張恩英+++張曉涵

一、引言

經(jīng)濟(jì)運(yùn)行過程從較長(zhǎng)時(shí)間序列看，由于市場(chǎng)機(jī)制的作用，呈現(xiàn)一定的規(guī)律，這對(duì)預(yù)測(cè)提供了依據(jù)。目前，預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行時(shí)間序列的理論與方法較多，運(yùn)用傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)法建立模型進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)GDP往往比較困難，而AR-MA模型在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)過程中既考慮了時(shí)間因素，又考慮了隨機(jī)因素的干擾，因此對(duì)短期的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行趨勢(shì)預(yù)測(cè)有較高的準(zhǔn)確率，是近幾年應(yīng)用比較廣泛的方法之一。本文根據(jù)ARIMA模型的應(yīng)用條件，選取黑龍江GDP的1978至2010年時(shí)間序列數(shù)據(jù)建模進(jìn)行分析，并依據(jù)所建模型對(duì)黑龍江GDP做預(yù)測(cè)。

二、ARIMA模型簡(jiǎn)介

時(shí)間序列分析中最常用的模型之一就是ARIMA模型，ARIMA模型提供了一套有效的預(yù)測(cè)技術(shù)，在時(shí)間序列的預(yù)測(cè)中應(yīng)用廣泛。ARIMA模型預(yù)測(cè)是指預(yù)測(cè)模型擬合的好壞程度，即預(yù)測(cè)模型所產(chǎn)生的模擬值與歷史實(shí)際值擬合程度的優(yōu)劣。由于時(shí)間序列經(jīng)常會(huì)受到各種外部因素的影響，我們可以通過該模型從定量分析的角度來評(píng)估政策干預(yù)或突發(fā)事件對(duì)經(jīng)濟(jì)環(huán)境和經(jīng)濟(jì)過程的具體影響。ARIMA模型是將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，然后將因變量?jī)H對(duì)它自身的滯后值以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值、滯后值進(jìn)行回歸所建立的模型。ARIMA模型將預(yù)測(cè)指標(biāo)隨時(shí)間推移而形成的數(shù)據(jù)序列看作是一個(gè)隨機(jī)序列，它既受外部因素的影響，又有自身變動(dòng)規(guī)律。

非平穩(wěn)序列的數(shù)字特征（如均值、方差和協(xié)方差等）會(huì)隨時(shí)間而發(fā)生變化，也就是說，非平穩(wěn)序列的隨機(jī)規(guī)律在不同的時(shí)間點(diǎn)上是不同的，僅有已知的信息序列整體上的隨機(jī)性難以判斷。但在多數(shù)時(shí)間序列的實(shí)證研究中發(fā)現(xiàn)，這些經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列大多是非平穩(wěn)的，例如GDP、投資、固定資產(chǎn)、消費(fèi)等。為此，Box-Jenkins在1970年提出了一種時(shí)間序列分析方法，該方法以隨機(jī)理論為基礎(chǔ)，包括三種基本模型：自回歸（AR）模型；移動(dòng)平均（MA）模型；自回歸求積移動(dòng)平均（ARIMA）模型。其中ARIMA模型綜合了考慮了變量值自身的過去值，當(dāng)前值和誤差項(xiàng)，對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行建模分析，從而使模型的預(yù)測(cè)精度得到了有效的提高。

ARIMA模型的形式：考慮序列■，若能通過次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列，即■

■為平穩(wěn)序列，即■ ，于是可建立ARMA（p，q）模型：

■

經(jīng)d階差分后的ARMA（p，q）模型稱為ARIMA（p，d，q）模型，其中p為自回歸模型階數(shù)，q為移動(dòng)平均的階數(shù)， ■為一個(gè)白噪聲過程。

ARIMA建模的思路：首先判斷序列是否平穩(wěn)，如果不平穩(wěn)，需平穩(wěn)化。然后對(duì)平穩(wěn)化后的序列建立ARMA建模。

三、ARIMA模型的應(yīng)用

1.數(shù)據(jù)的來源于描述

從《2011黑龍江統(tǒng)計(jì)年鑒》統(tǒng)計(jì)出1978至2010年黑龍江國內(nèi)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)見圖。由下圖可以看出GDP（ ）隨時(shí)間的增長(zhǎng)呈指數(shù)趨勢(shì)，非水平平穩(wěn)。

