李華東，朱錫，梅志遠(yuǎn)，張穎軍

(海軍工程大學(xué)艦船工程系，湖北武漢430033)

功能梯度材料(functionally graded materials，F(xiàn)GM)［1-2］由2種或2種以上材料按不同組分復(fù)合，其材料性能在某一方向上連續(xù)梯度變化，消除了明顯的界面和性能突變，在工程結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。

目前，在單一功能梯度結(jié)構(gòu)和功能梯度夾層結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的研究方面，采用高階剪切變形理論和高階層合板理論，Pradyumna等［3-4］分別給出了功能梯度曲板和具有功能梯度芯材的夾層梁自由振動(dòng)問(wèn)題的解，而Neves等［5］則采用考慮厚度方向變形的高階剪切變形理論，對(duì)功能梯度板和功能梯度夾層板的自由振動(dòng)和屈曲性能進(jìn)行研究。而采用Ritz法，Zhao等［6-7］分別對(duì)功能梯度板和功能梯度夾層板的自由振動(dòng)進(jìn)行了分析。

通過(guò)對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)的分析可以看出，目前對(duì)于如下形式的功能梯度夾層結(jié)構(gòu):表層為厚度較薄、彈性模量較高的正交各向異性材料，芯材為厚度較大、彈性模量較低的FGM振動(dòng)特性研究還未見(jiàn)有報(bào)道。本文基于Reissner假設(shè)，對(duì)表層為正交各向異性復(fù)合材料，芯材為FGM的功能梯度夾層矩形板的自由振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，F(xiàn)GM芯材的泊松比保持恒定，而彈性模量在厚度上呈任意函數(shù)Eg(z)變化。

1 位移與內(nèi)力分布假設(shè)

如圖1所示，本文研究的功能梯度夾層板的表層較硬(厚度為t)，而芯材較軟(厚度為h)，因而在本文中，采用Reissner理論的下列假設(shè)［8］:1)表層厚度較薄，因而假設(shè)應(yīng)力沿其厚度均勻分布，即處于薄膜應(yīng)力狀態(tài)。2)芯材模量較低，忽略其平行于xy平面的應(yīng)力，即σx=σy=τxy=0。3)只考慮夾層板的反對(duì)稱(chēng)變形模式，即在芯材和表層中，εz=0，σz=0。

圖1 功能梯度夾層矩形板Fig.1 FGM sandwich rectangular plate

1.1 芯材的應(yīng)力和位移場(chǎng)

在本文中，上表層為z軸負(fù)方向的面，下表層為z軸正方向的面，則由假設(shè)2及芯材在x、y方向上的平衡方程［9］:

得出

可以看出剪應(yīng)力在梯度芯材上是均勻分布的，而根據(jù)剪切應(yīng)力的邊界條件，在夾層板的上下表面處:

由于上下表層較薄，所以可以假設(shè)剪切應(yīng)力在表層中呈線性分布，得到剪切應(yīng)力τxz、τyz在厚度上方向上的分布如圖2［10］所示。

假設(shè)Qx、Qy為夾層板中的總橫向剪力，則得到芯材中的剪切應(yīng)力［8］為

根據(jù)胡克定律，芯材相應(yīng)的剪應(yīng)力變?yōu)?/p>

式中:u、v和w為芯材中各點(diǎn)在x、y和z軸方向的位移;Gg(z)為芯材在xz和yz平面內(nèi)的剪切模量，其表達(dá)式為

將式(1)對(duì)z積分，得出

圖2 厚度方向橫向剪應(yīng)力分布假設(shè)Fig.2 The variation assumption of transverse shear stress through the thickness

1.2 表層位移場(chǎng)假設(shè)

假設(shè)u+、v+為下表層中面各點(diǎn)在x、y軸方向的位移，u-、v-為上表層中面各點(diǎn)在x、y軸方向的位移，根據(jù)假設(shè) 1 得［11］:

以上位移的偏導(dǎo)數(shù)

在平面應(yīng)力問(wèn)題中，物理方程如下:

式中:

由式(3)可以得出表層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

式中:

根據(jù):

則

1.3 板的內(nèi)力表達(dá)式

夾層板總彎矩Mx、Mx和總扭矩Mxy=Myx為［8］

將式(2)、(4)代入上式得

式中:

2 運(yùn)動(dòng)方程及求解

2.1 運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于功能梯度夾層板而言，其仍滿足單層板的如下運(yùn)動(dòng)平衡方程:

