摘 要：“一蜘蛛欲從長(zhǎng)方體的一頂點(diǎn)捕捉與之不共側(cè)面的對(duì)角頂點(diǎn)上的小蟲(chóng)，尋求最佳行走路線”。從該問(wèn)題的討論求解創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，進(jìn)而推廣到對(duì)圓錐、圓臺(tái)等幾何體表面路徑最小值的求解，學(xué)習(xí)利用側(cè)面展開(kāi)圖，化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題的劃歸數(shù)學(xué)思想，掌握幾何體表面路徑最小值的求解方法，掌握幾何體側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：側(cè)面展開(kāi)；空間問(wèn)題平面化；最小路徑

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教學(xué)背景

遵義四中是貴州省省級(jí)示范高級(jí)中學(xué)，從建校至今已有九十余年的歷史，在教育教學(xué)上取得了引人注目的成績(jī)。面對(duì)全球教育教學(xué)改革的新環(huán)境，如何實(shí)施素質(zhì)教育，創(chuàng)新教育？我們正在積極探索中。貴州師大呂傳漢、汪秉彝二位教授研究推廣的“數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題”教學(xué)模式，經(jīng)過(guò)多年的嘗試，學(xué)生對(duì)這種新素質(zhì)教育教學(xué)方法比較適應(yīng)和接受。

我現(xiàn)任教的是兩個(gè)文科班數(shù)學(xué)課。我校生源總體屬于本地區(qū)上乘，但因擴(kuò)招形成的捐資助學(xué)生成績(jī)較差，不得已進(jìn)入文科班學(xué)習(xí)。因此，文科班數(shù)學(xué)成績(jī)，除少數(shù)全面發(fā)展的學(xué)生外，大部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有明顯的畏難情緒，有的甚至厭學(xué)或不學(xué)。而改變現(xiàn)狀的最好辦法就是順應(yīng)新a形勢(shì)的需要，用創(chuàng)新思想、創(chuàng)新方法解決新問(wèn)題。

2.教材分析

幾何體表面最小路徑問(wèn)題，作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的定量概念的典型形式，在生產(chǎn)和生活實(shí)踐中具有廣泛應(yīng)用，特別是利用展開(kāi)圖把空間問(wèn)題平面化，化空間最小路徑問(wèn)題為平面兩點(diǎn)間的最小路徑問(wèn)題，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想，也是高考命題中的常見(jiàn)內(nèi)容。

中學(xué)數(shù)學(xué)中，主要涉及柱、錐、臺(tái)、球的表面路徑問(wèn)題，關(guān)于球的相關(guān)問(wèn)題在其他專(zhuān)題中解決，這里所涉及的柱、錐、臺(tái)體（含旋轉(zhuǎn)體），都具有表面可展開(kāi)性。通過(guò)該專(zhuān)題的討論，建立鞏固從平面到空間的思維紐帶。通過(guò)恰當(dāng)展開(kāi)表面（或部分表面），將最小路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)換成平面兩點(diǎn)間路徑最小問(wèn)題來(lái)解決。這是一個(gè)訓(xùn)練學(xué)生幾何變換能力、空間想象力以及轉(zhuǎn)移化歸的數(shù)學(xué)思想方法的課題，如處理恰當(dāng)，對(duì)于提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力將有明顯效果。

3.設(shè)計(jì)思想

（1）教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課是高三第二輪復(fù)習(xí)內(nèi)容，通過(guò)本專(zhuān)題的研究，使學(xué)生在繼續(xù)鞏固立體幾何相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，探索幾何變換及其應(yīng)用方法，強(qiáng)化空間問(wèn)題平面化的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，提高學(xué)生分析問(wèn)題、探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

（2）教學(xué)方法

本節(jié)課是“情境—問(wèn)題”教學(xué)實(shí)驗(yàn)課，并輔以多媒體手段。

設(shè)置數(shù)學(xué)情境（觀察分析）—提出數(shù)學(xué)問(wèn)題（猜測(cè)探究）—解決數(shù)學(xué)問(wèn)題（正面求解或反駁）—注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用（學(xué)做學(xué)用），而且，學(xué)生學(xué)習(xí)：質(zhì)疑提問(wèn)、自主學(xué)習(xí)貫穿全過(guò)程；老師導(dǎo)學(xué)：激發(fā)興趣、反思矯正貫穿全過(guò)程。

