吳志強(qiáng)， 陳世棟,2， 雷 娜,2， 宮明旭

(1.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系，天津 300072;2.北汽福田汽車股份有限公司 工程研究總院，北京 102206)

三層結(jié)構(gòu)模型的內(nèi)共振和組合共振

吳志強(qiáng)1， 陳世棟1,2， 雷 娜1,2， 宮明旭1

(1.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系，天津 300072;2.北汽福田汽車股份有限公司 工程研究總院，北京 102206)

主要對三層結(jié)構(gòu)模型的內(nèi)共振和組合共振實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了研究。通過模態(tài)設(shè)計(jì)使得結(jié)構(gòu)一、二階模態(tài)頻率之比接近1:3。經(jīng)振動(dòng)臺水平基礎(chǔ)激勵(lì)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：以一階模態(tài)頻率、二階模態(tài)頻率激勵(lì)，都可激發(fā)出一、二階模態(tài)間的內(nèi)共振行為，同時(shí)該結(jié)構(gòu)中還存在多種組合共振行為。為下一步非線性振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置的改進(jìn)奠定了基礎(chǔ)。

三層結(jié)構(gòu)；內(nèi)共振；組合共振

組合共振、內(nèi)共振現(xiàn)象均是非線性系統(tǒng)典型行為。盡管已有大量的理論分析[1-3]工作，但實(shí)驗(yàn)研究的報(bào)道并不多。

文獻(xiàn)[4-5]分別針對T型梁、懸臂梁開展了實(shí)驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)存在內(nèi)共振，并且能量是從低振幅高頻率向高振幅低頻率傳遞。由于內(nèi)共振提供了傳遞能量的手段，將激勵(lì)的能量通過直接激發(fā)的模態(tài)傳遞到非直接激發(fā)的基本模態(tài)中。文獻(xiàn)[6]對旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的內(nèi)共振和組合共振進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)表明由于內(nèi)共振的存在，將會(huì)誘發(fā)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[7]從理論分析和實(shí)驗(yàn)研究兩方面對雙鉸圓拱進(jìn)行非線性分析，結(jié)果表明其存在跳躍現(xiàn)象以及內(nèi)共振現(xiàn)象。文獻(xiàn)[8]對參激屈曲梁的倍周期分岔和混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，在實(shí)驗(yàn)中觀察到了周期吸引子和混沌吸引子共存以及間隙混沌現(xiàn)象。文獻(xiàn)[9]通過對文物“龍洗”進(jìn)行了非線性振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)水珠噴起現(xiàn)象就是干摩擦引起的自激振動(dòng)與殼液耦合系統(tǒng)具有兩個(gè)鏡面對稱結(jié)構(gòu)的濕模態(tài)巧妙結(jié)合相互作用的結(jié)果。從而解釋了中華文物龍洗有趣現(xiàn)象的產(chǎn)生所具有的深刻科學(xué)道理。文獻(xiàn)[10]對內(nèi)共振和外共振聯(lián)合作用下的索-梁組合結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)問題進(jìn)行了研究，研究發(fā)現(xiàn)索和梁之間在特定的內(nèi)外共振下才會(huì)出現(xiàn)持續(xù)的模態(tài)交替現(xiàn)象。

隨著人們對非線性動(dòng)力學(xué)認(rèn)識的加深，以工程裝備、工程結(jié)構(gòu)為背景的非線性實(shí)驗(yàn)研究的重要性越來越得到重視[11]。

在結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域，多層結(jié)構(gòu)的是經(jīng)常使用的形式之一，如海上采油平臺等等，如何避免非線性現(xiàn)象造成此類的結(jié)構(gòu)破壞是值得探討的問題。作為非線性動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)探索，本文選擇三層結(jié)構(gòu)模型(見圖1)為對象進(jìn)行內(nèi)共振及組合共振實(shí)驗(yàn)分析。

