辛春元

（遼寧對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院，遼寧大連 116052）

1 引 言

隨著數(shù)學(xué)軟件的出現(xiàn)和不斷發(fā)展完善，為高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革帶來(lái)契機(jī).傳統(tǒng)的教學(xué)方式已經(jīng)不能適應(yīng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的需要[1].以計(jì)算機(jī)為載體，將數(shù)學(xué)軟件融入到高等數(shù)學(xué)課程中去，它為教師和學(xué)生提供了一個(gè)“活”的教與學(xué)的平臺(tái)[2]，這種現(xiàn)代化的教學(xué)手段，不但增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，符合時(shí)代發(fā)展的要求.

重積分是微積分的一個(gè)重要內(nèi)容.在傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，由于這部分內(nèi)容綜合性比較強(qiáng)，所以，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)感到很吃力.在Mathematica平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)，可以很好地解決這一問(wèn)題.Mathematica是美國(guó)Wolfram Research公司開發(fā)的一個(gè)功能強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)[3]，它不但能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，而且有很強(qiáng)的繪圖功能，在“教”與“學(xué)”中發(fā)揮著重要的作用.本文通過(guò)實(shí)例來(lái)研究Mathematica平臺(tái)上重積分的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).

2 Mathematica平臺(tái)上重積分的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

實(shí)例1 二重積分定義的實(shí)驗(yàn)演示.

解 在Mathematica平臺(tái)上輸入下面語(yǔ)句[4]：

ff[x,y_ ]:=1-1/4*(x^2+y^2);a=-1;b=1;c=-1;d=1;

step={0.5,1/3,0.2,0.1,0.05,0.025};

For[k=1,k<7,k++,step1=step[[k]];step2=step[[k]];m=(b-a)/step1;n=(d-c)/step2;gg={ };

txyz=Flatten[Table[{x,y,ff[x,y]}//N,{x,a,b,step1},{y,c,d,step2}],1];

For[j=1,j<=n,j++,ss=(j-1)*m;

For[i=1,i<=m,i++,ffz=(txyz[[i+j-1+ss,3]]+txyz[[i+j+ss,3]]+txyz[[i+j+m+ss,3]]+txyz[[i+j+m+1+ss,3]])/4;

pp1={txyz[[i+j-1+ss,1]],txyz[[i+j-1+ss,2]],0};

pp2={txyz[[i+m+j+1+ss,1]],txyz[[i+m+j+1+ss,2]],ffz};

gg=Append[gg,Graphics3D[Cuboid[pp1,pp2]]]]];a1=Graphics3D[{Text["x",{1.1,-1.2,0.15}],Text["y",{-1.2,1.1,0.15}],Text["z",{-1,-0.9,1}]}];

Show[{gg,a1},Boxed->True,BoxStyle->Thickness[0.0 01]},Axes->True,ViewCenter->{0.5,0.5,0.5},AxesEdg e->{{-1,-1},{-1,-1},{-1,-1}},AxesStyle->{Thickness[0.008],RGBColor[0,1,1]},Ticks->None,AspectRatio->1,PlotRange->{{-1.2,1.2},{-1.2,1.2},{0,1}},ImageSi ze->{640,480},

ViewPoint->{4,3,2},

TextStyle->{FontSlant->"Italic",FontFamily->"Tim es",FontSize->40},DisplayFunction->$DisplayFunctio n]];

執(zhí)行命令后，則輸出6幀圖片（見圖1）.雙擊6幀圖片中的任意一個(gè)，都可以動(dòng)起來(lái).通過(guò)該動(dòng)畫演示過(guò)程，可以生動(dòng)形象地展示利用用平頂柱體分割曲頂柱體的動(dòng)態(tài)過(guò)程，更直觀地理解二重積分定義中分割、求和、取極限的思想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

圖1

解 在Mathematica平臺(tái)輸入下面語(yǔ)句：

Clear[f,g];

f[x,y_]=1-x-y;

g[x,y_]=2-x^2-y^2;

Plot3D[f[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}]

Plot3D[g[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}]

Show[%,%%]

執(zhí)行命令后，一共輸出三個(gè)圖形（見圖2.1）.

