潘嘉凝 王萬平

(上海建筑設(shè)計(jì)研究院有限公司，上海200041)

1 造型元素

1.1 點(diǎn)

點(diǎn)是最基本的圖元，是由三個(gè)空間坐標(biāo)定義的一個(gè)位置。點(diǎn)沒有大小，但有位置。為確定點(diǎn)的位置，首先在空間中設(shè)置任意一點(diǎn)作為原點(diǎn)。然后，就可以定義某個(gè)點(diǎn)的位置在原點(diǎn)左側(cè)(或右側(cè))的多少個(gè)單位處、在原點(diǎn)上方(或下方)多少個(gè)單位處以及高于(或低于)原點(diǎn)多少個(gè)單位。這三個(gè)數(shù)字提供了該點(diǎn)在空間中的三維坐標(biāo)(如圖1所示)。

圖1 點(diǎn)

1.2 樣條曲線的歷史

樣條曲線(圖2)屬于曲線類型，在用于計(jì)算機(jī)建模之前，最初是為造船業(yè)開發(fā)的。船體設(shè)計(jì)師需要找到一種方法來繪制通過一組點(diǎn)的平滑曲線。[2]

圖2 樣條曲線

解決方法是將壓鐵(稱為節(jié)點(diǎn))放在控制點(diǎn)上，然后彎曲薄金屬條或木條(稱為樣條)使之通過所有壓鐵。

過渡樣條的物理特性意味著每個(gè)壓鐵的影響在接觸點(diǎn)處最大，并沿著樣條均勻遞減。若要更多地控制樣條的某個(gè)特定區(qū)域，制圖員只需添加更多的壓鐵即可。

但是此方案在數(shù)據(jù)交換方面存在明顯的問題。人們需要通過數(shù)學(xué)方式來描述曲線的形狀。三次多項(xiàng)式樣條曲線是制圖員所用木條的數(shù)學(xué)表示。將多項(xiàng)式樣條曲線引申后獲得B樣條曲線(即基本樣條曲線)，這種樣條曲線是分段多項(xiàng)式樣條曲線之和。

然后，通過引申 B樣條曲線，創(chuàng)建了一種稱為NURBS的數(shù)學(xué)表達(dá)法，自由曲線曲面造型技術(shù)就是使用這種表達(dá)法。

1.3 曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)法

多項(xiàng)式方程式是Alias所使用的曲線表示法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

1.3.1 多項(xiàng)式方程

從最簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)法開始，幾何上可以使用y=kx+b之類的方程式代表一條(二維)直線。對(duì)于每個(gè) x值，可以得出 y值，并且可以將這兩個(gè)值的關(guān)系用函數(shù)圖像來表示。此類方程式的一般形式是ax+by=c。等號(hào)左側(cè)的表達(dá)式稱為多項(xiàng)式(多項(xiàng)是指表達(dá)式包含多個(gè)項(xiàng))。

另外可以創(chuàng)建更加復(fù)雜的表達(dá)式，以x乘以自身，即y=x*x*x。不必在項(xiàng)中寫出所有x，通常只是將x相乘的次數(shù)以上標(biāo)形式表示。這種上標(biāo)稱為“指數(shù)”。所以，上面的表達(dá)式表示為y=x3。

帶有指數(shù)的多項(xiàng)式，例如:y=ax2+bx+c第一個(gè)x的指數(shù)(2)意味著此函數(shù)的圖像是曲線，而不是直線。

1.3.2 階數(shù)

多項(xiàng)式方程式的階數(shù)是方程式中的最大指數(shù)。直線方程式的最大指數(shù)是1

·線性方程式的階數(shù)是1。

·二次方程式(包含x2項(xiàng))的階數(shù)是2。

·三次方程式(包含 x3項(xiàng))的階數(shù)是3，依此類推。

1.3.3 參數(shù)表達(dá)法

有兩種常見方法可以創(chuàng)建曲線的表達(dá)式。隱式表示法將每個(gè)變量組合在一個(gè)較長的非線性方程式中，例如:ax3+by2+2cxy+2dx+2ey+f=0。在此表示法中，要計(jì)算出x值和y值才能在函數(shù)圖像上繪制這些點(diǎn)，因此必須對(duì)整個(gè)非線性方程式求解。

