鮑忠奎

1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601

2.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，合肥 230009

集值序信息系統(tǒng)的信息熵和知識(shí)粒度

鮑忠奎

1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601

2.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，合肥 230009

1 引言

粗糙集理論是波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak于1982年提出的一種數(shù)據(jù)分析理論[1]，它是一種新的處理不確定性知識(shí)的數(shù)學(xué)工具。經(jīng)典的粗糙集理論是在完備信息系統(tǒng)中建立等價(jià)關(guān)系來(lái)研究分析的，但實(shí)際問(wèn)題復(fù)雜多樣，一些對(duì)象在某些屬性下的取值往往不是一個(gè)，而是取幾個(gè)值，這樣的信息系統(tǒng)稱為集值信息系統(tǒng)[2]。目前，集值信息系統(tǒng)中的屬性取值（下面說(shuō)成屬性集值）一般有合取和析取兩種不同的語(yǔ)義解釋。文獻(xiàn)[3]在屬性集值為合取型的集值信息系統(tǒng)中定義了相容關(guān)系，并給出基于相容關(guān)系的屬性約簡(jiǎn)和規(guī)則提取問(wèn)題；文獻(xiàn)[4]認(rèn)為相容關(guān)系過(guò)于寬松，提出了兩種擴(kuò)展的相容關(guān)系。另外，實(shí)際中屬性值域很多是帶有偏好關(guān)系的，尤其在企業(yè)管理中，值域具有偏好關(guān)系的屬性最為常見(jiàn)，如投資報(bào)酬率、市場(chǎng)占有率、債務(wù)比率等。文獻(xiàn)[5]在屬性集值為合取和析取兩種不同類型的集值信息系統(tǒng)中分別引入了基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙集方法[6]。但析取型集值序信息系統(tǒng)中定義的二元優(yōu)勢(shì)關(guān)系太過(guò)寬松，沒(méi)有考慮對(duì)象之間的不同優(yōu)勢(shì)程度，容易將優(yōu)勢(shì)關(guān)系不明顯的對(duì)象劃分到優(yōu)勢(shì)類中。

信息系統(tǒng)的不確定度量是另一重要問(wèn)題。目前，熵[7]已被廣泛用于系統(tǒng)的不確定性度量[8-9]。文獻(xiàn)[10]提出了一種信息增益具有補(bǔ)特征的信息熵，給出其條件熵和互信息，并應(yīng)用于度量粗糙集和粗糙分類的模糊性；文獻(xiàn)[11]在非完備信息系統(tǒng)中引入組合熵的概念，其信息增益函數(shù)具有可能知識(shí)含量的特性，并用于度量非完備信息系統(tǒng)的不確定性?；诹６扔^點(diǎn)，文獻(xiàn)[12]在序信息系統(tǒng)中給出了知識(shí)的粒度、粗糙熵以及知識(shí)的不確定性度量；文獻(xiàn)[4]在擴(kuò)展相容關(guān)系的同時(shí)，基于粒度也給出了集值信息系統(tǒng)的不確定性度量（更多的基于粒度的不確定性度量可參看文獻(xiàn)[13]）。但對(duì)于集值序信息系統(tǒng)的不確定性度量文獻(xiàn)中尚不多見(jiàn)。

鑒于以上考慮，本文首先針對(duì)文獻(xiàn)[5]在屬性集值為析取型的集值序信息系統(tǒng)中定義的優(yōu)勢(shì)關(guān)系太過(guò)寬松的不足，提出一種δ-優(yōu)勢(shì)關(guān)系，然后基于δ-優(yōu)勢(shì)關(guān)系對(duì)論域的分劃，將信息熵和知識(shí)粒度引入集值序信息系統(tǒng)中，給出了集值序信息系統(tǒng)不確定性的度量方法。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 集值序信息系統(tǒng)

