吳 強 何清波 孔凡讓

（中國科學技術大學精密機械與精密儀器系，合肥，230026）

引 言

機械設備的發(fā)展日趨大型化、高速化、精密化，為保證設備的安全可靠運行，便對設備的狀態(tài)檢測和故障診斷提出了更高的要求。對于列車軸承等旋轉機械設備的在線故障診斷，采用車載振動傳感器來采集信號，不僅設備造價昂貴，而且出現(xiàn)誤警的機率也高［1］。機械設備的振動所產(chǎn)生的聲學信號是機械波在傳播媒介中的反映，由于聲學信號具有非接觸、易測量、設備簡單等特點，通過對聲學信號的處理，可發(fā)現(xiàn)設備的故障狀態(tài)，因此可通過監(jiān)測列車部件聲學信號的方法，來分析判斷設備狀態(tài)，達到故障診斷和狀態(tài)監(jiān)測的目的。該方法設備成本低，通用性好［2］，目前已經(jīng)成為列車軸承在線故障診斷的發(fā)展方向。

多普勒效應研究的方向大多集中在測速和移動目標識別［3］，對因多普勒效應引起的頻譜畸變的研究較少。基于道旁采集的聲學信號，由于拾音器和列車有相對運動，存在多普勒效應，使聲學信號的頻譜結構發(fā)生了畸變，無法得出正確的分析結果。因此，如何消除或減少聲學信號的多普勒畸變是故障診斷亟待解決的問題。孫川等［4］提出通過預先計算出的多普勒頻偏，修正接收機中數(shù)字頻率合成器輸出的本振頻率，從而消除多普勒頻偏的方法。Shairf B S等［5］提出對水聲通信中多普勒頻移采用重采樣的修正方法 ，并通過仿真實驗證實了該方法的有效性?？紤]到基于道旁的聲學信號的多普勒畸變是隨時間變化的變量，上述方法并不適用。針對列車道旁聲學信號特點，作者曾提出基于頻偏曲率的重采樣方法［6］，較好地解決了低速狀態(tài)下多普勒頻偏校正問題，但對于高速相對運動狀態(tài)和校正精度要求較高的情況下，無法滿足相應的要求。本文提出了基于頻偏曲率的變采樣技術處理采樣信號的方法，并通過實驗驗證了該方法的有效性。

1 多普勒效應

多普勒效應是指當聲源或拾音器（或兩者）相對介質(zhì)運動而造成拾音器接受頻率發(fā)生改變的現(xiàn)象。當聲源的運動方向在聲源與拾音器兩者連線上時，多普勒效應的頻率變化公式［7］為

式中：f0是聲源頻率；f是拾音器收到的頻率；u是聲音在介質(zhì)中的傳播速度；v1，v2分別是聲源和拾音器速度。

當聲源的運動方向不在聲源與拾音器兩者連線上時，多普勒效應的頻率變化公式為

式中：f0是聲源頻率；f是接收器收到的頻率；u是聲音在介質(zhì)中的傳播速度；v1，v2分別是聲源和拾音器速度；α，β分別是v1，v2與接收器到聲源的連線夾角；“＋”表示聲源靠近拾音器，“-”表示聲源遠離拾音器。

為了和基于道旁聲學信號分析故障診斷現(xiàn)場情況相一致，本文假定聲源移動，拾音器相對固定。如圖1所示，聲源以速度v沿A點向C點運動，拾音器在O點，在常溫下，聲波在空氣中傳播速度為c，即u＝c，v1＝v，v2＝0，由式（2）可知，多普勒效應公式簡化為

圖1 多普勒效應位置示意圖Fig.1 Point location of Doppler effect

式中：Ma＝v/c為馬赫數(shù)，α為拾音器和聲源連線與運動方向的夾角。

當聲源與拾音器的連線在聲源運動方向上時，此時α＝0，式（3）可改寫為

式（4）表明，聲源與拾音器的連線在聲源運動方向上時，多普勒頻移僅和馬赫數(shù)Ma有關，且聲源在以恒定速率運動時，Ma是個常數(shù)，頻偏是按固定比例k變化的。不考慮幅值變化帶來的影響，通過重采樣技術可以有效地解決該問題，恢復源信號真實的頻譜結構，從而為故障診斷提供可靠的依據(jù)。

