須雪忠

摘 要：圖像法是解決物理問題的直觀而有效的工具。結合具體實例運用U-I圖像巧妙而成功地突破了“分析電路的恒量與變量”“分析電路的功率與效率”“確定非線性元件的工作點”“分析電學實驗的系統(tǒng)誤差”等電路疑難問題。

關鍵詞：U-I圖像；電路；問題

一、U-I圖像的意義

1.電阻的U-I圖像

對于線性電阻，U-I圖像為過原點的直線，圖像的斜率即為各狀態(tài)下導體的電阻值，由圖像可知R===tan？茲，而對于非線性電阻（如小燈泡的燈絲電阻），U-I圖像為過原點的曲線，圖像上各點與坐標原點的連線（過原點的割線）的斜率即為各狀態(tài)下導體的電阻值，由圖像可知R=tan？茲≠=tanα。

2.電源的U-I圖像

由函數(shù)式U=E-Ir可知，電源的U-I圖像（也稱電源的外特征曲線）通常為向下傾斜的直線，圖像上各點與坐標原點的連線的斜率即為各狀態(tài)下外電阻的阻值，而圖像的斜率則為電源的內(nèi)電阻。由圖像可以看出：tan？茲1==R1≠tan？茲2==R2、tan？琢===r，即不同狀態(tài)下外電阻的阻值各不相同，但同一電源的內(nèi)電阻是不變的（中學階段電路所用電源通常認為是理想電源）。此外，電源的U-I圖像（外特征曲線）還有著更為豐富的內(nèi)涵，反映著電源多方面的特性：如圖2乙所示，圖線與縱軸的交點表示電源電動勢的大?。〝嗦窢顟B(tài)時的路端電壓）；圖線與橫軸的交點表示短路電流；斜畫線所示“面積”表示某一工作狀態(tài)下的輸出功率，四邊形U斷OI0所圍“面積”表示電源的總功率，四邊形U斷OPU所圍“面積”則表示電源內(nèi)阻消耗的熱功率，當U=時，電源的輸出功率最大。

二、U-I圖像的應用

1.用U-I圖像分析電路的恒量與變量

例1.（2006 上海物理卷）在如圖3所示電路中，閉合電鍵S，當滑動變阻器的滑動觸頭P向下滑動時，四個理想電表的示數(shù)都發(fā)生變化，電表的示數(shù)分別用I、U1、U2和U3表示，電表示數(shù)變化量的大小分別用ΔI、ΔU1、ΔU2和ΔU3表示，下列比值正確的是

（ ）。

A.U1/I不變，ΔU1/ΔI不變 B.U2/I變大，ΔU2/ΔI變大

C.U2/I變大，ΔU2/ΔI不變 D.U3/I變大，ΔU3/ΔI不變

解析：由于是串聯(lián)回路，電流表測得的是流經(jīng)各部分電路的電流，電壓表測得的是定值電阻R1兩端的電壓，由線性電阻的U-I圖像（如圖1甲所示）可知：U1/I=ΔU1/ΔI=R1是不變的；電壓表測得的是電源兩端的電壓（即路端電壓），由電源的U-I圖像可知：U3/I為外電路的總電阻R1+R2，將隨滑動觸頭P向下滑動而增大，但ΔU3/ΔI為電源的內(nèi)電阻r，顯然是不變的；電壓表測得的是可變電阻R2兩端的電壓，若將定值電阻R1等效地放入電源內(nèi)電阻，則測得的電壓將變成等效路端電壓，同樣由電源的U-I圖像可知：U2/I為等效外電阻R2，也將隨滑動觸頭P向下滑動而增大，但ΔU2/ΔI為電源的等效內(nèi)電阻r+R1，顯然也是不變的。故正確答案為A、C、D。

點評：本題很好地考查了學生對內(nèi)外電路局部與整體關系的

把握能力以及電路變化過程中恒量與變量的分析水平。不少學生能分析U1/I、ΔU1/ΔI、U2/I、U3/I的變化情況，但分析ΔU2/ΔI、ΔU3/ΔI是否改變則感到非常困難。采用U-I圖像輔助分析則使學生對這一錯綜復雜的疑難問題有了直觀而本質(zhì)的認識。

2.用U-I圖像分析電路的功率與效率

例2.如圖4所示，R1為定值電阻，R2為可變電阻，E為電源電動勢，r為電源內(nèi)電阻，若R1>r，可變電阻的總阻值為R2>R1+r，則當R2調(diào)至何值時，（1）電源的輸出功率最大？（2）R2獲得的功率最大？（3）R1獲得的功率最大？（4）電源的工作效率最高？