圖 GDP線性趨勢(shì)圖

2.序列的平穩(wěn)性處理

對(duì) 進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)（ADF檢驗(yàn)），結(jié)果如表1：

表1 Augmented Dickey-Fuller unit root test on X

由表1可以看出：ADF= 6.329210大于顯著性水平為0.01、0.05和0.1的臨界值，即原始序列數(shù)據(jù)不平穩(wěn)。

為了消除原始數(shù)據(jù)序列的不平穩(wěn)性，使數(shù)據(jù)變得平穩(wěn)。由圖1我們也可以看出原始序列呈指數(shù)趨勢(shì)，由此采用對(duì)GDP序列取對(duì)數(shù)（記為L(zhǎng)n■ ）的形式消除不平穩(wěn)性。取對(duì)數(shù)后的GDP序列基本消除了原有的時(shí)間趨勢(shì)，可以認(rèn)為該序列是平穩(wěn)序列，為了準(zhǔn)確的判斷序列具有平穩(wěn)性，下面我們對(duì)二階差分后的序列 ■進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)（ADF檢驗(yàn)），ADF= -6.728172小于顯著性水平為0.01、0.05和0.1的臨界值，即序列數(shù)據(jù)平穩(wěn)，說明GDP序列為2階單整序列，即■ 。

3.模型的建立

通過對(duì)序列 的單位根檢驗(yàn)，可以確定ARIMA（p，d，q）模型中的單整項(xiàng)應(yīng)取2，由于序列Ln 的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖都是拖尾的，因此我們對(duì)序列Ln 建立ARIMA模型。經(jīng)過反復(fù)的測(cè)算與比較，最終我們建立如下ARIMA（1，2，1）模型（方程下方括號(hào)中的數(shù)據(jù)為對(duì)應(yīng)估計(jì)量的T檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量）：

對(duì)上述模型進(jìn)行回歸擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，由R2 =0.99803可以看出■有99.8%可以由該模型進(jìn)行解釋， ■的實(shí)際值變動(dòng)與模型的擬合值具有非常好的一致性。其次，DW=1.785935說明殘差項(xiàng)與自變量相互獨(dú)立，模型通過了擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與杜賓瓦森檢驗(yàn)，由檢驗(yàn)結(jié)果可知該該模型的預(yù)測(cè)效果應(yīng)該比較理想。

將該模型的殘差序列記為■ ，對(duì)模型進(jìn)行單位根（DF）檢驗(yàn)，進(jìn)一步檢驗(yàn)該模型的效果，得： ■，DF值為-5.005413，而在1%顯著性水平下，DF的臨界值為-3.77。因此，在1%顯著性水平下殘差序列■即誤差項(xiàng)序列可以被看做是平穩(wěn)序列，說明模型具有較好的擬合效果，即■的擬合值是實(shí)際值的無偏估計(jì)。觀察殘差序列 的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖可知，自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)均落在置信區(qū)間內(nèi)，殘差序列應(yīng)為平穩(wěn)序列，與之前的DF檢驗(yàn)結(jié)果一致。

4.模型的預(yù)測(cè)

由ARIMA（1，2，1）模型：

■

可得■的預(yù)測(cè)公式為：

■

用ARIMA（1，2，1）模型對(duì)黑龍江省GDP作預(yù)測(cè)，結(jié)果見表2：

表2 實(shí)際值與ARIMA預(yù)測(cè)值

單位：億元

5.結(jié)束語

通過以上對(duì)黑龍江GDP序列進(jìn)行建模分析，說明利用Box-Jenkins法建立的ARIMA模型對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列具有較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。本文所建立ARIMA（1，2，1）模型，可用于對(duì)黑龍江國內(nèi)生產(chǎn)總值作短期預(yù)測(cè)，為黑龍江制定經(jīng)濟(jì)發(fā)展目標(biāo)提供決策參考。

參考文獻(xiàn)：

[1]丁磊.黑龍江省人均GDP時(shí)間序列模型及預(yù)測(cè)[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2010年06期.2010，（6）：25～26.

[2]李晴，楊春.時(shí)間序列分析模型及其在GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用研究[J].安徽農(nóng)業(yè)科學(xué)，2011，（20）：51～53.

