杜鋒，張明波

（1.荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，湖北 荊門448000；2.湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢430062）

0 引言

設(shè)（N，J，g）是復(fù)維數(shù)為2n的K?hler流形，其中J為復(fù)結(jié)構(gòu)，g（或記為〈，〉）為黎曼度量，且x：M→N是實(shí)數(shù)為2n的浸入子流形.定義為N上的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)和曲率張量，則有：R~（X，Y）Z其中X，Y，Z是N的切向量場(chǎng).定義TPM為M上p點(diǎn)的切空間，對(duì)任意的向量0≠Xp∈TpM，J（Xp）與切空間TpM的夾角記為θ（Xp），稱為Xp的 K?hler角.若角θ（Xp）使得0≤cosθ（Xp）≤1，且與Xp∈TpM的選取無關(guān)，則稱子流形M是等K?hler角的.這個(gè)概念首先被Chern-Wolfson［1］引入到K?hler曲面N的浸入實(shí)超曲面M中，在這種情況下一個(gè)K?hler角就是M中度量每一點(diǎn)的切空間TpM和復(fù)子空間Tx（p）M的偏離程度的一些函數(shù).在文獻(xiàn)［2］中，Chen介紹了一種具有常等K?hler角的子流形，稱之為slant子流形［3-4］.而Holomorphic和Lagrangian子流形分別是cosθ＝1和cosθ＝0的特殊slant子流形，因此，研究具有等K?hler角的子流形在什么條件下會(huì)成為holomorphic子流形或者Lagrangian子流形就是一個(gè)很自然的問題.

在文獻(xiàn)［5］中，Li對(duì)具有常holomorphic截取率4c的復(fù)空間形式中具有平行平均曲率向量場(chǎng)的子流形分類做出了如下結(jié)果：

命題1.1 設(shè)N是具有常holomorphic截取率4c的2n的維復(fù)空間形式，而M為N中具有等K?hler角的實(shí)的2n維浸入閉子流形，如果M上的平均曲率向量場(chǎng)是平行的.則有：

1）當(dāng)c＞0時(shí)，M或者是holomorphic子流形或者是Lagrangian子流形；

2）當(dāng)c＝0時(shí)，M上的一般K?hler角必為常數(shù).

Gray-Vanbecke［6］引入了常數(shù)型的近K?hler流形的概念.在此基礎(chǔ)上，定義了具有常holomorphic截取率c和常數(shù)型α的RK-流形N（c，α）和廣義的復(fù)空間形式N（f1，f2）.如果一個(gè)近Heimitian流形的曲率張量滿足：

其中f1，f2為N上的光滑函數(shù)，則稱N為廣義復(fù)空間形式，記作N（f1，f2）.若即為RK-流形N（c，α），而若為復(fù)空間形式N（c），可以看出N（c）?N（f1，f2）.

本文中將命題1.1的相關(guān)結(jié)論推廣到上述定義的廣義復(fù)空間形式上，從而得到

定理1.2 設(shè)N（f1，f2）為2n維的廣義復(fù)空間形式，而M為N中具有等K?hler角的實(shí)2n維浸入閉子流形.如果M上的平均曲率向量場(chǎng)是平行的，則有：

1）對(duì)任意的f1，當(dāng)f2＞0時(shí)，M或者是holomorphic子流形或者是Lagrangian子流形；

2）對(duì)任意的f1，當(dāng)f2＝0時(shí)，M上的一般K?hler角必為常數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

在本節(jié)中，我們將介紹一些關(guān)于廣義復(fù)空間形式的基本內(nèi)容，具體情況可參看文獻(xiàn)［7］.

設(shè)（N，J，g）是復(fù)維數(shù)為2n的K?hler流形，其中J為復(fù)結(jié)構(gòu)，g（或記為〈，〉）為黎曼度量，g與J是相容的.而x：M→N是實(shí)維數(shù)為2n的浸入子流形.M的度量是由N的度量誘導(dǎo)所得.定義和B，分別為M上由N誘導(dǎo)的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)，法聯(lián)絡(luò)，Weingarten算子和子流形M的第二基本形式.TM和T⊥M分別為M的切叢和M在N上的法叢.

由子流形的知識(shí)可知形狀算子和第二基本形式之間有關(guān)系數(shù)式：

對(duì)任意的X∈TM，v∈T⊥M，有：

這里PX（tv）和NX（fv）分別為JX（Jv）的切向量場(chǎng)和法向量場(chǎng).

