吳海霞

摘要：針對一類具有區(qū)間時(shí)滯和隨機(jī)干擾的BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性問題，通過構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函，應(yīng)用隨機(jī)分析和自由權(quán)值矩陣方法，并考慮時(shí)滯區(qū)間范圍，得到了新的穩(wěn)定性充分條件。該條件能夠保證時(shí)滯BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在均方意義下是全局漸近穩(wěn)定的，同時(shí)適用于快時(shí)滯和慢時(shí)滯，其適用范圍更廣。最后，通過一個(gè)仿真實(shí)例證明了定理的有效性。

關(guān)鍵詞：雙向聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；全局漸近穩(wěn)定性；區(qū)間時(shí)滯；線性矩陣不等式

中圖分類號：TP183 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）19-4544-06

1 概述

雙向聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Bidirectional Associative Memory， BAM）已經(jīng)成功應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，如模式識別、圖像處理、自動控制、模型辨識和優(yōu)化問題等。所有這些成功的應(yīng)用都必須依賴于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。眾所周知，許多實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中均含有時(shí)滯的現(xiàn)象，在BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中也不例外。例如，在模擬神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路實(shí)現(xiàn)中，由于運(yùn)放器的開關(guān)速度限制會產(chǎn)生時(shí)滯，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的軸突信號傳輸延遲也會產(chǎn)生時(shí)滯。這些都會導(dǎo)致不良的動態(tài)網(wǎng)絡(luò)特性，即系統(tǒng)失穩(wěn)、產(chǎn)生振蕩甚至混沌，造成系統(tǒng)性能指標(biāo)的下降。目前，時(shí)滯BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析問題已經(jīng)取得了大量的研究成果[1-7]，其中時(shí)滯類型包括常時(shí)滯、變時(shí)滯與分布時(shí)滯等。

事實(shí)上，隨機(jī)因素確實(shí)存在于很多的實(shí)際系統(tǒng)，比如物理電路、生物系統(tǒng)等。為了抵消這些不確定因素的影響，必須將系統(tǒng)描述為隨機(jī)系統(tǒng)。一般而言，在生物神經(jīng)系統(tǒng)中，突觸遞質(zhì)的傳遞會受到隨機(jī)噪聲和其他一些概率事件的影響，這些隨機(jī)擾動理所當(dāng)然的會影響神經(jīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)建模一個(gè)基本原則是盡可能模擬實(shí)際情況，因此，在BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模中考慮隨機(jī)擾動的也是不可避免的。截止目前，已有許多國內(nèi)外學(xué)者致力于帶有隨機(jī)干擾的時(shí)滯BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性有研究工作[8-9]。然而，對于某些系統(tǒng)，在時(shí)滯非零時(shí)是穩(wěn)定的，時(shí)滯為零時(shí)卻是不穩(wěn)定的。因此，研究非零時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性十分重要，非零時(shí)滯可以將時(shí)滯定義在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，應(yīng)用范圍更廣。

本文將應(yīng)用隨機(jī)分析和自由權(quán)值矩陣方法，構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函并考慮時(shí)滯區(qū)間，研究新的穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則，用以保證時(shí)滯BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在均方意義下是全局漸近穩(wěn)定的。

2 系統(tǒng)模型及引理

考慮以下帶區(qū)間時(shí)滯的雙向聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

[du1i（t）dt=-a1iu1i（t）+j=1mw1jif1j（u2j（t-τ2j（t）））+Ii， i=1，2，…，n，du2j（t）dt=-a2ju2j（t）+i=1nw2ijf2i（u1i（t-τ1i（t）））+Jj， j=1，2，…，m，] （1）

其中[u1i（t）]和[u2j（t）]分別是第[i]個(gè)神經(jīng)元和第[j]個(gè)神經(jīng)元的狀態(tài)；[f1j（?）]，[f2i（?）]分別表示第[i]個(gè)神經(jīng)元和第[j]個(gè)神經(jīng)元的激活函數(shù)；[Ii，Jj]表示在[t]時(shí)刻的外部輸入；[a1i，a2j]為正數(shù)，分別表示第[i]個(gè)神經(jīng)元和第[j]個(gè)神經(jīng)元的被動衰減率；[w1ji，w2ij]表示突觸連接權(quán)值；[τ1i（t），τ2j（t）]為時(shí)變時(shí)滯。有關(guān)系統(tǒng)（1）的初始條件假設(shè)如下：

[u1i（s）=?u1i（s）， t∈-τ1，0， i=1，2，…，n，u2j（s）=?u2j（t）， t∈-τ2，0， j=1，2，…，m.]