[3]徐雅靜，汪遠(yuǎn)征.ARIMA模型在河南省GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用及SAS實(shí)現(xiàn)[J].中國科技信息，2006，（6）.

[4]李守麗.時(shí)間序列模型在地級(jí)市GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[D].科學(xué)管理研究，2013.endprint

一、引言

經(jīng)濟(jì)運(yùn)行過程從較長(zhǎng)時(shí)間序列看，由于市場(chǎng)機(jī)制的作用，呈現(xiàn)一定的規(guī)律，這對(duì)預(yù)測(cè)提供了依據(jù)。目前，預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行時(shí)間序列的理論與方法較多，運(yùn)用傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)法建立模型進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)GDP往往比較困難，而AR-MA模型在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)過程中既考慮了時(shí)間因素，又考慮了隨機(jī)因素的干擾，因此對(duì)短期的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行趨勢(shì)預(yù)測(cè)有較高的準(zhǔn)確率，是近幾年應(yīng)用比較廣泛的方法之一。本文根據(jù)ARIMA模型的應(yīng)用條件，選取黑龍江GDP的1978至2010年時(shí)間序列數(shù)據(jù)建模進(jìn)行分析，并依據(jù)所建模型對(duì)黑龍江GDP做預(yù)測(cè)。

二、ARIMA模型簡(jiǎn)介

時(shí)間序列分析中最常用的模型之一就是ARIMA模型，ARIMA模型提供了一套有效的預(yù)測(cè)技術(shù)，在時(shí)間序列的預(yù)測(cè)中應(yīng)用廣泛。ARIMA模型預(yù)測(cè)是指預(yù)測(cè)模型擬合的好壞程度，即預(yù)測(cè)模型所產(chǎn)生的模擬值與歷史實(shí)際值擬合程度的優(yōu)劣。由于時(shí)間序列經(jīng)常會(huì)受到各種外部因素的影響，我們可以通過該模型從定量分析的角度來評(píng)估政策干預(yù)或突發(fā)事件對(duì)經(jīng)濟(jì)環(huán)境和經(jīng)濟(jì)過程的具體影響。ARIMA模型是將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，然后將因變量?jī)H對(duì)它自身的滯后值以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值、滯后值進(jìn)行回歸所建立的模型。ARIMA模型將預(yù)測(cè)指標(biāo)隨時(shí)間推移而形成的數(shù)據(jù)序列看作是一個(gè)隨機(jī)序列，它既受外部因素的影響，又有自身變動(dòng)規(guī)律。

非平穩(wěn)序列的數(shù)字特征（如均值、方差和協(xié)方差等）會(huì)隨時(shí)間而發(fā)生變化，也就是說，非平穩(wěn)序列的隨機(jī)規(guī)律在不同的時(shí)間點(diǎn)上是不同的，僅有已知的信息序列整體上的隨機(jī)性難以判斷。但在多數(shù)時(shí)間序列的實(shí)證研究中發(fā)現(xiàn)，這些經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列大多是非平穩(wěn)的，例如GDP、投資、固定資產(chǎn)、消費(fèi)等。為此，Box-Jenkins在1970年提出了一種時(shí)間序列分析方法，該方法以隨機(jī)理論為基礎(chǔ)，包括三種基本模型：自回歸（AR）模型；移動(dòng)平均（MA）模型；自回歸求積移動(dòng)平均（ARIMA）模型。其中ARIMA模型綜合了考慮了變量值自身的過去值，當(dāng)前值和誤差項(xiàng)，對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行建模分析，從而使模型的預(yù)測(cè)精度得到了有效的提高。

ARIMA模型的形式：考慮序列■，若能通過次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列，即■

■為平穩(wěn)序列，即■ ，于是可建立ARMA（p，q）模型：

■

經(jīng)d階差分后的ARMA（p，q）模型稱為ARIMA（p，d，q）模型，其中p為自回歸模型階數(shù)，q為移動(dòng)平均的階數(shù)， ■為一個(gè)白噪聲過程。

ARIMA建模的思路：首先判斷序列是否平穩(wěn)，如果不平穩(wěn)，需平穩(wěn)化。然后對(duì)平穩(wěn)化后的序列建立ARMA建模。

三、ARIMA模型的應(yīng)用

1.數(shù)據(jù)的來源于描述

從《2011黑龍江統(tǒng)計(jì)年鑒》統(tǒng)計(jì)出1978至2010年黑龍江國內(nèi)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)見圖。由下圖可以看出GDP（ ）隨時(shí)間的增長(zhǎng)呈指數(shù)趨勢(shì)，非水平平穩(wěn)。