設(shè) S=＜U，AT，V，f＞為一集值信息系統(tǒng)[2]，其中U是非空的有限對(duì)象集，A是非空的有限屬性集，V是屬性值集合，f是從U×AT到V的冪集P(V)的一個(gè)映射，使得?x∈U，a∈AT，f(x，a)∈P(V)。

根據(jù)集值的不同語(yǔ)義解釋，集值信息系統(tǒng)可分為合取型集值信息系統(tǒng)和析取型集值信息系統(tǒng)。若在集值信息系統(tǒng)的某個(gè)屬性值域上建立了偏序關(guān)系，稱這個(gè)屬性為一個(gè)準(zhǔn)則。當(dāng)所有的屬性均為準(zhǔn)則時(shí)，則稱集值信息系統(tǒng)為集值序信息系統(tǒng)。本文僅討論屬性集值為析取型的集值序信息系統(tǒng)，表1所示的是一析取型集值序信息系統(tǒng)。例如，對(duì)象x2在屬性a3下的取值為{1，2}，表示取值為1或2。

表1 析取型集值序信息系統(tǒng)

2.2 集值序信息系統(tǒng)中的優(yōu)勢(shì)關(guān)系

文獻(xiàn)[5]在屬性集值為析取型的集值序信息系統(tǒng)中，定義了下面的二元優(yōu)勢(shì)關(guān)系。

定義1對(duì)于給定的集值序信息系統(tǒng)S=＜U,AT,V,f＞，A?AT，定義A上的優(yōu)勢(shì)關(guān)系：

事實(shí)上，優(yōu)勢(shì)關(guān)系R≥

A也可以寫成下面的等價(jià)形式：

其中，maxf(x，a)表示 f(x，a)中的最大值，minf(y，a)表示 f(y，a)中的最小值。

3 δ-優(yōu)勢(shì)關(guān)系

本章首先給出對(duì)象x在屬性a下關(guān)于對(duì)象 y的可能優(yōu)勢(shì)程度：

其中，|f(x，a)≥f(y，a)|=|{(vx，vy)|vx≥vy，vx∈f(x，a)，vy∈f(y，a)}|，（|～|表示集合的基數(shù)）。

基于對(duì)象之間的優(yōu)勢(shì)程度，在集值序信息系統(tǒng)中給出δ-優(yōu)勢(shì)關(guān)系的定義。

定義2給定集值序信息系統(tǒng) S=＜U，AT，V，f＞，A?AT，δ∈(0，1]，定義A上的δ-優(yōu)勢(shì)關(guān)系：

定義中δ-優(yōu)勢(shì)關(guān)系的自反性的構(gòu)造是合理的，因?yàn)閷?duì)象的屬性集值是析取型的，盡管不知道會(huì)取哪個(gè)值，但一旦取定某個(gè)值，對(duì)象的屬性值就確定下來(lái)，不會(huì)再去取其他的值。比如 f(x，a)={2，4}，一旦確定 f(x，a)=2，f(x，a)就不會(huì)再取4，所以，f(x，a)=f(x，a)。

與定義1中優(yōu)勢(shì)關(guān)系的過(guò)于寬松相比，定義2要求兩個(gè)不同對(duì)象只有在屬性集值的優(yōu)勢(shì)程度達(dá)到預(yù)先給定的參數(shù)值δ時(shí)，才認(rèn)為這兩個(gè)對(duì)象滿足優(yōu)勢(shì)關(guān)系。另外，參數(shù)δ是可以根據(jù)實(shí)際問(wèn)題特點(diǎn)和需要進(jìn)行選取的，這樣可以得到更加適宜的優(yōu)勢(shì)關(guān)系，從而對(duì)對(duì)象的分類更加準(zhǔn)確。