解析：如圖5甲所示，a為外電阻的U-I圖線，b為電源的U-I圖線，由數(shù)學知識不難得到當a圖線的傾角？茲與b圖線的傾角？琢越接近的時候斜畫線所示“面積”越大，即外電阻越接近內(nèi)電阻的

時候，電源的輸出功率越大；而當甲圖線的傾角？茲與乙圖線的傾角？琢相等的時候斜畫線所示“面積”最大，即外電阻等于內(nèi)電阻的時候，電源的輸出功率最大。因此當R2調(diào)至零（外電阻R1+R2最接近內(nèi)阻r）時，電源的輸出功率為實際的最大值；當R2調(diào)至R2=R1+r時，R2獲得的功率最大（將定值電阻R1等效地放入電源內(nèi)電阻，R2獲得的功率即為等效電源的輸出功率，此時圖線a的斜率為R2，圖線b的斜率為R1+r）；當R2調(diào)至零時，R1獲得的功率最大[將可變電阻R2等效地放入電源內(nèi)電阻，如圖5乙所示，a為定值外電阻R1的U-I圖線，b為內(nèi)阻可變等效電源（電動勢E，內(nèi)阻R2+r）的U-I圖線，當b圖線的斜率越小即等效內(nèi)阻越小時，工作點越高，斜畫線所示面積越大，外電阻R1獲得的功率越大]；電源的工作效率？濁=×100%=×100%，由圖5甲不難看出，當a圖線的斜率越大即外電阻越大時，工作電壓（路端電壓）U越大，電源的工作效率越高，因此當R2調(diào)至阻值最大時，電源的工作效率最高。

點評：解答此題的一般思路是先研究輸出功率與外電阻的關系：P出=I2R=≤，得出當R=r時，輸出功率最大為P出max=。但在回答第一問時就會遇到無法獲得理論上最大輸出值的疑難，為了讓學生直觀地認識到輸出功率與外電阻的定性與定量關系，教師往往要介紹P出-R圖像。由前述函數(shù)式可知，輸出功率與外電阻是非線性關系，圖線較難描繪，若給出大致的圖線，學生將信將疑，不利于知識的有效順應。如果運用U-I圖像進行分析，則可以通過工作點的變化動態(tài)把握電路的供電與供能情況。

3.用U-I圖像確定非線性元件的工作點

例3.（2004 上海物理卷）小燈泡燈絲的電阻會隨溫度的升高而變大。某同學為研究這一現(xiàn)象，用實驗得到如下數(shù)據(jù)（I和U分別表示小燈泡上的電流和電壓）：endprint

（1）在左下框中畫出實驗電路圖。可用的器材有：電壓表、電流表、滑線變阻器（變化范圍0～10 Ω）、電源、小燈泡、電鍵、導線

若干。

（2）在右圖中畫出小燈泡的U-I曲線。

（3）如果將本題中的小燈泡接在電動勢是1.5 V，內(nèi)阻是2.0 Ω的電池兩端，小燈泡的實際功率是多少？（簡要寫出求解過程；若需作圖，可直接畫在第（2）小題的方格圖中）

解析：根據(jù)實驗數(shù)據(jù)繪出小燈泡的U-I圖線，如圖6所示，顯然是非線性的，即不同工作狀態(tài)下其電阻值是變化的，因此要計算其實際功率，工作狀態(tài)的確定是一難點。我們可在同一坐標系中作出電源的U-I圖線，該圖線與小燈泡的U-I曲線的交點即為反映此電源對上述小燈泡供電時工作狀態(tài)的工作點，由此可得小燈泡的工作電流為0.35 A，工作電壓為0.80 V，實際功率為0.28 W。

點評：本題第（3）問對實驗數(shù)據(jù)的處理進行了拓展、延伸，很好地考查了學生對電阻和電源的U-I圖線的理解和應用能力，那些只知道死套公式的學生，面對這樣非常規(guī)的問題往往是束手無策的。