假設(shè)1 在系統(tǒng)（1）神經(jīng)元激活函數(shù)[f1j（?）]和[f2i（?）]有界，且存在正數(shù)[l（1）j>0]和[l（2）i>0]滿足：

[f1j（ξ1）-f1j（ξ2）≤l（1）jξ1-ξ2， f2i（ξ1）-f2i（ξ2）≤l（2）iξ1-ξ2， ?ξ1，ξ2∈R， i=1，2，…，n， j=1，2，…，m.]

按照通常做法，假設(shè)[u1?=u?11，u?12，…，u?1nT， u2?=u?21，u?22，…，u?2mT]是系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)。為了簡化證明過程，通過變換[x1i（t）=u1i（t）-u?1i，][x2j（t）=u2j（t）-u?2j，] [f2i（x1i（t））=f2i（x1i（t）+u?1i）-f2i（u?1i），] [f1j（u2j（t））=f1j（u2j（t）+u?2j）-f1j（u?2j）， ]轉(zhuǎn)移系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)到新系統(tǒng)的原點(diǎn)，得到以下系統(tǒng)模型：

[x1i（t）=-a1ix1i（t）+j=1mw1jif1j（x2j（t-τ2j（t）））， i=1，2，…，n，x2j（t）=-a2jx2j（t）+i=1nw2ijf2i（x1i（t-τ1i（t）））， j=1，2，…，m. ] （2）

將式（2）改寫為矩陣形式，則有：

[x1（t）=-A1x1（t）+W1f1（x2（t-τ2（t））），x2（t）=-A2x2（t）+W2f2（x1（t-τ1（t））），] （3）

其中[x1（t）=x11（t），x12（t），…，x1n（t）T， x2（t）=x21（t），x22（t），…，x2m（t）T， ] [A1=diaga11，a12，…，a1n， ][ A2=diaga21，a22，…，a2m]，

[W1=w1jim×nT， W2=w2ijn×mT， f1（x2）=f11（x2），f12（x2），…，f1m（x2）T，][f2（x1）=f21（x1），f22（x1），…，f2n（x1）T，]

[τ1（t）=τ11（t），x12（t），…，τ1n（t）T，] [τ2（t）=τ21（t），τ22（t），…，τ2m（t）T.]

顯然，神經(jīng)元激活函數(shù)具有如下性質(zhì)：endprint

[fT1（x2（t））f1（x2（t））≤x2T（t）LT1L1x2（t），fT2（x1（t））f2（x1（t））≤x1T（t）LT2L2x1（t），] （4）

其中[L1=diagl（1）1，l（1）2，…，l（1）m]，[L2=diagl（2）1，l（2）2，…，l（2）n.]

接下來，將考慮如下具有區(qū)間時(shí)滯和隨機(jī)干擾的BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

[dx1（t）=-A1x1（t）+W1f1（x2（t-τ2（t）））dt +C1x1（t）+D1x2（t-τ2（t））dω（t），dx2（t）=-A2x2（t）+W2f2（x1（t-τ1（t）））dt +C2x2（t）+D2x1（t-τ1（t））dω（t），] （5）

其中[ω（t）=ω1（t），ω2（t），…，ωl（t）T]是一個(gè)定義在完備概率空間[（Ω，?，?tt≥0，）]上的布朗運(yùn)動（Brownian motion）。

假設(shè)2 時(shí)滯[τ1（t）]和[τ2（t）]滿足：

[0≤τ_1≤τ1（t）≤τ1， 0≤τ_2≤τ2（t）≤τ2，] （6）

[τ1（t）≤μ1， τ2（t）≤μ2，] （7）

其中[0≤τ_1<τ1， 0≤τ_2<τ2， μ1]和[μ2]為正常量。

引理1 對于任意適當(dāng)維數(shù)常數(shù)矩陣[D]和[N]，矩陣[F（t）]滿足[FT（t）F（t）≤I]，有：

（i） 對任意常數(shù)[ε>0，][DF（t）N+NTFT（t）DT≤ε-1DDT+εNTN，]

（ii） 對任意常數(shù)[P>0]，[2aTb≤ aTP-1a+bTPb.]

引理2 [10] 隨機(jī)微分方程的平凡解

[d（x（t），y（t），t）=G（x（t），y（t），t）dt+H（x（t），y（t），t）dω（t）] [t∈t0，T]

有：

[x（t）=?x（t） t∈-τ，0， y（t）=?y（t） t∈-ρ，0，] [G：R+×Rn×Rn→Rn] 和[H：R+×Rn×Rn→Rn×m]在概率上是全局漸近穩(wěn)定的，假如存在函數(shù)[V（x（t），y（t），t）∈R+×Rn×Rn]在Lyapunov意義上是正定的并且滿足

[?V（x（t），y（t），t）=?Vdt+gradVG+12traceHHTHess（V）<0.]