參數(shù)表示法將方程式重寫為較短的、容易解出的方程式，即將一個(gè)變量轉(zhuǎn)換為其他變量的值:x=a+bt+ct2+dt3+…y=g+ht+jt2+kt3+…

使用此表示法后，x和y的方程式就顯得非常簡單只需知道t(要計(jì)算x和y值的曲線上的點(diǎn))的值即可。

通過在空間中移動(dòng)點(diǎn)，可以繪制參數(shù)化曲線?？梢噪S時(shí)計(jì)算移動(dòng)點(diǎn)的x值和y值。這個(gè)點(diǎn)非常重要，因?yàn)樵S多工具都使用將參數(shù)值與線上的每個(gè)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的概念。這與曲線的U維相對(duì)應(yīng)。

1.3.4 創(chuàng)建復(fù)雜曲線

曲線方程式的階數(shù)越低，所描述的曲線就越簡單。表達(dá)復(fù)雜曲線最簡單的方法是提高曲線的階數(shù)，但是這種方法并非很有效。曲線的階數(shù)越高，要求進(jìn)行的計(jì)算就越多。此外，階數(shù)高于7的曲線的形狀中容易出現(xiàn)寬幅振蕩，這樣不適合進(jìn)行交互式建模。

比較好的方法是將階數(shù)相對(duì)較低(1－7)的曲線方程式接合在一起，形成更長、更復(fù)雜的復(fù)合曲線的曲線段。曲線段(或跨距)的接合點(diǎn)稱為編輯點(diǎn)。但是，不能完全忽視階數(shù)較高的曲線。階數(shù)是5和7的曲線具有某些優(yōu)點(diǎn)，例如曲率更加平滑并且更加“繃緊”。此類曲線經(jīng)常在汽車設(shè)計(jì)中使用。

1.3.5 平滑接合

一種由汽車行業(yè)開發(fā)且被廣泛所熟悉的曲線是Bezier曲線。Bezier曲線將三次曲線段組合在一起，每個(gè)曲線段包含四個(gè)控制點(diǎn)(起點(diǎn)、終點(diǎn)以及兩個(gè)“操縱點(diǎn)”)。Bezier曲線的問題是曲線段之間的接合未必平滑。

NURBS對(duì)此問題的解決方法是，使用上一個(gè)跨距的最后控制點(diǎn)作為當(dāng)前跨距的初始控制點(diǎn)。這樣可以確保曲線段之間平滑接合。

曲線的階數(shù)(圖3)決定了跨距之間接合的平滑度。階數(shù)是1的(線性)曲線在接合處提供位置連續(xù)性。階數(shù)是2的(二次)曲線提供切線連續(xù)性。階數(shù)是3的(三次)曲線提供曲率連續(xù)性。

圖3 曲線的階數(shù)

2 造型技術(shù)的分類

在數(shù)字化設(shè)計(jì)環(huán)境下，造型技術(shù)主要分為:

1)Mesh多邊形造型技術(shù)，也稱為網(wǎng)格建模技術(shù)(圖4左);

2)Nurbs簡稱自由曲線曲面造型技術(shù)(圖4右、圖5)。

這兩種主流造型技術(shù)的區(qū)別和適用特點(diǎn)(表1):

表1 主流造型技術(shù)特點(diǎn)

3 M esh多邊形造型技術(shù)

行業(yè)內(nèi)基于Mesh多邊形建模技術(shù)(圖6)的工具主要有:

1)筆刷類:Zbrush，Mudbox;

2)配合硬件操控類:三維掃描抄數(shù)儀等;

3)細(xì)分曲面類(Sub-Div):Maya;