圖 GDP線性趨勢(shì)圖

2.序列的平穩(wěn)性處理

對(duì) 進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)（ADF檢驗(yàn)），結(jié)果如表1：

表1 Augmented Dickey-Fuller unit root test on X

由表1可以看出：ADF= 6.329210大于顯著性水平為0.01、0.05和0.1的臨界值，即原始序列數(shù)據(jù)不平穩(wěn)。

為了消除原始數(shù)據(jù)序列的不平穩(wěn)性，使數(shù)據(jù)變得平穩(wěn)。由圖1我們也可以看出原始序列呈指數(shù)趨勢(shì)，由此采用對(duì)GDP序列取對(duì)數(shù)（記為L(zhǎng)n■ ）的形式消除不平穩(wěn)性。取對(duì)數(shù)后的GDP序列基本消除了原有的時(shí)間趨勢(shì)，可以認(rèn)為該序列是平穩(wěn)序列，為了準(zhǔn)確的判斷序列具有平穩(wěn)性，下面我們對(duì)二階差分后的序列 ■進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)（ADF檢驗(yàn)），ADF= -6.728172小于顯著性水平為0.01、0.05和0.1的臨界值，即序列數(shù)據(jù)平穩(wěn)，說明GDP序列為2階單整序列，即■ 。

3.模型的建立

通過對(duì)序列 的單位根檢驗(yàn)，可以確定ARIMA（p，d，q）模型中的單整項(xiàng)應(yīng)取2，由于序列Ln 的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖都是拖尾的，因此我們對(duì)序列Ln 建立ARIMA模型。經(jīng)過反復(fù)的測(cè)算與比較，最終我們建立如下ARIMA（1，2，1）模型（方程下方括號(hào)中的數(shù)據(jù)為對(duì)應(yīng)估計(jì)量的T檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量）：

對(duì)上述模型進(jìn)行回歸擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，由R2 =0.99803可以看出■有99.8%可以由該模型進(jìn)行解釋， ■的實(shí)際值變動(dòng)與模型的擬合值具有非常好的一致性。其次，DW=1.785935說明殘差項(xiàng)與自變量相互獨(dú)立，模型通過了擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與杜賓瓦森檢驗(yàn)，由檢驗(yàn)結(jié)果可知該該模型的預(yù)測(cè)效果應(yīng)該比較理想。

將該模型的殘差序列記為■ ，對(duì)模型進(jìn)行單位根（DF）檢驗(yàn)，進(jìn)一步檢驗(yàn)該模型的效果，得： ■，DF值為-5.005413，而在1%顯著性水平下，DF的臨界值為-3.77。因此，在1%顯著性水平下殘差序列■即誤差項(xiàng)序列可以被看做是平穩(wěn)序列，說明模型具有較好的擬合效果，即■的擬合值是實(shí)際值的無偏估計(jì)。觀察殘差序列 的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖可知，自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)均落在置信區(qū)間內(nèi)，殘差序列應(yīng)為平穩(wěn)序列，與之前的DF檢驗(yàn)結(jié)果一致。

4.模型的預(yù)測(cè)

由ARIMA（1，2，1）模型：

■

可得■的預(yù)測(cè)公式為：

■

用ARIMA（1，2，1）模型對(duì)黑龍江省GDP作預(yù)測(cè)，結(jié)果見表2：

表2 實(shí)際值與ARIMA預(yù)測(cè)值

單位：億元

5.結(jié)束語

通過以上對(duì)黑龍江GDP序列進(jìn)行建模分析，說明利用Box-Jenkins法建立的ARIMA模型對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列具有較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。本文所建立ARIMA（1，2，1）模型，可用于對(duì)黑龍江國內(nèi)生產(chǎn)總值作短期預(yù)測(cè)，為黑龍江制定經(jīng)濟(jì)發(fā)展目標(biāo)提供決策參考。

參考文獻(xiàn)：

[1]丁磊.黑龍江省人均GDP時(shí)間序列模型及預(yù)測(cè)[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2010年06期.2010，（6）：25～26.

