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(杭州文海實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江杭州 310018)

圓是各地中考和競(jìng)賽的重要知識(shí)之一，且遍布各種題型，既涉及計(jì)算、論證，又涉及探索以及操作題等，考查的知識(shí)點(diǎn)側(cè)重于與圓有關(guān)的角、計(jì)算等.近幾年的競(jìng)賽或中考試題中，與圓有關(guān)的試題在沿襲傳統(tǒng)的題型外，還加大了探索、創(chuàng)新的力度，特別是增加了與圓有關(guān)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題、圓與代數(shù)的綜合題等．

在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，除了要能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)外，還要注意與其他知識(shí)的聯(lián)系，注意數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用．圓是數(shù)學(xué)中思想方法比較集中的知識(shí)點(diǎn)之一，如轉(zhuǎn)化思想、方程思想、分類思想、整體思想等．本文僅對(duì)近幾年全國(guó)各地區(qū)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽及中考中與圓有關(guān)的試題進(jìn)行分類研究，以供參考．

題型1與圓有關(guān)的角

圓心角、圓周角、弦切角以及它們的大小與所對(duì)(或所夾)弧的度數(shù)之間的關(guān)系是圓中最基本的數(shù)量關(guān)系，也是解決與角有關(guān)的幾何問(wèn)題的重要知識(shí)點(diǎn)，是證明與圓有關(guān)結(jié)論的常用工具．

例1如圖1，在ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且滿足∠ECD=∠ACB，AC的延長(zhǎng)線與△ABD的外接圓交于點(diǎn)F．證明：∠DFE=∠AFB.

(2014年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)試題)

解在ABCD中，AD∥BC,從而

∠ACB=∠DAF，∠BDC=∠ABD.

因?yàn)椤螦BD=∠AFD，∠ECD=∠ACB,所以

∠DAF=∠ECD，∠BDC=∠AFD,

于是

△DCE∽△FAD,

因此

由∠BAF=∠BDF，得

△ABF∽△DEF,

故

∠DFE=∠AFB.

點(diǎn)評(píng)本題圖形比較復(fù)雜，關(guān)鍵是根據(jù)圓中角的相等關(guān)系，并結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)找出相似三角形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判定角的等量關(guān)系．圓中角的等量關(guān)系給解決圖形的相似或全等提供了條件．

圖1 圖2

題型2垂徑定理的應(yīng)用

圓是軸對(duì)稱圖形，根據(jù)這一特征可以得到“垂徑定理”這一應(yīng)用非常廣泛的重要定理.利用垂徑定理可以解決有關(guān)線段長(zhǎng)度的計(jì)算、比例關(guān)系的證明以及其他與圓有關(guān)的綜合性問(wèn)題．

例2如圖2，點(diǎn)A在半徑為20的⊙O上，以O(shè)A為一條對(duì)角線作矩形OBAC，設(shè)直線BC交⊙O于點(diǎn)D,E.若OC=12，則線段CE,BD的長(zhǎng)度差是______．

(2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

從而

故CE-BD= (EM-CM)-(DM-BM)=

點(diǎn)評(píng)對(duì)于圓中有關(guān)線段長(zhǎng)度的計(jì)算或比較，垂徑定理是常用方法之一.應(yīng)用垂徑定理的關(guān)鍵在于有效利用弦、弦心距和圓的半徑(直徑)之間的關(guān)系，其中勾股定理以及直角三角形的其他性質(zhì)是解決此類問(wèn)題的輔助工具之一．

題型3圓的切線

直線與圓的位置關(guān)系是圓的重點(diǎn)知識(shí)，尤其是直線與圓相切時(shí)更具大量有用信息.切線的判定與性質(zhì)、弦切角與圓周角的關(guān)系、切線長(zhǎng)定理、圓冪定理等都是競(jìng)賽數(shù)學(xué)的常用知識(shí)．

圖3

(2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解設(shè)CE=4x，AE=y,則

DF=DE=3x,EF=6x.

聯(lián)結(jié)AD，BC,因?yàn)锳B為⊙O的直徑，AF為⊙O的切線，所以

∠EAF=90°,∠ACD=∠DAF.