2 重采樣技術與變采樣技術在頻偏校正中的應用

2.1 重采樣技術在頻偏校正中的應用

多普勒效應是由于聲源和拾音器的相對運動使聲波在介質(zhì)中的波長發(fā)生了變化，從而使采樣信號頻譜結構發(fā)生了畸變［7］。

重采樣技術是通過采樣率的變換，如提高L倍或者降低M倍采樣率，從一種數(shù)字信號采樣得到另外一種數(shù)字信號的方法。利用重采樣技術可以有效地實現(xiàn)從均勻到均勻，非均勻到均勻的插值［8］。

當聲源和拾音器存在相對運動時，拾音器按等時間間隔采樣得到的信號由于多普勒效應的存在其信號頻譜會發(fā)生畸變。根據(jù)聲源和拾音器相對位置關系分為以下兩種情況：（1）聲源和拾音器的連線在聲源運動方向上時，由式（4）可知，原信號頻譜按固定比例k發(fā)生畸變，將采樣信號按1/k比例重新采樣可有效地解決該問題［9］；（2）當聲源和拾音器的連線不在聲源運動方向上時，由式（3）可知，采樣信號的頻偏是個時間變量f（t），此時對原信號按固定比例重采樣，則無法實現(xiàn)恢復原信號的真實頻譜。

基于重采樣技術的頻偏校正算法是在通過外部條件獲得信號頻偏變化曲線后，將頻偏率區(qū)間分為n等份，每等份大小為Δ，由于Δ區(qū)間較小，包含的頻偏率值較少，且數(shù)值基本接近，可近似地認為在Δ內(nèi)所有頻偏率為同一值，用Δ內(nèi)一個指定值（如Δ的中點值）代替所有頻偏率值，對該段內(nèi)信號通過重采樣得到校正后信號，分段重采樣后的信號為糾偏信號。該算法由于采用段內(nèi)平均頻偏率替代段內(nèi)所有變化率，在聲源低速狀態(tài)下，效果較好，但在高速狀態(tài)下，糾偏精度下降。

2.2 變采樣技術在頻偏校正中的應用

在機械故障診斷領域，如基于鐵路軌邊診斷系統(tǒng)、基于道旁汽車故障診斷等，聲源和拾音器的連線不在聲源運動方向上，而恢復采樣信號的真實頻譜又是故障診斷的必要前提。針對這種情況，本文提出基于頻偏率的變采樣技術校正多普勒頻偏的方法。

變采樣技術是重采樣技術的一個特例，但實現(xiàn)方法又不同于重采樣技術。重采樣是通過對整個已采樣信號的采樣率提高L倍或者降低M倍，將一種數(shù)字信號轉換為另外一種信號的方法；而變采樣技術則是根據(jù)一定規(guī)則，通過調(diào)整已采樣信號的采樣時間點獲得一組新采樣信號，從而將一種數(shù)字信號轉換為另外一種信號的方法。

本文假定以下條件成立：（1）已知聲源和拾音器的相對速度，且在短時間內(nèi)，認為相對速度恒定；（2）在拾音器采樣數(shù)據(jù)的起始點和結束點，聲源和拾音器的相對位置已知。條件（1）可在采樣數(shù)據(jù)的同時用測速裝置獲得運動聲源的速度；條件（2）可在指定點，通過觸發(fā)光電裝置，打開或關閉采樣設備。因此上述假設在工程實際中，完全可實現(xiàn)。

由式（3）可知，采集的信號頻偏主要受馬赫數(shù)Ma和角度α的影響。當相對速度越大，馬赫數(shù)Ma就越大，頻偏也就越大；由于馬赫數(shù)Ma和角度變量α在采集信號的同時是可獲得的，因此由式（3）可得出信號頻偏率

頻偏率fr為信號采集頻率與原頻率之比，反映了信號的頻偏程度。圖2是某馬赫數(shù)時頻偏率示意圖，圖中橫坐標表示時間，縱坐標表示頻偏率fr，由圖可見，當馬赫數(shù)Ma一定時，頻偏率fr是隨角度α變化的變量，而角度α又是時間t的變量，因此頻偏率fr是時間t的函數(shù)，且在每個時刻都不同，可見每個采樣點的信號頻率變化率都是不一樣的。