矩陣[Hess（V）]表示Hessian矩陣的二階偏導(dǎo)數(shù)。

3 全局漸近穩(wěn)定性

首先，定義

[g1（t）=-（A1+ΔA1）x1（t）+（W1+ΔW1）f1（x2（t-τ2（t））），g2（t）=-（A2+ΔA2）x2（t）+（W2+ΔW2）f2（x1（t-τ1（t））），]

[g3（t）=C1+ΔC1x1（t）+D1+ΔD1x2（t-τ2（t）），g4（t）=C2+ΔC2x2（t）+D2+ΔD2x1（t-τ1（t）），]

那么，系統(tǒng)（1） 被記為：

[dx1（t）=g1（t）dt+g3（t）dω（t），dx2（t）=g2（t）dt+g4（t）dω（t）.] （8）

定理1 對于給定的正常數(shù)[0≤τ_1<τ1， 0≤τ_2<τ2， μ1]和[μ2]，系統(tǒng)（5）在均方意義下是全局漸近穩(wěn)定的，如果存在矩陣， [Pi>0， Qi≥0， Ri≥0， Ti≥0， i=1，2， Zj>0， j=1，2，…，8，][N（i）j，M（i）j，][S（i）j， j=1，2， i=1，2，]和兩個(gè)正常量[α1， α2，]使得以下LMI（9）成立：

[Ξ=Ξ0Ξ1Ξ2Ξ3Ξ4?-Ξ11000??-Ξ2200???-Ξ330????-Ξ44<0，] （9）

其中

[Ξ0=?1?T2U1?T3U2?T4U3?T5U4?-U1000??-U200???-U30????-U4， Ξi=τiN（i）1hiM（i）1hiS（i）1τiN（i）2hiM（i）2hiS（i）2000???000， Ξ2+i=N（i）1M（i）1S（i）1N（i）2M（i）2S（i）2000???000，]

[?1=Σ10Σ500P1W1M（1）1-S（1）100?Σ20Σ6P2W2000M（2）1-S（2）1??Σ3000M（1）2-S（1）200???Σ40000M（2）2-S（2）2????-α1I00000?????-α2I0000??????-Q1000???????-R100????????-Q20?????????-R2，]

[?2=-A10000W10000， ?3=0-A200W200000，]

[?4=C100D1000000， ?5=0C2D20000000，]

[U1=τ1Z1+h1Z3， U2=τ2Z2+h2Z4， U3=P1+τ1Z5+h1Z7，U4=P2+τ2Z6+h2Z8， Ξ11=diagτ1Z1， h1Z3， h1（Z1+Z3），Ξ22=diagτ2Z2， h2Z4， h2（Z2+Z4），]

[Ξ33=diagZ5， Z7， Z5+Z7， Ξ44=diagZ6， Z8， Z6+Z8，]

[Σi=-PiAi-AiTPi+Qi+Ri+Ti+N（i）1+N（i）1T，Σ2+i=-（1-μi）Ti+S（i）2+S（i）2T-N（i）2-N（i）2T -M（i）2-M（i）2T+αiLT3-iL3-i，]

[Σ4+i=S（i）1-N（i）1-M（i）1+N（i）2T， hi=τi-τ_i， i=1，2.]

證明. 構(gòu)造如下Lyapunov-Krasovskii泛函：endprint

[V（x1（t），x2（t））=i=12V1（x1（t），x2（t））+V2（x1（t），x2（t））+V3（x1（t），x2（t）），V1（x1（t），x2（t））=xTi（t）Pixi（t），]

[V2（x1（t），x2（t））=t-τ_itxTi（s）Qixi（s）ds+t-τitxTi（s）Rixi（s）ds+t-τi（t）txTi（s）Tixi（s）ds，]

[V3（x1（t），x2（t））=-τi0t+θtgiT（s）Zigi（s）dsdθ+-τi-τ_it+θtgiT（s）Z2+igi（s）dsdθ +-τi0t+θtg2+iT（s）Z4+ig2+i（s）dsdθ+-τi-τ_it+θtg2+iT（s）Z6+ig2+i（s）dsdθ.] （10）

由牛頓-萊布尼茨（Leibniz-Newton）公式可知，對于任意具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣[N（i）j，M（i）j，S（i）j， i=1，2，][j=1，2，]，以下等式成立：

