伍代勇

安慶師范學院 數(shù)學與計算科學學院，安徽 安慶 246133

具有變時滯階段結構捕食系統(tǒng)的全局吸引性

伍代勇

安慶師范學院 數(shù)學與計算科學學院，安徽 安慶 246133

1 引言

1990年，Aiello和Freedman在文獻[1]中提出了如下具有階段結構的單種群系統(tǒng)：

隨后具有階段結構捕食系統(tǒng)被廣泛研究[2-9]。文獻[3]研究了一類具有時滯和脈沖擾動下的相互干擾階段結構捕食-被捕食系統(tǒng)。受文獻[3]啟發(fā)，本文將研究如下具有變時滯的相互干擾階段結構捕食系統(tǒng)。

其中α，β，γ，di，ci＞0，i=1，2，0＜m＜1，τ(t)為[0，+∞)上非負有界連續(xù)函數(shù)且τ1=inft≥0(τ(t))＞0，記τ0=supt≥0(τ(t))，x1表示幼年食餌種群密度，x表示成年食餌種群密度，y表示捕食種群密度，α表示食餌種群的出生率，γ表示幼年食餌種群的死亡率，β表示食餌種群由幼年轉化為成年的轉化率，τ(t)表示食餌種群幼年的成熟周期，d1表示成年食餌種群的死亡和內部競爭率，m表示相互干擾常數(shù)，c1表示捕食種群捕獲成年食餌的捕獲率，c2/c1表示捕食種群捕獲食餌后轉化自身的轉化率，d2表示捕食種群的死亡率。

考慮到種群的生態(tài)意義，假設系統(tǒng)式（1）滿足如下初始條件：

2 基本引理

引理1若 α＞β，則系統(tǒng)式（1）有唯一正平衡態(tài)(x1*，x*，y*)，其中x*為方程：

引理2對于任意的t≥0，系統(tǒng)式（1）滿足初始條件式（2）的任意解為正的且最終有界。

證明 先證 x(t)＞0(t≥0)。反證，若不然，則存在t′＞0，使得 x(t′)=0。記t0=inf{t＞0|x(t)=0}，則t0＞0。由系統(tǒng)式（1）的第二個方程得：

x′(t0)=βx(t0-τ(t0))＞0

這與t0的定義矛盾。所以對?t＞0，有 x(t)＞0?？紤]方程：

所以u(τ2)=0。因此，u(t)＞0，t∈[0，τ2)。類似文獻[10]，由微分不等式比較原理和歸納法可得x1(t)＞0，t≥0?？紤]系統(tǒng)式（1）的第三個方程，積分可得：

從而得到系統(tǒng)式（1）滿足初始條件式（2）的任意解為正。

下證系統(tǒng)式（1）正解的有界性。令

因此可得系統(tǒng)式（1）的正解有界。

引理4（見文獻[11]）考慮微分方程 z′(t)=zm(t)(baz1-m(t))，其中a，b＞0，0＜m＜1，z(0)＞0，則

則代數(shù)方程組：

有唯一正解(x*，x*)。

3 全局吸引性

定理1若

則系統(tǒng)式（1）在初始條件式（2）下的任意解(x1(t)，x(t)，y(t))滿足(x1(t)，x(t)，y(t))=(x1*，x*，y*)。

將式（5）代入系統(tǒng)式（1）的第三個方程得：

考慮系統(tǒng)式（1）的第一個方程，當t＞0時，可得：

對式（13）兩邊同時取極限得：

從而得到定理1的證明。

4 數(shù)值模擬

例1考慮如下系統(tǒng)：

故系統(tǒng)式（14）滿足定理1的條件。通過數(shù)值模擬（見圖1，圖2），可以看出在不同初始條件下系統(tǒng)式（14）的解皆趨向平衡態(tài)（0.626 1，0.939 2，0.416 5）。

圖1 系統(tǒng)式（14）中τ(t)=時的模擬圖

圖2 系統(tǒng)式（14）中τ(t)=2+sint時的模擬圖

5 結束語

本文主要利用微分不等式比較原理和迭代法得到了一類具有變時滯相互干擾階段結構捕食系統(tǒng)平衡態(tài)全局吸引性的充分條件。該系統(tǒng)通過變時滯τ(t)體現(xiàn)了幼年食餌種群的成熟周期隨著時間變化而變化。

[1]Aiello W G，F(xiàn)reedman H I.A time-delay model of singlepecies growth stage structure[J].Math Biosci，1990，101（2）：139-153.

