金秀巖

(廣東松山職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,廣東 韶關(guān) 512126)

MLinex損失函數(shù)下Gamma分布的尺度參數(shù)的Bayes估計(jì)

金秀巖

(廣東松山職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,廣東 韶關(guān) 512126)

在MLinex損失函數(shù)下,利用Bayes估計(jì)方法研究了Gamma分布的尺度參數(shù)的Bayes估計(jì),并證明了其容許性.結(jié)果是:在Mlinex損失函數(shù)下得到了Gamma分布尺度參數(shù)唯一的Bayes估計(jì)的一般表達(dá)式及其精確表達(dá)式,并證明是可容許的.最后通過(guò)數(shù)值分析實(shí)例,說(shuō)明了所用的參數(shù)估計(jì)方法是合理可行的.

MLinex損失;Bayes估計(jì);尺度參數(shù);可容許性;Gamma分布

1 引言

在統(tǒng)計(jì)決策理論中,參數(shù)估計(jì)的優(yōu)劣很大程度上依賴于損失函數(shù)形式的選擇,文獻(xiàn)[1-3]在諸如熵?fù)p失函數(shù)、Linex損失函數(shù)、復(fù)合Linex損失函數(shù)等損失函數(shù)下研究參數(shù)估計(jì)問(wèn)題,在不同損失函數(shù)下研究Gamma分布的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題也很有必要.

文獻(xiàn)[4]提出了MLinex損失函數(shù),并研究了二次損失函數(shù)和MLinex損失函數(shù)下Pareto分布的Minimax估計(jì);文獻(xiàn)[5]研究了加權(quán)平方損失函數(shù)和MLinex損失函數(shù)下一類(lèi)分布族參數(shù)的Minimax估計(jì);文獻(xiàn)[6]研究了MLinex損失下BurrⅫ部件可靠性指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯估計(jì);文獻(xiàn)[7]研究了對(duì)數(shù)誤差平方損失函數(shù)和MLinex損失函數(shù)下一類(lèi)分布族參數(shù)的Minimax估計(jì).

關(guān)于Gamma分布的參數(shù)估計(jì),文獻(xiàn)[8]研究了q-對(duì)稱(chēng)熵?fù)p失函數(shù)下Gamma分布的尺度參數(shù)的估計(jì),文獻(xiàn)[9]研究了廣義Gamma分布及Beta分布次序統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)比較,文獻(xiàn)[10]研究了含區(qū)間數(shù)據(jù)Gamma分布的參數(shù)估計(jì),文獻(xiàn)[11]研究了截尾Gamma分布無(wú)失效數(shù)據(jù)的貝葉斯可靠性分析等等.但MLinex損失函數(shù)下Gamma分布的尺度參數(shù)的Bayes估計(jì)尚無(wú)研究結(jié)果,故本文研究MLinex損失函數(shù)下Gamma分布的尺度參數(shù)的Bayes估計(jì)問(wèn)題,并證明了Bayes估計(jì)δB的容許性.最后通過(guò)數(shù)值分析實(shí)例,說(shuō)明本文的參數(shù)估計(jì)方法是合理可行的.

MLinex損失函數(shù)形式為:

本文僅考慮MLinex損失中c>0的情形,對(duì)于c<0情形可類(lèi)似討論.

2 尺度參數(shù)θ的 Bayes估計(jì)

設(shè)X1,···,Xn為來(lái)自Gamma分布總體X的獨(dú)立樣本,X的密度函數(shù)為:

則來(lái)自母體的樣本X1,···,Xn的聯(lián)合密度為:

定理 2.1在損失函數(shù) (1.1)和模型 (2.1)下,若在判別空間中存在參數(shù) θ的估計(jì)量 δ,其Bayes風(fēng)險(xiǎn)r(δ)<+∞,則對(duì)于θ的任何先驗(yàn)分布π(θ),θ的唯一Bayes估計(jì)的一般形式為:

證明在損失函數(shù)(1.1)下,δ對(duì)應(yīng)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)為:

欲使r(θ,δ)達(dá)到最小,只需

幾乎處處達(dá)到最小.

由于

設(shè)

令f(δ)關(guān)于δ求導(dǎo)等于零,可解得:

由于f(δ)是凸函數(shù),所以δ是f(δ)的唯一最小值點(diǎn),故θ的唯一Bayes估計(jì)的一般形式為:

定理2.2設(shè)x1,···,xn為來(lái)自Gamma分布Γ(θ,α)的一個(gè)樣本觀察值,尺度參數(shù)θ(形狀參數(shù)α已知)的先驗(yàn)分布π(θ)取Gamma分布Γ(λ,β),則在損失函數(shù)(1.1)下,模型(2.1)的尺度參數(shù)θ的Bayes估計(jì)的精確表達(dá)式為:

證明因?yàn)槌叨葏?shù)θ的先驗(yàn)分布π(θ)服從Gamma分布Γ(λ,β),則θ的密度函數(shù)為:

樣本似然函數(shù)為:

于是,θ的后驗(yàn)分布密度為:

故θ的后驗(yàn)分布密度π(θ|X)服從以λ+T(X)為尺度參數(shù)、以nα+β為形狀參數(shù)的Gamma分布.