[0=2xTi（t）N（i）1+xTi（t-τi（t））N（i）2 ×xi（t）-xi（t-τi（t））-t-τi（t）tgi（s）ds-t-τi（t）tg2+i（s）dω（s），] （11）

[0=2xTi（t）M（i）1+xTi（t-τi（t））M（i）2 ×xi（t-τ_i）-xi（t-τi（t））-t-τi（t）t-τ_igi（s）ds-t-τi（t）t-τ_ig2+i（s）dω（s），] （12）

[0=2xTi（t）S（i）1+xTi（t-τi（t））S（i）2 ×xi（t-τi（t））-xi（t-τi）-t-τit-τi（t）gi（s）ds-t-τit-τi（t）g2+i（s）dω（s）.] （13）

應(yīng)用引理1（ii），對任意矩陣[Zj≥0， j=1，2，…，8，]，下列不等式成立：

[-2ξT（t）N（i）t-τi（t）tgi（s）ds≤τiξT（t）N（i）Z-1iN（i）Tξ（t）+t-τi（t）tgTi（s）Zigi（s）ds，] （14）

[-2ξT（t）M（i）t-τi（t）t-τ_igi（s）ds≤hiξT（t）M（i）Z-12+iM（i）Tξ（t）+t-τi（t）t-τ_igTi（s）Z2+igi（s）ds，] （15）

[-2ξT（t）S（i）t-τit-τi（t）gi（s）ds≤ hiξT（t）S（i）Zi+Z2+i-1S（i）Tξ（t）+t-τit-τi（t）gTi（s）（Zi+Z2+i）gi（s）ds，] （16）

[-2ξT（t）N（i）t-τi（t）tg2+i（s）dω（s）≤ξT（t）N（i）Z-14+iN（i）Tξ（t）+t-τi（t）tgT2+i（s）dω（s）Z4+it-τi（t）tg2+i（s）dω（s），] （17）

[-2ξT（t）M（i）t-τi（t）t-τ_ig2+i（s）dω（s）ds≤ξT（t）M（i）Z-16+iM（i）Tξ（t）+t-τi（t）t-τ_igT2+i（s）dω（s）Z6+it-τi（t）t-τ_ig2+i（s）dω（s），] （18）

[-2ξT（t）S（i）t-τit-τi（t）g2+i（s）dω（s）≤ ξT（t）S（i）Z4+i+Z6+i-1S（i）Tξ（t） +t-τit-τi（t）gT2+i（s）dω（s）Z4+i+Z6+it-τit-τi（t）g2+i（s）dω（s），] （19）

其中

[N（i）=N（i）1T N（i）2T 0 0 0 0 0 0 0 0T，M（i）=M（i）1T M（i）2T 0 0 0 0 0 0 0 0T，]

[S（i）=S（i）1T S（i）2T 0 0 0 0 0 0 0 0T.]

由式（4）有

[fTi（x3-i（t-τ3-i（t）））fi（x3-i（t-τ3-i（t）））≤x3-iT（t-τ3-i（t））×LTiLix3-i（t-τ3-i（t））， i=1，2.] （20）

沿著系統(tǒng)（5）解的軌跡，對[?V]求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：

[?V（x1（t），x2（t））=i=12?V1（x1（t），x2（t）） +?V2（x1（t），x2（t））+?V3（x1（t），x2（t）），]

[?V1（x1（t），x2（t））=2xTi（t）Pi-Aixi（t）+Wifi（x3-i（t-τ3-i（t））） +gT2+i（t）Pig2+i（t），] （21）

[?V2（x1（t），x2（t））≤xTi（t）（Qi+Ri）xi（t）-xTi（t-τ_i）Qixi（t-τ_i） -xTi（t-τi）Rixi（t-τi）+xTi（t）Tixi（t） -（1-μi）xTi（t-τi（t））Tixi（t-τi（t）） ，] （22）

[?V3（x1（t），x2（t））=gTi（t）τiZi+hiZ2+igi（t）-t-τitgTi（s）Zigi（s）ds -t-τit-τ_igTi（s）Z2+igi（s）ds+gT2+i（t）τiZ4+i+hiZ6+ig2+i（t） -t-τitgT2+i（s）Z4+ig2+i（s）ds-t-τit-τ_igT2+i（s）Z6+ig2+i（s）ds]

[ =gTi（t）τiZi+hiZ2+igi（t）+gT2+i（t）τiZ4+i+hiZ6+ig2+i（t） -t-τi（t）tgTi（s）Zigi（s）ds-t-τi（t）t-τ_igTi（s）Z2+igi（s）ds -t-τit-τi（t）gTi（s）（Zi+Z2+i）gi（s）ds-t-τi（t）tgT2+i（s）Z4+ig2+i（s）ds -t-τi（t）t-τ_igT2+i（s）Z6+ig2+i（s）ds-t-τit-τi（t）gT2+i（s）（Z4+i+Z6+i）g2+i（s）ds.] （23）endprint