[2]Wang W，Chen L.A predator-prey with stage-structure for predator[J].Computer Math Appl，1997，33（3）：83-91.

[3]Zhu G，Meng X，Chen L.The dynamics of a mutual interference age structured predator-prey model with time delay and impulsive perturbations on predators[J].Appl Math Comput，2010，216（1）：308-316.

[4]Xu R，Chaplain M A J，Davidson F A.A Lotka-Volterra type food chain model with stage structure and time delays[J].J Math Anal Appl，2006，315（1）：90-105.

[5]Xu R，Ma Z.Stability and Hopf bifurcation in a predatorprey model with stage structure for the predator[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2008，9（4）：1444-1460.

[6]Shi X，Zhou X，Song X.Analysis of a stage-structured predator-prey model with Crowley-Martin function[J].J Appl Math Comput，2011，36（1）：459-472.

[7]Liu M，Wang K.Global stability of stage-structured predator-prey models with Beddington-DeAngelis functional response[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011，16（9）：3792-3797.

[8]Sun X，Huo H，Ma C.Hopf bifurcation and stability in predator-prey model with a stage-structured for prey[J]. Appl Math Comput，2013，219（20）：10313-10324.

[9]Kar T K，Soovoojeet J.Stability and bifurcation analysis of a stage structured predator prey model with time delay[J]. Appl Math Comput，2012，219（8）：3779-3792.

[10]Song X，Chen L.Optimal harvesting and stability for a two-species competitive system with stage structure[J]. Math Biosci，2001，170（2）：173-186.

[11]Wang K.Permanence and global asymptotical stability of a predator-prey model with mutual interference[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2011，12（2）：1062-1071.

[12]Chen F，Chen Y，Guo S，et al.Global attractivity of a generalized lotka-volterra competition model[J].Differ Equ Dyn Syst，2010，18（3）：303-315.

[13]Saito Y，Takeuchi Y.A time-delay model for prey-predator growth stage structure[J].Canad Appl Math Quart，2003，11（3）：293-302.

[14]Xiao Y，Chen L.Global stability of a predator-prey system with stage structure for the predator[J].Acta Math Sin：Eng Ser，2003，19（2）：1-11.

[15]Song X，Chen L.A predator-prey system with stage-structured and harvesting for prey[J].Acta Math Appl Sin，2002，18（3）：423-430.

WU Daiyong

School of Mathematics and Computational Science,Anqing Normal University,Anqing,Anhui 246133,China

This paper studies a mutual interference stage structured predator-prey system with varying delay.By using the comparison principle of differential inequations and an iteration scheme,a set of sufficient conditions are obtained for the global attractivity of a unique positive equilibrium of the system.An example with its numerical simulations shows the feasibility of the main results.

stage structure;mutual interference;global attractivity;predator-prey;varying delay

研究了一類具有變時滯相互干擾階段結構捕食系統(tǒng)。利用微分不等式比較原理和迭代法得到了系統(tǒng)平衡態(tài)全局吸引的充分條件，通過舉例并進行數(shù)值模擬驗證了結論的可行性。

階段結構；相互干擾；全局吸引性；捕食-被捕食；變時滯

A

O175.1；O242.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1302-0185

WU Daiyong.Global attractivity of stage structured predator-prey system with varying delay.Computer Engineering and Applications,2014,50（24）：50-53.

安徽省高等學校省級自然科學基金項目（No.KJ2013Z186，No.KJ2011A197）。

伍代勇（1979—），男，副教授，研究方向：生物數(shù)學模型及計算機仿真。E-mail：wudy9901@163.com

2013-02-27

2013-07-01

1002-8331（2014）24-0050-04

CNKI網(wǎng)絡優(yōu)先出版：2013-08-05，http∶//www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130805.0943.005.html