圖1 三層結(jié)構(gòu)Fig.1 Three-story structure

1 實(shí)驗(yàn)裝置及模態(tài)參數(shù)

本文討論的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。選擇這種結(jié)構(gòu)形式，主要的原因是尺寸參數(shù)易于調(diào)節(jié)且便于加工制造，較易通過模態(tài)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)模態(tài)頻率間的內(nèi)共振關(guān)系。采用市場常見的材料，經(jīng)有限元試算，確定出合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行加工。

該結(jié)構(gòu)主要由豎直承重板和結(jié)構(gòu)橫梁組成。

豎直承重板：共兩塊，采用Q235的冷軋鋼板，其材料密度為7 800 kg/m3，彈性模量為2.2×1011Pa，泊松比為0.3。鋼板厚度為1 mm，用線切割工藝將鋼板加工成564 mm×100 mm的長方形板材，在板的長度方向打四排固定孔，孔徑為8 mm，孔距為25 mm，為鋼板與結(jié)構(gòu)橫梁連接螺栓安裝預(yù)留。

結(jié)構(gòu)橫梁：共四塊200 mm×100 mm，采用高密度聚乙烯材質(zhì)，其材料密度為1 500 kg/m3，彈性模量為1.2×109Pa，泊松比為0.4。經(jīng)表面銑平后，在兩端截面處對照豎直承重板的螺栓安裝預(yù)留孔位置螺紋，螺紋直徑8 mm。

組裝：用螺栓、墊片、螺母將四塊聚乙烯橫梁和兩塊鋼板裝配在一起，結(jié)構(gòu)的層高為188 mm。注意調(diào)整裝配間距，減小裝配應(yīng)力，保證裝配結(jié)構(gòu)水平豎直。

實(shí)驗(yàn)用到的儀器及軟件主要包括：TST5912動(dòng)態(tài)信號測試分析系統(tǒng)、TSTMP模態(tài)分析軟件、力錘、功率放大器、傳感器以及激振臺等。

為確定模型結(jié)構(gòu)的力學(xué)參數(shù)，先開展模態(tài)實(shí)驗(yàn)。首先在模態(tài)分析軟件中進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，建立三層結(jié)構(gòu)模型；其次在模型中左右各設(shè)置三個(gè)測點(diǎn)(測點(diǎn)位于每排螺釘中點(diǎn)位置)，在三層結(jié)構(gòu)對應(yīng)的位置布置相應(yīng)的測點(diǎn)，并利用錘擊法依次對每個(gè)測點(diǎn)進(jìn)行敲擊，利用傳感器采集數(shù)據(jù)；最后利用軟件進(jìn)行計(jì)算分析，得到結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)圖如圖2所示。由此可讀取結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率，其與有限元結(jié)果基本一致(見表1)。

表1 結(jié)構(gòu)前三階模態(tài)頻率

圖2 幅頻響應(yīng)Fig.2 Amplitude-frequency response

實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算都表明：第一階頻率和第二階頻率之比接近1∶3。單純頻率關(guān)系還不能保證內(nèi)共振現(xiàn)象的發(fā)生。為弄清該結(jié)構(gòu)中否存在1∶3內(nèi)共振現(xiàn)象,以下利用電磁振動(dòng)臺開展了水平基礎(chǔ)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)研究。

圖3 激振臺實(shí)驗(yàn)裝置Fig.3 Device of actuating vibration table

2 內(nèi)共振現(xiàn)象

利用振動(dòng)臺對結(jié)構(gòu)進(jìn)行激振，當(dāng)外激勵(lì)頻率為第一階模態(tài)的固有頻率6.54 Hz時(shí)，可以將第二階的模態(tài)頻率19.73 Hz激發(fā)出來，其功率譜圖見圖4。