由δ-優(yōu)勢(shì)關(guān)系的定義容易得出下面的結(jié)論。

定理1給定集值序信息系統(tǒng) S=＜U，AT，V，f＞，B?A?AT，0＜δ1≤δ2≤1，有：

定義3給定集值序信息系統(tǒng) S=＜U，AT，V，f＞，B，A?AT

4 信息熵和知識(shí)粒度

文獻(xiàn)[8-9]在單值信息系統(tǒng)中提出知識(shí)的信息熵和知識(shí)粒度來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)的不確定性度量，接下來(lái)，在集值序信息系統(tǒng)中，引入知識(shí)的信息熵和知識(shí)粒度，并討論其滿足的重要性質(zhì)。

4.1 知識(shí)的信息熵

證畢

由信息熵以及δ-優(yōu)勢(shì)關(guān)系的定義容易看出，知識(shí)的信息熵與δ的取值相關(guān)，并隨參數(shù)δ的變化而變化，所以，可將知識(shí)A的信息熵寫作E(A)(δ)。

定理3給定集值序信息系統(tǒng) S=＜U，AT，V，f＞，A?AT，當(dāng)0＜δ1≤δ2≤1時(shí)，有E(A)(δ1)≤E(A)(δ2)。

定理表明，在集值序信息系統(tǒng)中，知識(shí)越精細(xì)，知識(shí)的信息熵越大；δ-優(yōu)勢(shì)關(guān)系中參數(shù)δ取值越大，知識(shí)的信息熵也越大。

4.2 知識(shí)粒度

定理4給定集值序信息系統(tǒng) S=＜U，AT，V，f＞，B，C?AT，若B?C，有GK(B)＜GK(C)。

定理5給定集值序信息系統(tǒng) S=＜U，AT，V，f＞，A?AT，當(dāng)0＜δ1≤δ2≤1時(shí)，GK(A)(δ2)≤GK(A)(δ1)。

以上兩定理的證明過(guò)程分別與定理2和3的證明過(guò)程類似，這里不再一一贅述。結(jié)果表明，在集值序信息系統(tǒng)中，知識(shí)越精細(xì)，知識(shí)粒度越??；實(shí)際中，隨著優(yōu)勢(shì)關(guān)系中參數(shù)δ取值的增大，優(yōu)勢(shì)類會(huì)變小，知識(shí)粒度也變小。

4.3 信息熵與知識(shí)粒度之間的關(guān)系

定理6對(duì)集值序信息系統(tǒng)S=＜U，AT，V，f＞，A?AT，知識(shí)A的信息熵與知識(shí)粒度有下面的關(guān)系：GK(A)+ E(A)=1。

證明 由定義4和5易得。

例5對(duì)于表1所示的析取型集值序信息系統(tǒng)，由上面的例3、例4知，對(duì)于不同的δ取值，均有E(A)+GK(A)=1，E(B)+GK(B)=1。

5 結(jié)束語(yǔ)

實(shí)際問(wèn)題中許多信息系統(tǒng)由于各種原因（如噪聲、信息缺損等）均可看作是集值序信息系統(tǒng)。為此，本文在集值序信息系統(tǒng)中提出一種廣義的二元優(yōu)勢(shì)關(guān)系—δ-優(yōu)勢(shì)關(guān)系，充分考慮對(duì)象間的優(yōu)勢(shì)程度，結(jié)合實(shí)際選取參數(shù)δ，從而確定合適的優(yōu)勢(shì)關(guān)系，使得對(duì)象的分類更加符合實(shí)際。同時(shí)，將知識(shí)的信息熵和知識(shí)粒度引入到集值序信息系統(tǒng)中進(jìn)行知識(shí)的不確定性度量，并證明了知識(shí)的信息熵隨知識(shí)分辨能力的增強(qiáng)而上升，知識(shí)粒度隨知識(shí)分辨能力增強(qiáng)而下降等結(jié)論。這些都為集值序信息系統(tǒng)的知識(shí)發(fā)現(xiàn)和獲取提供了理論基礎(chǔ)。

[1]Pawlak Z.Rough sets：theoretical aspects of reasoning about data[M].Boston：Kluwer Academic Publishers，1991.

[2]張文修，梁怡，吳偉志.信息系統(tǒng)與知識(shí)發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2003.