[2]李晴，楊春.時(shí)間序列分析模型及其在GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用研究[J].安徽農(nóng)業(yè)科學(xué)，2011，（20）：51～53.

[3]徐雅靜，汪遠(yuǎn)征.ARIMA模型在河南省GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用及SAS實(shí)現(xiàn)[J].中國科技信息，2006，（6）.

[4]李守麗.時(shí)間序列模型在地級(jí)市GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[D].科學(xué)管理研究，2013.endprint

一、引言

經(jīng)濟(jì)運(yùn)行過程從較長(zhǎng)時(shí)間序列看，由于市場(chǎng)機(jī)制的作用，呈現(xiàn)一定的規(guī)律，這對(duì)預(yù)測(cè)提供了依據(jù)。目前，預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行時(shí)間序列的理論與方法較多，運(yùn)用傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)法建立模型進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)GDP往往比較困難，而AR-MA模型在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)過程中既考慮了時(shí)間因素，又考慮了隨機(jī)因素的干擾，因此對(duì)短期的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行趨勢(shì)預(yù)測(cè)有較高的準(zhǔn)確率，是近幾年應(yīng)用比較廣泛的方法之一。本文根據(jù)ARIMA模型的應(yīng)用條件，選取黑龍江GDP的1978至2010年時(shí)間序列數(shù)據(jù)建模進(jìn)行分析，并依據(jù)所建模型對(duì)黑龍江GDP做預(yù)測(cè)。

二、ARIMA模型簡(jiǎn)介

時(shí)間序列分析中最常用的模型之一就是ARIMA模型，ARIMA模型提供了一套有效的預(yù)測(cè)技術(shù)，在時(shí)間序列的預(yù)測(cè)中應(yīng)用廣泛。ARIMA模型預(yù)測(cè)是指預(yù)測(cè)模型擬合的好壞程度，即預(yù)測(cè)模型所產(chǎn)生的模擬值與歷史實(shí)際值擬合程度的優(yōu)劣。由于時(shí)間序列經(jīng)常會(huì)受到各種外部因素的影響，我們可以通過該模型從定量分析的角度來評(píng)估政策干預(yù)或突發(fā)事件對(duì)經(jīng)濟(jì)環(huán)境和經(jīng)濟(jì)過程的具體影響。ARIMA模型是將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，然后將因變量?jī)H對(duì)它自身的滯后值以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值、滯后值進(jìn)行回歸所建立的模型。ARIMA模型將預(yù)測(cè)指標(biāo)隨時(shí)間推移而形成的數(shù)據(jù)序列看作是一個(gè)隨機(jī)序列，它既受外部因素的影響，又有自身變動(dòng)規(guī)律。

非平穩(wěn)序列的數(shù)字特征（如均值、方差和協(xié)方差等）會(huì)隨時(shí)間而發(fā)生變化，也就是說，非平穩(wěn)序列的隨機(jī)規(guī)律在不同的時(shí)間點(diǎn)上是不同的，僅有已知的信息序列整體上的隨機(jī)性難以判斷。但在多數(shù)時(shí)間序列的實(shí)證研究中發(fā)現(xiàn)，這些經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列大多是非平穩(wěn)的，例如GDP、投資、固定資產(chǎn)、消費(fèi)等。為此，Box-Jenkins在1970年提出了一種時(shí)間序列分析方法，該方法以隨機(jī)理論為基礎(chǔ)，包括三種基本模型：自回歸（AR）模型；移動(dòng)平均（MA）模型；自回歸求積移動(dòng)平均（ARIMA）模型。其中ARIMA模型綜合了考慮了變量值自身的過去值，當(dāng)前值和誤差項(xiàng)，對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行建模分析，從而使模型的預(yù)測(cè)精度得到了有效的提高。

ARIMA模型的形式：考慮序列■，若能通過次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列，即■

■為平穩(wěn)序列，即■ ，于是可建立ARMA（p，q）模型：

■

經(jīng)d階差分后的ARMA（p，q）模型稱為ARIMA（p，d，q）模型，其中p為自回歸模型階數(shù)，q為移動(dòng)平均的階數(shù)， ■為一個(gè)白噪聲過程。