Mesh造型技術(shù)的特點(diǎn):

1)對(duì)曲線曲面的描述不精確;

2)視覺感官的光滑程度與多邊形網(wǎng)格的疏密程度有關(guān)，網(wǎng)格越密造型越接近光滑，如圖6;

3)偏感性和直覺化的造型創(chuàng)作方式;

4)適合生物等仿生造型的創(chuàng)建，以滿足視覺效果需求為主;

5)缺乏設(shè)計(jì)流程的理念;

6)Mesh轉(zhuǎn)Nurbs比較困難，涉及到逆向工程等專項(xiàng)技術(shù)。

圖6 多邊形網(wǎng)格

4 Nurbs自由曲線曲面造型技術(shù)

NURBS是非均勻有理B樣條曲線(Non-Uniform Rational B-Splines)。1991年，國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)頒布的工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換標(biāo)準(zhǔn)STEP中，把NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學(xué)方法。[1]

NURBS曲線和NURBS曲面在傳統(tǒng)的制圖領(lǐng)域是不存在的，是為使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行3D建模而專門建立的。在3D建模的內(nèi)部空間用曲線和曲面來表現(xiàn)輪廓和外形。

Nurbs特點(diǎn):

1)真正意義上的曲線曲面;

2)Nurbs造型方式的流程化特點(diǎn)與產(chǎn)品的設(shè)計(jì)流程類似;

3)能非常好地配合后端制造需要;

4)Nurbs轉(zhuǎn)Mesh比較容易;

5)制造業(yè)建模的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

結(jié)合上述對(duì)Nurbs以及Mesh的特點(diǎn)分析比較，可對(duì)行業(yè)內(nèi)主流設(shè)計(jì)工具按其基于的造型技術(shù)進(jìn)行分類(表2):

表2 主流設(shè)計(jì)工具基于造型技術(shù)分類

另外還有一類工具結(jié)合了Nurbs和Mesh/Sub-Div細(xì)分表面建模技術(shù)的特點(diǎn)，例如 Rhino的TSpline以及CATIA的Image＆Shape，這類造型技術(shù)讓使用基于Nurbs作為模型工具的設(shè)計(jì)師輕松地創(chuàng)作出有機(jī)生物和仿生造型。是一種基于NURBS的新建模技術(shù)，可以將其稱為NURBS的Sub-Div細(xì)分建模工具。由于基于NURBS所以具有NURBS的的基本特性，模型可以做到非常的精確。同時(shí)設(shè)計(jì)人員可以通過簡單的拖，拉，擠等動(dòng)作就可以做出自由和仿生的造型。而且還具有部分把多邊形模型轉(zhuǎn)成NURBS的逆向功能。

5 矛盾與對(duì)策

之所以從造型技術(shù)的原理去研究其準(zhǔn)確性、唯一性，是因?yàn)榻ㄖO(shè)計(jì)有別于CG視覺藝術(shù)只停留在畫面里。建筑設(shè)計(jì)的成果是一個(gè)看得見摸得著，需要實(shí)實(shí)在在建造出來的真實(shí)的對(duì)象。因而考慮如何把造型設(shè)計(jì)出來只是一個(gè)開始，還需研究如何把設(shè)計(jì)建造出來。

在對(duì)造型技術(shù)及其工藝特點(diǎn)有了一個(gè)基本的概念后，可以得出以下結(jié)論:

1)任何精確的造型都是可以描述唯一性的;

2)能描述唯一性的，必定是能以數(shù)學(xué)方程式表達(dá);

3)Nurbs就是一種能精確描述自由造型的造型技術(shù);