4.用U-I圖像分析電學實驗的系統(tǒng)誤差

例4.試分析以下兩種“測定電池的電動勢和內(nèi)阻”實驗電路的系統(tǒng)誤差。

解析：采用圖7甲所示電路進行測量時，由于電壓表的分流作用，電流表讀數(shù)將小于通過電池的電流，從而產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。設電壓表讀數(shù)為U測，電流表讀數(shù)為I測，電壓表的內(nèi)阻為RV，通過電壓表的電流為IV，電池電動勢的真實值為E，電池內(nèi)阻的真實值為r，則由圖7甲電路分析可得U測=E-（I測+IV）r，其中IV=，所以有U測=E-（I測+）r，整理可得U測=E-I測，由此函數(shù)式可知，在由實驗測得的多組U測、I測數(shù)據(jù)描點畫出的U-I圖像上，圖線縱截距和斜率大小分別為E測=E， r測=，與理論上的圖線比較可以看出：電動勢和內(nèi)阻的測量值均偏小；而采用圖7乙所示電路進行測量時，系統(tǒng)誤差則主要來源于電流表的分壓作用（電壓表讀數(shù)小于路端電壓）。設電流表的內(nèi)阻為RA，電壓表和電流表的讀數(shù)分別為U測和I測，則由圖7乙電路分析可得U測=E-I測（RA+r），由此函數(shù)式可知，在由實驗測得的多組U測、I測數(shù)據(jù)描點畫出的U-I圖像上，圖線縱截距和斜率大小分別為E測=E，r測=r+RA，與理論上的圖線比較可以看出：電動勢的測量值是準確的，內(nèi)阻的測量值偏大。

點評：電學實驗系統(tǒng)誤差的分析是學生學習中的難點，借助于電源的U-I圖像，可以使學生在領會“測定電池的電動勢和內(nèi)阻”實驗原理的基礎上，直觀而又深刻地認識到系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生以及相應實驗電路的優(yōu)化選擇（設計）：為了減小系統(tǒng)誤差，當電壓表內(nèi)阻遠大于電池內(nèi)阻時（如實驗室常用的干電池），應采用圖7甲所示電路；而當電流表內(nèi)阻遠小于電池內(nèi)阻時（如水果電池），應采用圖7乙所示電路。

（作者單位 浙江省杭州市第四中學）

編輯 謝尾合endprint

（1）在左下框中畫出實驗電路圖。可用的器材有：電壓表、電流表、滑線變阻器（變化范圍0～10 Ω）、電源、小燈泡、電鍵、導線

若干。

（2）在右圖中畫出小燈泡的U-I曲線。

（3）如果將本題中的小燈泡接在電動勢是1.5 V，內(nèi)阻是2.0 Ω的電池兩端，小燈泡的實際功率是多少？（簡要寫出求解過程；若需作圖，可直接畫在第（2）小題的方格圖中）

解析：根據(jù)實驗數(shù)據(jù)繪出小燈泡的U-I圖線，如圖6所示，顯然是非線性的，即不同工作狀態(tài)下其電阻值是變化的，因此要計算其實際功率，工作狀態(tài)的確定是一難點。我們可在同一坐標系中作出電源的U-I圖線，該圖線與小燈泡的U-I曲線的交點即為反映此電源對上述小燈泡供電時工作狀態(tài)的工作點，由此可得小燈泡的工作電流為0.35 A，工作電壓為0.80 V，實際功率為0.28 W。

點評：本題第（3）問對實驗數(shù)據(jù)的處理進行了拓展、延伸，很好地考查了學生對電阻和電源的U-I圖線的理解和應用能力，那些只知道死套公式的學生，面對這樣非常規(guī)的問題往往是束手無策的。

4.用U-I圖像分析電學實驗的系統(tǒng)誤差

例4.試分析以下兩種“測定電池的電動勢和內(nèi)阻”實驗電路的系統(tǒng)誤差。

解析：采用圖7甲所示電路進行測量時，由于電壓表的分流作用，電流表讀數(shù)將小于通過電池的電流，從而產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。設電壓表讀數(shù)為U測，電流表讀數(shù)為I測，電壓表的內(nèi)阻為RV，通過電壓表的電流為IV，電池電動勢的真實值為E，電池內(nèi)阻的真實值為r，則由圖7甲電路分析可得U測=E-（I測+IV）r，其中IV=，所以有U測=E-（I測+）r，整理可得U測=E-I測，由此函數(shù)式可知，在由實驗測得的多組U測、I測數(shù)據(jù)描點畫出的U-I圖像上，圖線縱截距和斜率大小分別為E測=E， r測=，與理論上的圖線比較可以看出：電動勢和內(nèi)阻的測量值均偏??；而采用圖7乙所示電路進行測量時，系統(tǒng)誤差則主要來源于電流表的分壓作用（電壓表讀數(shù)小于路端電壓）。設電流表的內(nèi)阻為RA，電壓表和電流表的讀數(shù)分別為U測和I測，則由圖7乙電路分析可得U測=E-I測（RA+r），由此函數(shù)式可知，在由實驗測得的多組U測、I測數(shù)據(jù)描點畫出的U-I圖像上，圖線縱截距和斜率大小分別為E測=E，r測=r+RA，與理論上的圖線比較可以看出：電動勢的測量值是準確的，內(nèi)阻的測量值偏大。