ARIMA建模的思路：首先判斷序列是否平穩(wěn)，如果不平穩(wěn)，需平穩(wěn)化。然后對(duì)平穩(wěn)化后的序列建立ARMA建模。

三、ARIMA模型的應(yīng)用

1.數(shù)據(jù)的來源于描述

從《2011黑龍江統(tǒng)計(jì)年鑒》統(tǒng)計(jì)出1978至2010年黑龍江國內(nèi)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)見圖。由下圖可以看出GDP（ ）隨時(shí)間的增長(zhǎng)呈指數(shù)趨勢(shì)，非水平平穩(wěn)。

圖 GDP線性趨勢(shì)圖

2.序列的平穩(wěn)性處理

對(duì) 進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)（ADF檢驗(yàn)），結(jié)果如表1：

表1 Augmented Dickey-Fuller unit root test on X

由表1可以看出：ADF= 6.329210大于顯著性水平為0.01、0.05和0.1的臨界值，即原始序列數(shù)據(jù)不平穩(wěn)。

為了消除原始數(shù)據(jù)序列的不平穩(wěn)性，使數(shù)據(jù)變得平穩(wěn)。由圖1我們也可以看出原始序列呈指數(shù)趨勢(shì)，由此采用對(duì)GDP序列取對(duì)數(shù)（記為L(zhǎng)n■ ）的形式消除不平穩(wěn)性。取對(duì)數(shù)后的GDP序列基本消除了原有的時(shí)間趨勢(shì)，可以認(rèn)為該序列是平穩(wěn)序列，為了準(zhǔn)確的判斷序列具有平穩(wěn)性，下面我們對(duì)二階差分后的序列 ■進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)（ADF檢驗(yàn)），ADF= -6.728172小于顯著性水平為0.01、0.05和0.1的臨界值，即序列數(shù)據(jù)平穩(wěn)，說明GDP序列為2階單整序列，即■ 。

3.模型的建立

通過對(duì)序列 的單位根檢驗(yàn)，可以確定ARIMA（p，d，q）模型中的單整項(xiàng)應(yīng)取2，由于序列Ln 的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖都是拖尾的，因此我們對(duì)序列Ln 建立ARIMA模型。經(jīng)過反復(fù)的測(cè)算與比較，最終我們建立如下ARIMA（1，2，1）模型（方程下方括號(hào)中的數(shù)據(jù)為對(duì)應(yīng)估計(jì)量的T檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量）：

對(duì)上述模型進(jìn)行回歸擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，由R2 =0.99803可以看出■有99.8%可以由該模型進(jìn)行解釋， ■的實(shí)際值變動(dòng)與模型的擬合值具有非常好的一致性。其次，DW=1.785935說明殘差項(xiàng)與自變量相互獨(dú)立，模型通過了擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與杜賓瓦森檢驗(yàn)，由檢驗(yàn)結(jié)果可知該該模型的預(yù)測(cè)效果應(yīng)該比較理想。

將該模型的殘差序列記為■ ，對(duì)模型進(jìn)行單位根（DF）檢驗(yàn)，進(jìn)一步檢驗(yàn)該模型的效果，得： ■，DF值為-5.005413，而在1%顯著性水平下，DF的臨界值為-3.77。因此，在1%顯著性水平下殘差序列■即誤差項(xiàng)序列可以被看做是平穩(wěn)序列，說明模型具有較好的擬合效果，即■的擬合值是實(shí)際值的無偏估計(jì)。觀察殘差序列 的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖可知，自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)均落在置信區(qū)間內(nèi)，殘差序列應(yīng)為平穩(wěn)序列，與之前的DF檢驗(yàn)結(jié)果一致。

4.模型的預(yù)測(cè)

由ARIMA（1，2，1）模型：

■

可得■的預(yù)測(cè)公式為：

■

用ARIMA（1，2，1）模型對(duì)黑龍江省GDP作預(yù)測(cè)，結(jié)果見表2：

表2 實(shí)際值與ARIMA預(yù)測(cè)值

單位：億元

5.結(jié)束語

通過以上對(duì)黑龍江GDP序列進(jìn)行建模分析，說明利用Box-Jenkins法建立的ARIMA模型對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列具有較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。本文所建立ARIMA（1，2，1）模型，可用于對(duì)黑龍江國內(nèi)生產(chǎn)總值作短期預(yù)測(cè)，為黑龍江制定經(jīng)濟(jì)發(fā)展目標(biāo)提供決策參考。

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