圖4 激振頻率為6.54 Hz時(shí)的功率譜Fig.4 Power spectrum when exciting frequency is 6.54 Hz

當(dāng)外激勵(lì)頻率為第二階模態(tài)的固有頻率19.73 Hz時(shí)，也可以將第一階的模態(tài)頻率6.54 Hz激發(fā)出來，如圖5所示。

以上實(shí)驗(yàn)表明，激勵(lì)的能量可以通過直接激發(fā)的模態(tài)傳遞到非直接激發(fā)的模態(tài)中，即可由低階模態(tài)向高階模態(tài)傳遞能量，也可由高階模態(tài)向低階模態(tài)傳遞能量。這說明結(jié)構(gòu)中確實(shí)存在1∶3內(nèi)共振現(xiàn)象。

圖5 激振頻率為19.73 Hz時(shí)的功率譜Fig.5 Power spectrum when exciting frequency is 19.73 Hz

3 組合共振實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

在較低頻率激勵(lì)下，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中存在多種組合共振現(xiàn)象。

① 當(dāng)組合激勵(lì)頻率Ω=4.93 Hz時(shí)，其組合形式為：(29.59-19.73)/2。對應(yīng)自功率譜如圖6所示。

圖6 在4.93Hz處的功率譜Fig.6 Power spectrum when exciting frequency is 4.93 Hz

在圖6中，當(dāng)激振頻率為4.93 Hz時(shí)，可以將結(jié)構(gòu)的第二階和第三階頻率激發(fā)出來，這兩個(gè)頻率恰好是組合頻率構(gòu)成的元素。在圖中也存在其他頻率成分，這些是倍周期頻率成分。

② 當(dāng)組合激勵(lì)頻率Ω=9.86 Hz時(shí)，其組合形式為：(29.59-19.73)。對應(yīng)自功率譜如圖7所示。

在圖7中，當(dāng)激振頻率為9.86 Hz時(shí)，可以將結(jié)構(gòu)的第二階和第三階頻率激發(fā)出來，這兩個(gè)頻率恰好是組合頻率構(gòu)成的元素。

③ 當(dāng)組合激勵(lì)頻率Ω=13.19 Hz時(shí)，其組合形式為：(19.73-6.54)。對應(yīng)自功率譜如圖8所示。

圖7 在9.86 Hz處的功率譜Fig.7 Power spectrum when exciting frequency is 9.86 Hz

圖8 在13.19 Hz處的功率譜Fig.8 Power spectrum when exciting frequency is 13.19 Hz

當(dāng)激振頻率為13.19Hz時(shí)，可以將結(jié)構(gòu)的第一階、第二階和第三階頻率激發(fā)出來。

因此在組合共振中，組合頻率對結(jié)構(gòu)安全性和可靠性分析將產(chǎn)生影響。組合共振現(xiàn)象再次說明，非線性系統(tǒng)具有比線性系統(tǒng)更多的共振機(jī)會(huì)，同時(shí)表明，系統(tǒng)的響應(yīng)絕不是各個(gè)激勵(lì)引起的響應(yīng)之和。

4 結(jié) 論

本文主要對一類三層結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行了模態(tài)實(shí)驗(yàn)和非線性振動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究，得到如下結(jié)論：

(1) 該三層結(jié)構(gòu)第一階頻率與第二階頻率之比接近1∶3。

(2) 水平基礎(chǔ)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)響應(yīng)存在1∶3內(nèi)共振現(xiàn)象，以一階模態(tài)頻率、二階模態(tài)頻率激勵(lì)，都可激發(fā)出一、二階模態(tài)間的內(nèi)共振行為。

(3) 水平基礎(chǔ)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)響應(yīng)中存在多種組合共振，其對結(jié)構(gòu)振動(dòng)所產(chǎn)生的影響是不可忽略的。

以上結(jié)論多層工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和健康監(jiān)測有一定參考作用。

[ 1 ] 陳予恕. 非線性振動(dòng)系統(tǒng)的分叉和混沌理論[M]. 北京：高等教育出版社，1993.