由于聲源和采集裝置的相對運動，使得采樣信號頻譜發(fā)生了畸變，而導致頻譜畸變的根本原因在于聲波波長的變化。變采樣方法就是根據(jù)相對運動造成的聲波波長變化，通過改變采樣時間，使得相鄰采樣點處于信號的等相位聲波上，從而恢復原信號頻譜結構。

圖2 頻偏率示意圖Fig.2 Curved shape of frequency shift

2.3 頻偏校正中變采樣技術的實現(xiàn)方法

設聲學信號在空氣媒介中傳播，常溫下，速度為c，聲源發(fā)出單一頻率聲波，頻率為f0，波長為λ0，聲源相對運動速度為u，馬赫數(shù)為Ma＝u/c，拾音器和聲源連線與聲源運動方向連線的夾角為α，如圖3所示。

圖3 變采樣校正示意圖Fig.3 Correcting frequency by variable sampling

即接收信號的波長變?yōu)?/p>

由于點a到點a＋1的距離極小，從而近似認為這段距離產(chǎn)生的信號波長為同一數(shù)值。則發(fā)射信號到達點O的采樣間隔時間為

由此可見，在t′1＝t0＋Δt′1時刻采集的信號才是聲源在a＋1時刻所發(fā)出的真實信號。

由于t0，t1和t′1時刻均已知，且t0和t1時刻的采樣數(shù)值也已知，可通過插值方法獲得t′1時刻的近似采樣值y′1，將t′1時刻的采樣值y′1作為變采樣后t1時刻的采樣值。

當聲源再經(jīng)過時間Δt，運動到點a＋2處，此時式（7）中角度α發(fā)生了變化，采集信號的波長變?yōu)?/p>

到達點O的采樣間隔時間變?yōu)?/p>

聲源在點a＋2處發(fā)出的聲波，到達采集點實際時刻應為t′2。

通過插值獲得t′2時刻的采樣值y′2。依此類推，即可獲得變 采 樣 后 的 新 采 樣 信 號y＝ （y′1，y′2，y′3，…）。

基于頻偏率的變采樣算法步驟如下：

（1）通過實際工程測量獲得采樣信號的頻偏率；

（2）根據(jù)采樣點頻偏率大小，計算新的采樣點時間位置；

（3）通過線性插值方法獲得新采樣點的采樣值；

（4）以前一個采樣點為基準，再次計算下一個采樣時間點位置，并通過插值方法獲得新采樣點的采樣值；

（5）完成所有采樣點的重采樣后，將新采樣數(shù)據(jù)按原采樣率計算信號頻譜，即可獲得原信號真實頻譜。

3 實驗驗證

3.1 仿真實驗

假設拾音器不動，如圖1所示，O點為接收器位置，聲源沿著AC方向運動，在A點開始采集信號，點D結束采集信號，采樣頻率為10kHz，常溫下聲波速度為c＝340m/s，聲源運動速度為40m/s，OC距離為5m，聲波為頻率為2 000Hz的單頻信號，A點和D，C點間的距離都是11.18 m。由文獻［10，11］可知，多普勒信號的時域表達式為

式中：R（t）為運動聲源到接收器的瞬時距離，cos（θ（t））為聲源運動方向和R（t）之間的瞬時夾角α。由式（3），可得出頻偏曲率圖，如圖2所示。由式（12）可得出多普勒畸變時域圖，同時為了比對本文方法的有效性，建立正常無畸變信號，如圖4所示，從圖中明顯可看出正常信號時域波形連續(xù)光滑，而具有多普勒效應的信號時域波形則呈現(xiàn)出鋸齒狀，造成這種現(xiàn)象的原因正是多普勒效應，使原本規(guī)律的采樣信號變成隨時間和速度參數(shù)而變化的多普勒信號。圖5為采樣信號處理前后的頻譜對比圖。由圖可見，未處理前的信號，由于多普勒效應的影響，單頻信號的頻譜以單頻為中心向兩邊展寬，采用本文所提方法對畸變信號進行處理后，信號頻譜結構得到顯著改善，恢復正常。

