yīng)信號(hào)的靈敏度存在差異，靈敏度系數(shù)越高，對(duì)應(yīng)參量的擬合精度越好。對(duì)于圖5中設(shè)定的參量值，表面復(fù)合速率Sf容易精確擬合得到。此外，從圖中也可發(fā)現(xiàn)不同參量靈敏度系數(shù)的相關(guān)性不同，相關(guān)性系數(shù)越大，則同時(shí)擬合得到這兩個(gè)參量越困難。在圖5中Sf和τ的參量靈敏度相關(guān)性高達(dá)0.89，因此這兩個(gè)參量組合［Sf，τ］難以同時(shí)擬合得到。而其它兩種未知參量組合［Sf，De］和［τ，De］的靈敏度相關(guān)性分別為 0.68 和0.51，因此是可以通過(guò)參量擬合的方法同時(shí)確定的。

Fig.4 Temperature distribution at the sample surface along radial distance a—different spot radius a b—different time t

3 結(jié)論

建立了矩形激光脈沖激勵(lì)下半導(dǎo)體材料溫度分布的3維理論模型，采用本征函數(shù)展開法求得了半導(dǎo)體中光生載流子濃度和溫度分布解析表達(dá)式。通過(guò)數(shù)值模擬分析了不同參量條件下半導(dǎo)體內(nèi)光生載流子濃度和溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律。結(jié)果表明，矩形脈沖激光激勵(lì)下光生載流子表面復(fù)合速率、光生載流子壽命和載流子擴(kuò)散系數(shù)對(duì)半導(dǎo)體材料的溫升的階躍響應(yīng)曲線具有重要影響。同時(shí)，由于半導(dǎo)體的熱擴(kuò)散率與載流子擴(kuò)散率相比較小，溫度場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)定所需要的時(shí)間比光生載流子濃度達(dá)到穩(wěn)定所需要的時(shí)間長(zhǎng)，因此，通過(guò)測(cè)量溫升曲線的變化更容易對(duì)半導(dǎo)體材料參量進(jìn)行表征。此外，脈沖激光的光斑半徑與輻照時(shí)間的不同對(duì)溫度場(chǎng)時(shí)間與空間的分布也會(huì)產(chǎn)生不同的影響。上述結(jié)果表明，利用矩形激光脈沖輻照的光熱技術(shù)可以對(duì)半導(dǎo)體材料特性進(jìn)行表征。

Fig.5 Sensitivity coefficients of step response signal of plasma wave for surface recombination rates Sf，photo-generated carriers lifetimes τand photo-generated carriers diffusivity De(among them Sf=40m/s，τ=10-5 s，De=1.5 ×10-3 m2/s，other parameters are the same as above)

［1］ZHOU J，MA Zh H，PANG X R，et al.Research on transient state temperature field of the surface ofmetalmaterial under pulsed laser radiation ［J］.Applied Laser，2010，30(1):1-5(in Chinese).

［2］LIQ Sh，LUOH，HU YM，etal.Analysisof characteristics ofacoustic waves induced by triangular laser pulses［J］.Laser Technology，2010，34(3):409-412(in Chinese).

［3］PEI X，WU JH.Numerical simulation of transient temperature field onmetalmaterial induced by pulse laser irradiation［J］.Laser Technology，2012，36(6):828-832(in Chinese).

［4］WANG H E，SHEN R Q，YE Y H，et al.Effect of reagent ratio of graphite to potassium nitrate on reactive photoacoustic characteristics［J］.Laser Technology，2013，37(2):274-276(in Chinese).

［5］ZENG H L，ZHANG X R，GAPCh M，et al.Application on laser-induced photothermal technique to semiconductor property measurement［J］.Optoelectronic Technology，2009，29(3):211-215(in Chinese).

［6］IKARI T，SALNICK A，MANDELIS A.Theoretical and experi-mental aspects of three-dimensional infrared photothermal radiometry of semiconductors［J］.Journal of Applied Physics，1999，85(10):7392-7397.

［7］WARRIER A R，DEEPA K G，SEBASTIAN T，et al.Non-destructive evaluation of carrier transport properties in Cu InS2and CuInSe2thin films using photothermal deflection technique［J］.Thin Solid Films，2010，518(7):1767-1773.

［8］ZHAO JH，ZHOU JQ，SHEN J.Thermophysical propertymeasurements using time-resolved photothermal deflection spectrometry with step optical excitation［J］.Applied Physics Letters，2004，84(26):5332-5334.

［9］ZHANG X L，CHEN Zh J，SU X Q，et al.Three-dimensional theory of temperature distribution for solid materialswith step optical excitation［J］.Applied Laser，2011，30(5):433-438(in Chinese).

［10］YEM Q，CHEN Zh J，F(xiàn)ANG JW，etal.Temperature variation of semiconductors with step optical excitation ［J］.Journal of Zhejiang Normal University(Natural Science Edition)，2011，34(3):286-291(in Chinese).

［11］BOCCARA A C，F(xiàn)OURNIER D，MANDELIS A.Photoacoustic and thermalwave phenomena in semiconductors［M］.New York，USA:Elsevier，1987:290-310.

［12］CHENG JCh，ZHANG Sh Y.Theoretical studies of pulsed photothermal phenomena in semiconductors［J］.Journal of Applied Physics，1993，74(9):5718.

［13］MANDELIS A.Laser infrared photothermal radiometry of semiconductors:principles and applications to solid state electronics［J］.Solid-State Electronics，1997，42(1):1-15.

［14］CHEN Zh J，F(xiàn)ANG JW，WANG Zh H.Thermal characterization of film-on-substrate systems by laser photothermal reflectance technique［J］.Chinese Journal of Lasers，2006，33(3):385-390(in Chinese).