又因?yàn)镈為Rt△AEF斜邊EF的中點(diǎn)，所以

DA=DE=DF，

從而

∠DAF=∠AFD，

于是

∠ACD=∠AFD，

因此

在Rt△AEF中，由勾股定理得

EF2=AE2+AF2，

即

36x2=y2+320.

設(shè)BE=z，由相交弦定理得

CE·DE=AE·BE，

即

yz=4x·3x=12x2，

從而y2+320=3yz.

(1)

由AD=DE，得

∠DAE=∠AED,

又∠DAE=∠BCE,∠AED=∠BEC,從而

∠BCE=∠BEC，

于是

BC=BE=z．

在Rt△ACB中，由勾股定理得

AB2=AC2+BC2，

即

(y+z)2=320+z2，

從而y2+2yz=320.

(2)

聯(lián)立式(1)和式(2)，解得y=8,z=16,故

AB=AE+BE=24．

點(diǎn)評(píng)“切線與經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直”這一性質(zhì)可以將切線與直角聯(lián)系起來(lái)，將圓的問(wèn)題與直角三角形聯(lián)系起來(lái)．切線的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用和方程思想是本題的主要考查內(nèi)容．

題型4四點(diǎn)共圓

四點(diǎn)共圓有3個(gè)性質(zhì)：(1)共圓的4個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的2個(gè)三角形的頂角相等；(2)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；(3)圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角．這3個(gè)性質(zhì)提供了圓中角之間的數(shù)量關(guān)系，為解決與角有關(guān)的計(jì)算或證明提供了條件．

例4設(shè)△ABC的外心、垂心分別為O,H,若點(diǎn)B,C,H,O共圓，則對(duì)于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度數(shù)．

(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解分3種情況討論：

(1)如圖4，若△ABC為銳角三角形，則

∠BHC=180°-∠A,∠BOC=2∠A.

由∠BHC=∠BOC，得

180°-∠A=2∠A,

于是

∠A=60°.

圖4 圖5

(2)如圖5，若△ABC為鈍角三角形，則

①當(dāng)∠A>90°時(shí)，∠BHC=180°-∠A，∠BOC=2(180°-∠A),由∠BHC+∠BOC=180°，得

3(180°-∠A)=180°，

于是

∠A=120°．

②當(dāng)∠A<90°時(shí)，不妨設(shè)∠B>90°，則

∠BHC=∠A，∠BOC=2∠A.

由∠BHC+∠BOC=180°，得

3∠A=180°，

于是

∠A=60°．

(3)若△ABC為直角三角形,則

①當(dāng)∠A=90°時(shí)，因?yàn)镺為邊BC的中點(diǎn)，B,C,H,O不可能共圓，所以∠A不可能等于90°.

②當(dāng)∠A<90°時(shí)，不妨設(shè)∠B=90°，此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，于是總有B,C,H,O共圓，因此∠A可以是滿足0°<∠A<90°的所有角．

綜上可得，∠A所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及120°．

點(diǎn)評(píng)分類討論是本例的重要思想方法，分類之后圖形中根據(jù)四點(diǎn)共圓得到角與角之間的數(shù)量關(guān)系是解決本題的基礎(chǔ)知識(shí)．

題型5三角形的內(nèi)切圓

例5在△ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，過(guò)△ABC的內(nèi)切圓圓心I作DE∥BC，分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解如圖6，設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)為a，b，c，內(nèi)切圓I的半徑為r，邊BC上的高為ha，則

從而

因?yàn)椤鰽DE∽△ABC，所以

于是

點(diǎn)評(píng)本題主要通過(guò)三角形面積的不同計(jì)算方法推導(dǎo)出三角形高與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系，然后利用相似三角形的比例關(guān)系得到未知線段與已知線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而求解．

圖6 圖7

題型6圓與圓的位置關(guān)系

2個(gè)圓的位置關(guān)系問(wèn)題一般都是通過(guò)輔助線進(jìn)行轉(zhuǎn)化．圓的基本性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)在2個(gè)圓問(wèn)題中的應(yīng)用極為廣泛，相切2個(gè)圓經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的公共切線，相交2個(gè)圓的公共弦以及聯(lián)結(jié)2個(gè)圓心的直線是常用的輔助線．