當(dāng)復(fù)結(jié)構(gòu)J和g正交時(shí)，以下公式成立：

又因?yàn)樵贜上，J和平行，沿著切向量場(chǎng)X∈TM求微分，則可以得到切向和法向分量分別在：

現(xiàn)在我們假設(shè)x：M→N是具有K?hler角θ的浸入，則有：

cosθ是M上的局部Lipschitz函數(shù)，且在M的開集上是光滑非退化的.如果開集上沒有holomorphic和Lagrangian點(diǎn)，則可以選取TM上局部正交標(biāo)架場(chǎng)｛e1，…，e2n｝，使得：

和T⊥M上的局部正交標(biāo)架場(chǎng)，使得：

利用（3）式和（4）式也可得到：

由（5）式，?X，Y，Z∈TM，有：

以下我們約定指標(biāo)：α，β，γ，…∈｛1，…，2n｝和i，，j，，k，…∈｛1，…，n｝.而第二基本形式的分量記為將X＝eα，Y＝ek和Z＝en＋l代入（9）式中，再利用（7）式，直接計(jì)算可以得到：

這里的Γγαβ是M的聯(lián)絡(luò)系數(shù)，定義為

2 定理1.2的證明

為了證明本文中的主要結(jié)論，我們先介紹一個(gè)引理，并給出其證明.

引理2.1 設(shè)L＝｛p∈M｜c(diǎn)osθ＝0｝.而L0是L中的最大開子集，N（f1，f2）為2n維的廣義復(fù)空間形式，而M為N中具有等K?hler角的實(shí)2n維浸入閉子流形.如果M上的平均曲率向量場(chǎng)在N上是平行的，則在L0∪（M-L）上，有

引理2.1的證明 設(shè)0≤cosθ≤1，則可選取在第二節(jié)中的正交標(biāo)架場(chǎng).定義函數(shù)F如下：

可得：

由（5）式和（7）式，再選取第二節(jié)中所取的標(biāo)架場(chǎng)，可以得到：

由上式，可以得到：

通過與上式類似的計(jì)算，可以得到：

再由Codazzi方程可知：這里H＝trB是M的平均曲率向量場(chǎng).因此，由（14～16）式，可以得到：

所以

以下，將計(jì)算（18）式，根據(jù)第三節(jié)中選取的標(biāo)架場(chǎng)，直接計(jì)算，可以得到：

類似地，可以得到：

于是，可得：

由于f是斜對(duì)稱的，再由（19）式和（20）式，可得：

再在（20）式中，令k＝l，可以得到

常見的斷面形式主要有梯形、矩形、拱形。實(shí)際截割時(shí)，具體的截割工藝隨著巷道大小和形狀的變化而有所不同。斷面截割的方式一般是首先截割出一個(gè)大致的輪廓，再慢慢修正，直到形成預(yù)期的斷面效果，在斷面成形的過程中主要依靠工作人員的經(jīng)驗(yàn)或者卷尺等工具來完成，所以存在很大的隨機(jī)性和經(jīng)驗(yàn)性。因此，采用先水平后垂直的循環(huán)截割方式，如圖2中所示的S形截割路線[7-8]，從斷面的最下面鉆進(jìn)開始截割，按照路徑順次向上截割，最后進(jìn)行擴(kuò)幫，完成一次斷面截割(以矩形巷道為例)。

由此，可得：

選擇合適的坐標(biāo)標(biāo)架場(chǎng)，可以得到

再次選擇合適的坐標(biāo)標(biāo)架場(chǎng)，可以得到

由（23）～（25）式，可以得到：

由（1），可以得到：

當(dāng)平均曲度向量場(chǎng)H是平行的，由（26）～（29）式可以得到：

由于（30）式與局部標(biāo)架場(chǎng)的選取無關(guān)，因此，對(duì)?p∈M，可以通過選取局部法坐標(biāo)系，使得Γγαβ（p）＝0，此時(shí)可以得到A＝0，同時(shí)通過直接計(jì)算可以得到：

將A＝0和（31）式代入（30）式，可以得到：

由此可知引理是成立的.

證明了引理后，下面我們將給出定理1.2的證明.定理1.2的證明 由Δcosθ≤-6f2sin2θcosθ.我們可以得到：

1）當(dāng)f2＞0時(shí)，對(duì)上式在M上進(jìn)行積分，再注意到cosθ≥0，可知

由此可知sinθ＝0或者cosθ＝0，則此時(shí)，M或者是holomorphic子流形或者是Lagrangian子流形.

2）當(dāng)f2＝0，可以得到

由極大值原理，可知cosθ是常數(shù)，因此具有常K?hler角.

因此，定理1.2得證.

［1］Chern S S，Wolfson J G.Minimal surfaces by moving frames［J］.Amer J Math，1983，105：59-83.

［2］Chen B Y.Geometry of slant submanifolds［M］.Louvain：Katheolieke University Leucen，1990.

［3］Chen B Y.CR-submanifolds of a K?hler manifold［J］.J Differential Geom，1981，16（2）：305-322.

［4］Li G，Wi C.Slant immersions of complex space forms and chen inequalities［J］.Acta Math Csi，2005，25B（2）：223-232.

［5］Li G.Submanifolds of complex space forms with parallel mean curvature vector fields and eaual K?hler angles［J］.Indian J Pure Appl Math，2004，35（6）：759-769.

［6］Gray A，Vanhecke L.Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature［J］.Casopis Pest Mat，1979，104：170-179.

［7］吳傳喜，李光漢.子流形幾何［M］.北京：科學(xué)出版社，2002.