4)傳統(tǒng)圖紙已經(jīng)無法描述 Nurbs造型的唯一性。

這也是制造業(yè)利用模型數(shù)據(jù)傳遞設(shè)計(jì)信息替代二維圖紙的原因之一。

現(xiàn)實(shí)矛盾是先進(jìn)的造型技術(shù)與落后的圖紙表達(dá)之間的矛盾。畢竟在建筑業(yè)圖紙是具有法律效應(yīng)的設(shè)計(jì)資料文件。因此化解這對(duì)矛盾最佳的途徑就是“翻譯”。將只有計(jì)算機(jī)能運(yùn)算的設(shè)計(jì)信息翻譯成傳統(tǒng)圖紙能表達(dá)的形式，同時(shí)翻譯成現(xiàn)場(chǎng)工程技術(shù)人員能夠使用，滿足建造工藝的表達(dá)式。

常規(guī)的做法有:

1)近似擬合法

暫時(shí)犧牲曲線的連續(xù)性，將原本曲率連續(xù)的Nurbs曲線分別為若干近似圓弧，便于施工圖中尺寸標(biāo)注(圖7-8);

2)控制點(diǎn)定位法

提取模型的造型特征信息，例如三維坐標(biāo)值(圖9);

3)設(shè)計(jì)成果封裝交付法

即在交付二維圖紙的同時(shí)，提交與二維設(shè)計(jì)成果匹配的三維設(shè)計(jì)成果及其衍生數(shù)據(jù)清冊(cè)(圖10)。

由此可見造型技術(shù)的工藝特點(diǎn)不僅改變了建筑設(shè)計(jì)的技法，同時(shí)影響著建筑業(yè)內(nèi)各環(huán)節(jié)和參與方之間溝通協(xié)作的思維模式。

使用上述“翻譯”的做法實(shí)屬無耐之舉。在任何一次翻譯轉(zhuǎn)換的過程中，都會(huì)或多或少地發(fā)生原始光滑連續(xù)的曲線曲面與轉(zhuǎn)換后可圖紙表達(dá)造型的誤差，這樣就需要有一個(gè)范圍，就是公差，用來確定精度。公差越小，精度就越高。

例如三維曲面幕墻的立面展開圖，對(duì)復(fù)雜的曲面幕墻展開，面積和形狀或多或少會(huì)有所變化的，好比一張嶄新的A4紙，被揉搓折皺后再展開永遠(yuǎn)恢復(fù)不到原來的樣子。但是只要曲面幕墻展開后的面積或者邊界條件與展開前的差值在

6 結(jié)語

圖10 設(shè)計(jì)成果封裝交付法

允許幕墻加工安裝允許公差范圍內(nèi)，就是滿足工藝要求。

因此公差在實(shí)際項(xiàng)目的建筑造型設(shè)計(jì)中就是后端加工制造工藝精度、材料自身特性應(yīng)環(huán)境溫度影響產(chǎn)生的應(yīng)力應(yīng)變的允許誤差。且任何一個(gè)項(xiàng)目都需在設(shè)計(jì)之初就確定合適的公差，并且一旦設(shè)定，中途不能隨意修改。

一個(gè)優(yōu)秀的建筑少不了打動(dòng)人的造型，造型反應(yīng)出一個(gè)時(shí)代環(huán)境下人的思想感情、使用要求和審美意識(shí)。我們?cè)诮ㄖ煨蛣?chuàng)作中既要突破傳統(tǒng)局限，將傳統(tǒng)與現(xiàn)代科技和時(shí)代精神有機(jī)結(jié)合起來，在構(gòu)思、造型、藝術(shù)有所創(chuàng)新突破。

但受到材料特性、工藝要求、可建造性分析結(jié)果和質(zhì)量工期可控制壓力等因素限制，建筑設(shè)計(jì)在方案之初就應(yīng)充分考慮造型技術(shù)的工藝特點(diǎn)。要達(dá)到怎樣的預(yù)期效果等。這些目標(biāo)和需求明確了，技術(shù)指標(biāo)和技術(shù)路線自然也清晰了。

[1]百度百科

[2]Alias Help Document

[3]周培德.計(jì)算幾何:算法設(shè)計(jì)與分析(第3版)[M].清華大學(xué)出版社，2008.