式中:ω為圓頻率，ρs為功能梯度夾層結(jié)構(gòu)的面密度，其計(jì)算式如下

式中:ρf為夾層結(jié)構(gòu)上下表層的體積密度，ρc(z)為FGM芯材密度的分布函數(shù)。

將式(5)代入平衡方程(6)，可得

2.2 方程的求解

首先，根據(jù)“四邊簡(jiǎn)支”邊界條件:

設(shè)

由運(yùn)動(dòng)方程(6)，得

方程(7)的前2個(gè)式子可以簡(jiǎn)寫(xiě)為如下線性方程組的形式

式中:

則

式中:

將式(8)代入平衡方程(7)的第3個(gè)式子，得

因?yàn)閃mn≠0，則

則，功能梯度夾芯板固有頻率的計(jì)算式為

3 功能梯度夾層板固有頻率計(jì)算

3.1 彈性模量呈線性分布的FG夾層板固有頻率

夾層板總厚度為50 mm，其上下表層與芯材的厚度分別為5 mm與40 mm，面內(nèi)尺寸:a=b=1 000 mm。表層為正交異性材料，其材料工程彈性常數(shù)為:Ex=140 GPa，Ey=8.6 GPa，Gxy=5 GPa，νxy=0.35，ρf=1.2×10-6kg/mm3。芯材為功能梯度材料，其彈性模量分布遵循:

式中，E0=Eg(0)=55 MPa，而E1=100 MPa、E2=10 MPa分別為芯材上下表面處的彈性模量，芯材泊松比 μ=0.45，ρc=0.8×10-6kg/mm3。

為驗(yàn)證本文方法計(jì)算結(jié)果的正確性，采用有限元仿真軟件ABAQUS對(duì)本問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算。在厚度方向上利用20層等厚度的均質(zhì)各向同性材料對(duì)FGM芯材進(jìn)行模擬，單元類(lèi)型為三維實(shí)體線性縮減單元C3D8R，而表層采用skin技術(shù)，單元類(lèi)型為二維線性縮減殼單元S4R。為與有限元仿真結(jié)果一致，將角頻率轉(zhuǎn)化為頻率f，其計(jì)算式如下:

功能梯度矩形夾層板各階固有頻率的有限元仿真結(jié)果和本文解的對(duì)比如表1所示，從中可以看出，本文解與有限元仿真結(jié)果相近，最大誤差為2.1%，說(shuō)明本文方法具有較高的正確性和精確度。

表1 矩形夾層板固有頻率f的對(duì)比Table 1 Comparison of natural frequencies f of rectangular sandwich plates

3.2 彈性模量呈冪律分布的FG夾層板固有頻率

計(jì)算FGM芯材的彈性模量呈如下冪律分布時(shí)，3.1節(jié)中的FG夾層矩形板的固有頻率。芯材彈性模量的分布遵循以下函數(shù)［12-13］:

式中:E1為芯材上表面處的彈性模量，λ為芯材下表面與上表面處的彈性模量的比值，n0為組分材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)。

對(duì)參數(shù)λ和n0、跨厚比δ及面內(nèi)尺寸比κ對(duì)表層為正交各向異性材料的功能梯度夾層矩形板固有頻率的影響進(jìn)行分析，在本節(jié)中，比值δ和κ的定義式如下

同時(shí)，定義無(wú)量固有頻率的計(jì)算式如下［13］

式中，ρf和Ey為表層的密度和彈性模量。

3.2.1 材料參數(shù)對(duì)FG夾層板固有頻率的影響

如表2所示，給出了當(dāng)FGM芯材的密度在厚度方向上保持恒定，且a=b=1 000 mm時(shí)，λ和n0對(duì)正交各向異性功能梯度夾層矩形板的一階固有頻率的影響。從表中可以看出:1)對(duì)于不同取值的n0，F(xiàn)G夾層矩形板的一階無(wú)量綱固有頻率均隨λ的增大而增大;2)當(dāng)λ＜1時(shí)，F(xiàn)G夾層板的一階無(wú)量綱固有頻率隨著n0的增大而降低，反之則相反。

表2 FG夾層板的一階無(wú)量綱頻率(ρc為常數(shù))Table 2 The non-dimensional fundamental frequencyof FG sandwich plates(ρcis constant)

表2 FG夾層板的一階無(wú)量綱頻率(ρc為常數(shù))Table 2 The non-dimensional fundamental frequencyof FG sandwich plates(ρcis constant)

images/BZ_193_397_1612_1105_1671.png0.1 4.17 3.53 2.9 0.2 4.33 3.87 3.42 1 5 5 5 2 5.46 5.66 5.86 5 6.24 6.67 7.08 10 6.95 7.49 7.98