（3）課前準(zhǔn)備

為了充分發(fā)揮“情境—問(wèn)題”教學(xué)實(shí)踐的課堂效果，課前做了如下準(zhǔn)備：①將全班學(xué)生分為若干小組，每組6人左右，原則自愿組合，老師可幫助適當(dāng)調(diào)整，使每組盡可能具備討論問(wèn)題氛圍的基礎(chǔ)。②將相關(guān)題目精選出6個(gè)，難易類(lèi)別兼顧搭配，組成思考題單，課前發(fā)放到各小組，各組就自己感興趣的問(wèn)題分析思考；每小組用硬紙片做正方體、圓錐模型各一個(gè)，以此奠定上課時(shí)各組之間研究問(wèn)題的基礎(chǔ)。③做好相應(yīng)的多媒體課件。

二、教學(xué)過(guò)程

提出數(shù)學(xué)問(wèn)題：

教師：在剛才的蜘蛛路徑問(wèn)題的討論中，涉及一個(gè)幾何體表面最小路徑問(wèn)題。請(qǐng)回顧，你都想到或用到了哪些知識(shí)和方法，還有什么疑惑要和同學(xué)探討？或有哪些結(jié)果值得總結(jié)？請(qǐng)暢所欲言。

……

學(xué)生通過(guò)積極的討論，提出各種問(wèn)題及想法，大致為如下幾個(gè)方面（把課堂上首先要解決的問(wèn)題列在前面）：

在長(zhǎng)方體中，展開(kāi)方式的不同將影響最小路徑的求解，值得注意。

1.幾何體表面路徑問(wèn)題與兩點(diǎn)間的距離的關(guān)系如何？

2.“蜘蛛路徑問(wèn)題”的方法是否可以推廣？

3.幾何體表面路徑最值問(wèn)題求解的思想方法是什么？

4.幾何體是否都能夠把表面展開(kāi)？哪些能展開(kāi)？

5.球面不能展開(kāi)，球面上兩點(diǎn)間的距離怎么求解？

……

三、教學(xué)反思

1.恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，是有效強(qiáng)化學(xué)生問(wèn)題意識(shí)的重要步驟，更是吸引學(xué)生積極參與討論問(wèn)題并能夠提出有價(jià)值問(wèn)題的有效方法。在教學(xué)實(shí)踐中，趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題、貼近生活問(wèn)題、偉人科研軼事等，都可作為創(chuàng)設(shè)情境的素材源。本案例選取“蜘蛛路徑問(wèn)題”，屬于學(xué)生熟知的趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)踐說(shuō)明，學(xué)生是樂(lè)意接受的，同時(shí)，如果恰當(dāng)利用多媒體技術(shù)，對(duì)情境創(chuàng)設(shè)效果更好。

2.在討論問(wèn)題的選材方面，本案例結(jié)合目前高考復(fù)習(xí)的需要，以及本節(jié)課教學(xué)主題的需要，選擇了中學(xué)立體幾何中“折卷”相關(guān)題目（柱、錐、臺(tái)），并注意兼顧具有思考解答的多樣性特點(diǎn)或具有某些不確定性特點(diǎn)，這有利于學(xué)生在分類(lèi)討論中發(fā)現(xiàn)、比較、質(zhì)疑，強(qiáng)化學(xué)生提出問(wèn)題或質(zhì)疑問(wèn)題的意識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂傳漢，汪秉彝.中小學(xué)數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題教學(xué)探究.貴州人民出版社，2002-07.

[2]呂傳漢，汪秉彝.“論中小學(xué)數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001（4）：9-14.

[3]汪秉彝，呂傳漢.創(chuàng)新與中小學(xué)數(shù)學(xué)教育[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000，9（4）：34.

[4]劉友軍.高中“數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題”的教學(xué)實(shí)踐：“歸納—猜想—證明”教學(xué)案例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003，12（4）：83-86.

（作者單位 貴州省遵義市第四中學(xué)）

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