例6如圖7，⊙O的直徑為AB，⊙O1過(guò)點(diǎn)O，且與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)B,C為⊙O上的點(diǎn)，OC與⊙O1交于點(diǎn)D，且OD>CD．點(diǎn)E在OD上，且DC=DE，BE的延長(zhǎng)線與⊙O1交于點(diǎn)F，求證：△BOC∽△DO1F．

(2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

證明聯(lián)結(jié)BD.因?yàn)镺B為⊙O1的直徑，所以∠ODB=90°.又因?yàn)镈C=DE，所以△CBE是等腰三角形.

設(shè)BC與⊙O1交于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)OM，則∠OMB=90°．又OC=OB，從而

∠BOC= 2∠DOM=2∠DBC=

2∠DBF=∠DO1F,

而∠BOC,∠DO1F分別是等腰△BOC、等腰△DO1F的頂角，故△BOC∽△DO1F．

點(diǎn)評(píng)分別在2個(gè)圓中應(yīng)用圓周角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，盡可能地將角的等量關(guān)系挖掘出來(lái)，為證明三角形相似提供足夠的條件．

題型7與圓有關(guān)的比例線段

圓中有關(guān)等積式、等比式及混合等式等問(wèn)題主要與圓的相交弦定理、切割線定理以及三角形的相似等知識(shí)相關(guān)．這類問(wèn)題難度較大，在中考中不常出現(xiàn)，但在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中仍作為?？純?nèi)容出現(xiàn)．

例7如圖8，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP于點(diǎn)D.證明：AD2=BD·CD．

(2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

證明聯(lián)結(jié)OA，OB，OC.因?yàn)镺A⊥AP，AD⊥OP，所以由射影定理,得

PA2=PD·PO，AD2=PD·OD.

由切割線定理,得

PA2=PB·PC,

從而

PB·PC=PD·PO,

于是點(diǎn)D,B,C,O共圓.

由∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC，∠PBD=∠COD，得

△PBD∽△COD，

從而

故

AD2=PD·OD=BD·CD.

點(diǎn)評(píng)要證明乘積式，一般將乘積式轉(zhuǎn)化為比例式，然后將比例式中的4條線段組成相似三角形即可.如果線段不能組成三角形，就想辦法找等量關(guān)系，將其中的一條或幾條線段替換，再確定相似三角形．

圖8 圖9

題型8與圓有關(guān)的綜合題

圓作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在中考中也常常以綜合題的形式出現(xiàn).這類問(wèn)題一般以圓為問(wèn)題背景，綜合了幾何和代數(shù)的大量知識(shí)點(diǎn)，融合了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、方程函數(shù)等重要數(shù)學(xué)思想方法，全面考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

(1)求∠COB的度數(shù).

(2)求⊙O的半徑R.

(2012年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題)

解(1)因?yàn)锳E切⊙O于點(diǎn)E，所以

AE⊥CE.

由OB⊥AT，得

∠AEC=∠CBO=90°，

又∠BCO=∠ACE，從而

△AEC∽△OBC.

因?yàn)椤螦=30°，所以

∠COB=∠A=30°.

即

EC=AE·tan30°=3.

在△COB中，∠BOC=30°，即

從而

于是

又OC+EC=OM=R，得

整理得

R2+18R-115=0，

即

(R+23)(R-5)=0，

解得R=5或R=-23(舍去).故R=5.

圖10

(3)在EF的同一側(cè)，△COB經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，2個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E,F重合的三角形有6個(gè)(如圖10所示).

如圖9，延長(zhǎng)EO交圓O于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)DF.因?yàn)镋F=5，直徑ED=10，所以∠FDE=30°，從而

則

點(diǎn)評(píng)本題綜合性較強(qiáng)，重點(diǎn)考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)、平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)定義．

與圓有關(guān)的競(jìng)賽題或中考題題型豐富，本文只就幾類問(wèn)題舉一些典型例子來(lái)說(shuō)明如何有效利用圓的基本性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的關(guān)系及性質(zhì)來(lái)充分挖掘問(wèn)題條件與結(jié)論之間的關(guān)系，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的．