假設(shè)芯材的密度遵循如下與彈性模量一致的分布函數(shù):

式中，ρt=0.8×10-6kg/mm3。

表3 FG夾層板的一階無(wú)量綱頻率(ρc=ρc(z))Table 3 The non-dimensional fundamental frequency ω-of FG sandwich plates(ρc= ρc(z))

表3 FG夾層板的一階無(wú)量綱頻率(ρc=ρc(z))Table 3 The non-dimensional fundamental frequency ω-of FG sandwich plates(ρc= ρc(z))

images/BZ_193_397_2567_1105_2626.png0.1 4.72 4.3 3.86 0.2 4.83 4.6 4.37 1 5 5 5 2 4.9 4.85 4.81 5 4.45 4.26 4.13 10 3.9 3.63 3.45

如表3所示，當(dāng)FGM芯材密度ρc遵循式(9)變化時(shí)，參數(shù)λ和n0對(duì)固有頻率的影響與密度ρc保持恒定時(shí)不同，可以看出:1)當(dāng)λ＜1時(shí)，隨λ的增大而增大，反之則相反;2)對(duì)于λ＜1和λ＞1時(shí)，隨著n0的增大而降低?？梢钥闯?，當(dāng)FGM芯材的密度在厚度方向上變化時(shí)，材料參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)一階固有頻率的影響與密度保持恒定時(shí)不同。

3.2.2 跨厚比δ對(duì)FG夾層板固有頻率的影響

研究FGM芯材的密度保持恒定且a=b時(shí)，F(xiàn)G夾層矩形板的跨厚比δ對(duì)不同λ和n0的正交各向異性功能梯度夾層矩形板固有頻率的影響。如圖3所示，分別給出了功能梯度夾層矩形板一階無(wú)量綱固有頻率隨跨厚比δ=a/(h+2t)的變化規(guī)律，從圖3中可以看出，對(duì)正交各向異性功能梯度夾層板而言，無(wú)量綱頻率隨跨厚比δ的增大而升高。

圖3 無(wú)量綱固有頻率隨跨厚比δ的變化規(guī)律Fig.3 The non-dimensional fundamental frequencyversus side-to-thickness ratio δ

圖4 無(wú)量綱固有頻率隨縱橫比κ的變化規(guī)律Fig.4 The non-dimensional fundamental frequencyversus aspect ratio κ

3.2.3 面內(nèi)縱橫比κ對(duì)FG夾層板固有頻率的影響

研究當(dāng)b=1 000 mm且FGM芯材的密度在厚度方向上保持恒定時(shí)，面內(nèi)縱橫比κ=a/b對(duì)不同λ和n0的正交各向異性FG夾層矩形板無(wú)量綱頻率的影響，由圖4可以看出，對(duì)正交各向異性功能梯度夾層板而言，隨面內(nèi)縱橫比κ的增大而降低。

4 結(jié)論

基于Reissner假設(shè)，本文對(duì)四邊簡(jiǎn)支的功能梯度夾層矩形板的自由振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，得到了表層為正交各向異性材料的FG夾層矩形板固有頻率的理論解，并詳細(xì)探討了材料屬性分布參數(shù)λ和n0、結(jié)構(gòu)跨厚比δ及面內(nèi)縱橫比κ對(duì)芯材彈性模量在厚度方向上呈冪律分布的FG夾層板固有頻率的影響。通過(guò)本文的分析可以看出:

1)對(duì)于表層為正交各向異性材料的FG夾層矩形板而言，當(dāng)芯材的密度在厚度方向上保持恒定時(shí)，其一階無(wú)量綱固有頻率均隨λ的增大而增大;

2)在跨厚比δ和縱橫比κ已定時(shí)，當(dāng)λ＜1時(shí)，一階無(wú)量綱固有頻率隨著n0的增大而降低，反之則相反。

3)在λ已定時(shí)，無(wú)量綱頻率隨跨厚比δ=a/(h+2t)的增大而升高，隨面內(nèi)縱橫比κ=a/b的增大而降低。

4)而當(dāng)其芯材密度在厚度方向上變化時(shí)，F(xiàn)GM芯材的材料屬性分布參數(shù)λ和n0對(duì)功能梯度夾層板固有頻率的影響與芯材密度保持恒定時(shí)不同，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要針對(duì)Ec(z)和ρc(z)特定的分布函數(shù)進(jìn)行分析。

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