由定理2.1以及θ的后驗(yàn)分布密度,有

3 Bayes估計(jì)的容許性

定理3.1在給定先驗(yàn)分布π(θ)和損失函數(shù)(1.1)下,參數(shù)θ的Bayes估計(jì)?δB是可容許的.

證明由于Bayes估計(jì)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)不大于任何估計(jì)的Bayes風(fēng)險(xiǎn),只須證明存在θ的一個(gè)估計(jì)δ,其Bayes風(fēng)險(xiǎn)r(δ)<∞,于是可得從而是可容許的.

在(2.2)式中不妨令δ=1,則有

其中,

對(duì)給定的樣本值存在且有界.

而

所以,r(δ)存在且有界.又因?yàn)閞(?δB)

4 數(shù)值分析實(shí)例

4.1 估計(jì)量的穩(wěn)健性與精確性分析

目前,國(guó)內(nèi)外有關(guān)氣候分析的旱、澇級(jí)別劃分中,采用一種Gamma分布概率指標(biāo)來(lái)描述降水量所遵從的分布,在這個(gè)過(guò)程中涉及到一個(gè)重要問(wèn)題就是Gamma分布的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題.參數(shù)估計(jì)的好壞程度直接影響到氣候分析結(jié)果的精確程度,因此Gamma分布的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題對(duì)氣候分析顯得非常重要.本文以1951?1980年期間北京地區(qū)7月份降水量數(shù)據(jù)為例,取1951?1980年期間降水頻數(shù)作為求概率密度函數(shù)中參數(shù)的基本樣本[12].具體由表1給出.

表1 該地區(qū)6月份降水頻數(shù)分布

由表 1中數(shù)據(jù)分析計(jì)算可知,該地區(qū) 1951?1980年期間 7月份降水頻數(shù)服從尺度參數(shù)θ≈0.326、形狀參數(shù)為α≈0.978的Gamma分布.

根據(jù)這些數(shù)據(jù),知T=30,n=10.又根據(jù)定理2.2的結(jié)果以及文獻(xiàn)[8]的研究,為了更具有一般性,根據(jù)實(shí)際需要選取滿足0

表2 尺度參數(shù)θ的Bayes估計(jì)

則可見(jiàn)其偏差很小,即精確度較高.

4.2 估計(jì)量的比較分析

對(duì)Gamma分布在復(fù)合Linex損失函數(shù)、MLinex損失函數(shù)下尺度參數(shù)θ的Bayes估計(jì)結(jié)果進(jìn)行數(shù)值比較.為了討論方便,記Gamma分布在復(fù)合Linex損失函數(shù)下尺度參數(shù)θ的Bayes估計(jì)[13]為,在MLinex損失函數(shù)下尺度參數(shù)θ的Bayes估計(jì)(2.3)為,這里依然以上述例子為例,即分別取T=30,n=10的Gamma分布的樣本,取c=1.01.比較結(jié)果見(jiàn)表3.

表3 Gamma分布在復(fù)合Linex損失函數(shù)和MLinex損失函數(shù)下θ的Bayes估計(jì)結(jié)果比較

從表 3可以看出,只要根據(jù)實(shí)際情況合理選擇先驗(yàn)分布和 c的取值,Gamma分布在MLinex損失函數(shù)下θ的Bayes估計(jì)結(jié)果相對(duì)復(fù)合Linex損失函數(shù)下的Bayes估計(jì)結(jié)果來(lái)說(shuō),效果要好一些,更接近真實(shí)值,而且比較穩(wěn)健.

綜合上述分析可知,本文給出的尺度參數(shù)θ的Bayes估計(jì)是合理可行的.

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Bayesian estimation on scale parameter of Gamma distribution on the basis of MLinex loss

Jin Xiuyan
(Department of Basic Courses,Guangdong Songshan Polytechnic College,Shaoguan 512126,China)

The Bayesian Estimation of Gamma distribution scale parameter has been studied and its admissibility has been proved basing on the MLinex loss function.We obtain two results.First,we get the general expression and exact expression of the Gamma distribution scale parameter under the MLinex loss function,and prove it is admissible.Second,we prove that our method to estimate the parameter are reasonable and feasible.

MLinex loss,Bayesian estimation,scale parameter,admissibility,Gamma distribution

O212.5

A

1008-5513(2014)04-0347-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.003

2014-03-17.

廣東省教育科研“十二五”規(guī)劃2012年度研究項(xiàng)目(2012JK124).

金秀巖(1961-),副教授,研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論和概率統(tǒng)計(jì).

2010 MSC:62C12