圖2.1

觀察圖2.13Ω的圖形，為了確定積分上下限，把兩曲面的交線投影到Oxy平面上，Mathematica平臺(tái)繼續(xù)輸入下面語(yǔ)句：

jx=Solve[f[x,y]==g[x,y],y]

執(zhí)行命令后，則輸出

為了取出這兩條曲線方程，在Mathematica平臺(tái)繼續(xù)輸入下面語(yǔ)句：

執(zhí)行命令后，則輸出

再輸入下面語(yǔ)句：

tu1=Plot[y1,{x,-2,3},PlotStyle->{Dashing

[{0.02}]},DisplayFunction->Identity];

tu2=Plot[y2,{x,-2,3},DisplayFunction->Identity];

Show[tu1,tu2,AspectRatio->1,DisplayFunction->

$DisplayFunction]

執(zhí)行命令后，輸出為圖2.2.觀察圖2.2，可以看出，y1是下半圓（虛線），y2是上半圓，所以投影區(qū)域是一個(gè)圓.

圖2.2

xvals=Solve[y1==y2,x]

執(zhí)行命令后，則輸出

為了取出x1,x2，在Mathematica平臺(tái)輸入下面語(yǔ)句：

x1=xvals[[1,1,2]]

x2=xvals[[2,1,2]]

執(zhí)行命令后，則輸出

Volume=Integrate[g[x,y]-f[x,y],{x,x1,x2}，

{y,y1,y2}]//Simplify

解 首先作出區(qū)域Ω的圖形.在 Mathematica平臺(tái)輸入下面語(yǔ)句：

g1=ParametricPlot3D[{Sqrt[2]*Sin[fi]*Cos[th],Sqrt[2]*Sin[fi]*Sin[th],Sqrt[2]*Cos[fi]},{fi,0,Pi/4},{th,0 ,2Pi}]

g2=ParametricPlot3D[{z*Cos[t],z*Sin[t],z},{z，0,1},{t,0,2Pi}]

Show[g1,g2,ViewPoint->{1.3,-2.4,1.0}]

執(zhí)行命令后，則分別輸出三個(gè)圖形(見圖3).

圖3

觀察圖形3.3，可以選擇柱坐標(biāo)系計(jì)算，也可以選擇球面坐標(biāo)系計(jì)算.如果用柱坐標(biāo)計(jì)算，在Mathematica平臺(tái)輸入下面語(yǔ)句：

Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Cos[s],y->r*Sin[s]})*r,

{r,0,1},{s,0,2Pi},{z,r,Sqrt[2-r^2]}]

執(zhí)行命令后，則輸出

如果用球面坐標(biāo)計(jì)算，在Mathematica平臺(tái)輸入下面語(yǔ)句：

Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Sin[fi]*Cos[t],y->r*Sin[fi]*Sin[t],z->r*Cos[fi]})*r^2*Sin[fi],{s,0,2Pi},{fi,0,P i/4},{r,0,Sqrt[2]}]

執(zhí)行命令后，則輸出

由此看出，兩種坐標(biāo)系下計(jì)算的結(jié)果相同.

解：先調(diào)用軟件包，Mathematica平臺(tái)輸入下面語(yǔ)句：

<

再輸入

CylindricalPlot3D[4-r^2,{r,0,2},{t,0,2 Pi}]

執(zhí)行命令后，則輸出圖4.

圖4

執(zhí)行命令后，則輸出

因此，利用極坐標(biāo)計(jì)算.在Mathematica平臺(tái)再輸入下面語(yǔ)句：

z1=Simplify[z/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]}];

Integrate[z1*r,{t,0,2Pi},{r,0,2}]//Simplify

3 結(jié) 語(yǔ)

利用Mathematica 軟件平臺(tái)上進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，這種教學(xué)方式改變了過(guò)去的“講授—記憶—測(cè)驗(yàn)”的傳統(tǒng)學(xué)習(xí)過(guò)程，變?yōu)椤爸庇X—試探—出錯(cuò)—思考—猜想—證明”的學(xué)習(xí)過(guò)程[5]，使學(xué)生變被動(dòng)為主動(dòng)，參與到高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中來(lái).充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，數(shù)學(xué)軟件知識(shí)，計(jì)算機(jī)知識(shí)和動(dòng)手操作能力，構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高綜合應(yīng)用能力，為今后的學(xué)習(xí)奠定良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

[1]黃青群，高家寶，蘇夏. Mathematica軟件在《數(shù)學(xué)分析》中的應(yīng)用[J].軟件導(dǎo)刊，2013（4）：117-119.

[2]郭志軍.Mathematica平臺(tái)上極限與連續(xù)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究[J].邢臺(tái)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（10）：74-77.

[3]張二艷.Mathematica軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].北京印刷學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（4）：77-80.

[4]李國(guó)，蔣彥，楊東升，等.Mathematica軟件在函數(shù)圖形繪制及特性分析中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2006（22）：59-60，66.

[5]章棟恩，許曉革.高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[6]吳贛昌.微積分[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2012.