點評：電學實驗系統(tǒng)誤差的分析是學生學習中的難點，借助于電源的U-I圖像，可以使學生在領會“測定電池的電動勢和內(nèi)阻”實驗原理的基礎上，直觀而又深刻地認識到系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生以及相應實驗電路的優(yōu)化選擇（設計）：為了減小系統(tǒng)誤差，當電壓表內(nèi)阻遠大于電池內(nèi)阻時（如實驗室常用的干電池），應采用圖7甲所示電路；而當電流表內(nèi)阻遠小于電池內(nèi)阻時（如水果電池），應采用圖7乙所示電路。

（作者單位 浙江省杭州市第四中學）

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（1）在左下框中畫出實驗電路圖?？捎玫钠鞑挠校弘妷罕怼㈦娏鞅?、滑線變阻器（變化范圍0～10 Ω）、電源、小燈泡、電鍵、導線

若干。

（2）在右圖中畫出小燈泡的U-I曲線。

（3）如果將本題中的小燈泡接在電動勢是1.5 V，內(nèi)阻是2.0 Ω的電池兩端，小燈泡的實際功率是多少？（簡要寫出求解過程；若需作圖，可直接畫在第（2）小題的方格圖中）

解析：根據(jù)實驗數(shù)據(jù)繪出小燈泡的U-I圖線，如圖6所示，顯然是非線性的，即不同工作狀態(tài)下其電阻值是變化的，因此要計算其實際功率，工作狀態(tài)的確定是一難點。我們可在同一坐標系中作出電源的U-I圖線，該圖線與小燈泡的U-I曲線的交點即為反映此電源對上述小燈泡供電時工作狀態(tài)的工作點，由此可得小燈泡的工作電流為0.35 A，工作電壓為0.80 V，實際功率為0.28 W。

點評：本題第（3）問對實驗數(shù)據(jù)的處理進行了拓展、延伸，很好地考查了學生對電阻和電源的U-I圖線的理解和應用能力，那些只知道死套公式的學生，面對這樣非常規(guī)的問題往往是束手無策的。

4.用U-I圖像分析電學實驗的系統(tǒng)誤差

例4.試分析以下兩種“測定電池的電動勢和內(nèi)阻”實驗電路的系統(tǒng)誤差。

解析：采用圖7甲所示電路進行測量時，由于電壓表的分流作用，電流表讀數(shù)將小于通過電池的電流，從而產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。設電壓表讀數(shù)為U測，電流表讀數(shù)為I測，電壓表的內(nèi)阻為RV，通過電壓表的電流為IV，電池電動勢的真實值為E，電池內(nèi)阻的真實值為r，則由圖7甲電路分析可得U測=E-（I測+IV）r，其中IV=，所以有U測=E-（I測+）r，整理可得U測=E-I測，由此函數(shù)式可知，在由實驗測得的多組U測、I測數(shù)據(jù)描點畫出的U-I圖像上，圖線縱截距和斜率大小分別為E測=E， r測=，與理論上的圖線比較可以看出：電動勢和內(nèi)阻的測量值均偏??；而采用圖7乙所示電路進行測量時，系統(tǒng)誤差則主要來源于電流表的分壓作用（電壓表讀數(shù)小于路端電壓）。設電流表的內(nèi)阻為RA，電壓表和電流表的讀數(shù)分別為U測和I測，則由圖7乙電路分析可得U測=E-I測（RA+r），由此函數(shù)式可知，在由實驗測得的多組U測、I測數(shù)據(jù)描點畫出的U-I圖像上，圖線縱截距和斜率大小分別為E測=E，r測=r+RA，與理論上的圖線比較可以看出：電動勢的測量值是準確的，內(nèi)阻的測量值偏大。

點評：電學實驗系統(tǒng)誤差的分析是學生學習中的難點，借助于電源的U-I圖像，可以使學生在領會“測定電池的電動勢和內(nèi)阻”實驗原理的基礎上，直觀而又深刻地認識到系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生以及相應實驗電路的優(yōu)化選擇（設計）：為了減小系統(tǒng)誤差，當電壓表內(nèi)阻遠大于電池內(nèi)阻時（如實驗室常用的干電池），應采用圖7甲所示電路；而當電流表內(nèi)阻遠小于電池內(nèi)阻時（如水果電池），應采用圖7乙所示電路。

（作者單位 浙江省杭州市第四中學）

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