[3]Guan Yanyong，Wang Hongkai.Set-valued information systems[J].Information Sciences，2006，176（17）：2507-2525.

[4]Dai J，Tian H，Liu L.Entropy measures and granularity measures for set-valued information systems[J].Information Sciences，2013，240：72-82.

[5]Qian Y H，Dang C，Liang J Y，et al.Set-valued ordered information systems[J].Information Sciences，2009，179：2809-2832.

[6]Greco S，Matarazzo B，Slowinski R.Rough sets theory for multicriteria decision analysis[J].European Journal of Operational Research，2001，129（1）：1-47.

[7]Shannon C.A mathematical theory of communication[J]. The Bell System Technical Journal，1948，27：379-423，623-656.

[8]Liang J Y，Shi Z Z.The information entropy，rough entropy and knowledge granulation in rough set theory[J].International Journal of Uncertainty Fuzziness and Knowledge-Based Systems，2004，12：37-46.

[9]Liang J Y，Shi Z Z，Li D Y，et al.Information entropy，rough entropy and knowledge granulation in incomplete information systems[J].International Journal of General Systems，2006，35：641-654.

[10]Liang J Y，Chin K S，Dang C Y，et al.A new method for measuring uncertainty and fuzziness in rough set theory[J].International Journal of General Systems，2002，31（4）：331-342.

[11]Qian Y H，Liang J Y.Combination entropy and combination granulation in incomplete information system[C]// Lecture Notes in Computer Sciecne，2006，4062：184-190. [12]Xu W H，Zhang X Y，Zhang W X.Knowledge granulation，knowledge entropy and knowledge uncertainty measure in ordered information systems[J].Applied Soft Computing，2009，9：1244-1251.

[13]Yao Y Y，Zhao L.A measurement theory view on the granularity of partitions[J].Information Sciences，2012，213：1-13.

BAO Zhongkui

1.School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230601,China
2.School of Management,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China

To overcome the shortcoming of the existing dominance relations,a new δ-dominance relation that considers the superiority degree between objects is proposed for set-valued ordered information systems.And then,based on δ-dominance relation,the concepts of information entropy and knowledge granulation are introduced in set-valued ordered information systems to measure the uncertainty.Results show that information entropy and knowledge granulation can evaluate the uncertainty of knowledge in set-valued ordered information systems.

set-valued ordered information systems;δ-dominance relation;information entropy;knowledge granulation

針對(duì)已有文獻(xiàn)中二元優(yōu)勢(shì)關(guān)系定義過(guò)于寬松的不足，在集值序信息系統(tǒng)中結(jié)合對(duì)象間的不同優(yōu)勢(shì)程度，提出δ-優(yōu)勢(shì)關(guān)系的概念；基于δ-優(yōu)勢(shì)關(guān)系，將信息熵和知識(shí)粒度引入集值序信息系統(tǒng)中進(jìn)行不確定性的度量。結(jié)論表明提出的信息熵和知識(shí)粒度可以精確地度量集值序信息系統(tǒng)的不確定性。

集值序信息系統(tǒng)；δ-優(yōu)勢(shì)關(guān)系；信息熵；知識(shí)粒度

A

TP18

10.3778/j.issn.1002-8331.1402-0056

BAO Zhongkui.Information entropy and knowledge granulation for set-valued ordered information systems.Computer Engineering and Applications,2014,50（24）：38-41.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.71201044，No.71131002，No.71071045）；安徽省教育廳資助項(xiàng)目（No.KJ2011Z018）；安徽大學(xué)青年科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（No.33050054）。

鮑忠奎（1981—），男，博士研究生，講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)榇植诩碚摷捌鋺?yīng)用、決策分析。E-mail：zkbao@ahu.edu.cn

2014-02-11

2014-04-10

1002-8331（2014）24-0038-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2014-11-04，http∶//www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1402-0056.html

◎理論研究、研發(fā)設(shè)計(jì)◎