聯(lián)立式（11）-（23），可得：

[?V（x1（t），x2（t））≤ξT（t）?1+?T2U1?2+?T3U2?3+?T4U3?4+?T5U4?5 +i=12τiN（i）Z-1iN（i）T+hiM（i）Z-12+iM（i）T +hiS（i）Zi+Z2+i-1S（i）T+N（i）Z-14+iN（i）T +M（i）Z-16+iM（i）T+S（i）Z4+i+Z6+i-1S（i）Tξ（t） +t-τi（t）tgT2+i（s）dω（s）Z4+it-τi（t）tg2+i（s）dω（s） +t-τi（t）t-τ_igT2+i（s）dω（s）Z6+it-τi（t）t-τ_ig2+i（s）dω（s）]

[ +t-τit-τi（t）gT2+i（s）dω（s）Z4+i+Z6+it-τit-τi（t）g2+i（s）dω（s） -t-τi（t）tgT2+i（s）Z4+ig2+i（s）ds-t-τi（t）t-τ_igT2+i（s）Z6+ig2+i（s）ds -t-τit-τi（t）gT2+i（s）（Z4+i+Z6+i）g2+i（s）ds，] （24）

其中

[ξ（t）=xT1（t） xT2（t） xT1（t-τ1（t）） xT2（t-τ2（t）） fT2（x1（t-τ1（t））） fT1（x2（t-τ2（t））） xT1（t-τ_1） xT1（t-τ1） xT2（t-τ_2） xT2（t-τ2）T.]

由于

[Εt-τi（t）tgT2+i（s）dω（s）Z4+it-τi（t）tg2+i（s）dω（s）=Εt-τi（t）tgT2+i（s）Z4+ig2+i（s）ds，]

[Εt-τi（t）t-τ_igT2+i（s）dω（s）Z6+it-τi（t）t-τ_ig2+i（s）dω（s）=Εt-τi（t）t-τ_igT2+i（s）Z6+ig2+i（s）ds，]

[Εt-τit-τi（t）gT2+i（s）dω（s）Z4+i+Z6+it-τit-τi（t）g2+i（s）dω（s）= Εt-τit-τi（t）gT2+i（s）（Z4+i+Z6+i）g2+i（s）ds，]

則有

[Ξ=?1+?T2U1?2+?T3U2?3+?T4U3?4+?T5U4?5 +i=12τiN（i）Z-1iN（i）T+hiM（i）Z-12+iM（i）T+hiS（i）Zi+Z2+i-1S（i）T +N（i）Z-14+iN（i）T+M（i）Z-16+iM（i）T+S（i）Z4+i+Z6+i-1S（i）T<0，]

對所有[x1（t），x2（t）]（[x1（t）=x2（t）=0]除外），有

[ΕdV（x1（t），x2（t））=Ε?V（x1（t），x2（t））dt<0]，

其中[Ε]為數(shù)學(xué)期望算子。由Schur補(bǔ)充條件，上式等價(jià)于[Ξ<0]。那么，由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，系統(tǒng)（5）均方意義下是全局漸近穩(wěn)定的。定理1證明完畢。

4 仿真算例

本文將用一個(gè)仿真算例說明所得結(jié)論的有效性。

例1 考慮具有區(qū)間時(shí)滯和隨機(jī)干擾BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型系統(tǒng)（5），其參數(shù)為

激活函數(shù)為[fi（x）=12x+1-x-1，i=1，2，]

時(shí)滯為

那么，顯然對任意i和j，有l(wèi)i-lj=1， 即L1=L2=I。同時(shí)

運(yùn)用定理1，通過Matlab求解 （9）式，容易判定系統(tǒng)（5）在均方意義下是全局漸近穩(wěn)定的。所得的部分可行解如下：

[P1=1.1886-0.0918-0.09182.2512， P2=2.9766-0.3644-0.36442.6715，α1=0.6267， α2=1.3079.]

5 結(jié)束語

本文得到了一個(gè)BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性的新結(jié)果，該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是帶有區(qū)間時(shí)滯和隨機(jī)干擾的。與現(xiàn)有大部分文獻(xiàn)相比，該文的穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則去掉了導(dǎo)數(shù)上界的限制，既可以適用于快時(shí)滯的情況，也適用于慢時(shí)滯的情況。最后，一個(gè)仿真算例驗(yàn)證了結(jié)論的有效性。

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