[ 2 ] Nayfeh A H，Pai P F. Linear and nonlinear structural mechanics[M]. New York: Wiley-Interscience，2002.

[ 3 ] 胡海巖. 應(yīng)用非線性動(dòng)力學(xué)[M]. 北京：航天工業(yè)出版社，2000.

[ 4 ] Malatkar P，Nayfeh A H. A plethora of nonlinear dynamics phenomena observed in a simple cantilever plate[C]， ASME 2003 Design Engineering Technical Conferences，Chicago, llinois, USA 2003.

[ 5 ] Alhazza K A，Nayfeh A H, Daqaq M F. Delayed-acceleration feedback for active-multimode vibration control of cantilever beams[C].Proceedings of the ASME 2007 International Design Engineering Technical Conferences，Las Vegas, Nevada, USA 2007.

[ 6 ] Inoue T, Ishida Y. Chaotic vibration and internal resonance phenomena in rotor systems[J]. Journal of vibration and acoustics, 2005, 128(2): 156-169.

[ 7 ] Benedettini F, Alaggio R, Zulli D. Nonlinear coupling and instability in the forced dynamics of a non-shallow arch: theory and experiments[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 68(4): 505-517.

[ 8 ] 季進(jìn)臣，陳予恕，葉 敏，等. 參激屈曲梁的倍周期分岔和混沌運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究[J]. 實(shí)驗(yàn)力學(xué)，1997，12(2)：248-259. JI Jin-chen, CHEN Yu-shu, YE Min,et al. Experimental investigation on the period doubleling bifurcation and chaotic motions of a parametrically excited buckled beam[J]. Journal of Experimental Mechanics, 1997, 12(2):248-259.

[ 9 ] 劉習(xí)軍，王大鈞，陳予恕. 中華文物龍洗(魚洗)有趣現(xiàn)象的非線性分析[J]. 科學(xué)通報(bào)，1996，41(5)：413-417. LIU Xi-jun, WANG Da-jun, CHEN Yu-shu. Nonlinear analysis of the mystenous chinese antiquities dragon washbasin phenomenon[J]. Chinese Science Bulletin, 1996, 41(5): 413-417.

[10] 魏明海, 肖儀清.內(nèi)外共振聯(lián)合作用下索-梁組合結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)分析[J].振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(7): 79-84. WEI Ming-hai, XIAO Yi-qing. Nonlinear vibration analysis for a cable-beam coupled system under simultaneous internal and external resonances[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(7): 79-84.

[11] 孟 光，孟慶國，詹世革，等. 關(guān)于加強(qiáng)針對國家重大裝備的動(dòng)力學(xué)與控制研究的建議[J]. 力學(xué)進(jìn)展，2007，37(1)：135-141. MENG Guang, MENG Qing-guo, ZHAN Shi-ge,et al. Suggestion on the study of dynamics and control in key equipments[J]. Advances in Mechanics, 2007,37(1): 135-141.

Internal and combinational resonances of a three-story structure

WU Zhi-qiang1, CHEN Shi-dong1,2, LEI Na1,2, GONG Ming-xu1

(1. Department of Mechanics, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China；2. Engineering Research Institute of Beijing FOTON CO., LTD., Beijing 102206, China)

Experiments for internal and combinational resonances of a three-story structure were investigated. The frequency ratio between the first and the second modes of the structure was set near 1∶3 with a modal design. The internal resonance behaviors were found when the excitation frequency was close to the first modal frequency or the second one. Meanwhile, several types of combinational resonances were found in this structure. These results laid a foundation for future modification of a nonlinear vibration equipment.

three-layer structure; internal resonance; combination resonance

國家自然科學(xué)基金( 11172198);教育部博士點(diǎn)基金(2009003211005);教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(NCET-15-0247)

2013-01-22 修改稿收到日期：2013-05-22

吳志強(qiáng) 男，教授，博士生導(dǎo)師,1968年生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.001