圖4 多普勒效應信號和正常信號時域圖Fig.4 Time domain signals of Doppler effect and normal

圖5 信號頻譜對比圖Fig.5 Frequency spectrum of original and processed signals

3.2 實驗驗證

為了驗證本文所提方法的有效性，作者在室外進行了多普勒效應實驗。實驗流程如圖6所示，信號采集系統(tǒng)由聲學傳感器、信號放大器、數(shù)據(jù)采集卡、采集信號筆記本計算機、連接線及接口等組成，其中聲學傳感器采用B＆K公司的1/4英寸的4938壓力場傳感器，頻率范圍4～70kHz，極化電壓200V，靈敏度1.6mV/Pa，聲學傳感器用卡扣固定在三腳架頂端，位置高度等于聲源離地高度，水平方向距離聲源的運動直線2m。

圖6 多普勒效應實驗流程圖Fig.6 Doppler experimental flow chart

電荷放大器采用傳感器自配的前置放大器，接口電路采用屏蔽式接線盒，將放大器輸出信號接入數(shù)據(jù)采集卡。數(shù)據(jù)采集卡采用NI公司生產(chǎn)的PCI-6024E型12位精度，16路模擬輸入的高速多功能數(shù)據(jù)采集卡，采樣速率達到200kS/s，電壓的輸入范圍±0.05～±10V，輸出范圍為±10V。

實驗信號為頻率f＝3 000和500Hz的兩個單頻聲信號，采樣頻率為50kHz。為了降低牽引動力的噪聲，采用電動機車在水泥路面上，以恒定時速v＝8m/s沿直線在平坦的水泥路面上行駛，麥克風距離車輛直線行駛的垂直距離OC＝2m，CCD輔助定位系統(tǒng)通過攝錄發(fā)聲設備經(jīng)過指定的帶有標識的路線，將圖像時間和采集信號時間相對應，獲取發(fā)聲信號位置信息。圖7，10分別為麥克風實際采集的3 000和500Hz信號，從圖中可知，多普勒現(xiàn)象較明顯，圖8和圖11為實際采集的信號頻譜，在3 000和500Hz左右發(fā)生了明顯的頻率展寬，圖9和圖12是基于頻偏率的變采樣信號頻譜圖，可見采用本文提出的方法處理后，原來展寬的信號頻譜基本收斂在3 000和500Hz左右，多普勒效應產(chǎn)生的信號頻譜畸變基本解決。而比對圖5（a）和圖8可知，圖5（a）的仿真信號多普勒畸變展寬很大，而圖8的信號畸變展寬較小，是由于仿真信號的時速較大，約為實驗信號的5倍，相應的頻偏率也就較大，頻帶發(fā)散就越廣。

圖7 多普勒效應信號時域圖（3 000Hz）Fig.7 Time domain signals of Doppler effect（3 000Hz）

圖8 多普勒信號頻譜圖（3 000Hz）Fig.8 Frequency spectrum of Doppler signals（3 000Hz）

圖9 基于頻偏率變采樣的信號頻譜圖（3 000Hz）Fig.9 Frequency spectrum of Doppler signals with variable sampling based on frequency shift curve（3 000Hz）

圖10 多普勒效應信號時域圖（500Hz）Fig.10 Time domain signals of Doppler effect（500Hz）

圖11 多普勒信號頻譜圖（500Hz）Fig.11 Frequency spectrum of Doppler signals（500Hz）

圖12 基于頻偏曲率變采樣的信號頻譜圖（500Hz）Fig.12 Frequency spectrum of Doppler signals with variable sampling based on frequency shift curve（500Hz）

4 結束語

本文所提出的基于頻偏率的變采樣方法，可以有效糾正因多普勒效應而造成的信號頻譜畸變問題，為聲學故障診斷提供了理論依據(jù)。本文所提方法基于已知相對速度和相對位置的前提，可以有效地糾正頻偏效應。如何在相對速度和位置未知的情況下，有效糾正多普勒效應帶來的頻偏效應，將是今后研究的主要方向。

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