林躍峰

(漳州城市職業(yè)學(xué)院經(jīng)濟管理系，中國 漳州 363000)

交錯三角格的鏈環(huán)分支數(shù)的進一步結(jié)論

林躍峰*

(漳州城市職業(yè)學(xué)院經(jīng)濟管理系，中國 漳州 363000)

鏈環(huán)投影圖與符號平圖有著一一對應(yīng)關(guān)系,這種對應(yīng)被應(yīng)用于構(gòu)造鏈環(huán)圖表.研究平圖對應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù),是研究通過平圖的中間圖構(gòu)造所對應(yīng)的鏈環(huán)的基本問題之一.給出了關(guān)于交錯三角格圖的鏈環(huán)分支數(shù)的進一步結(jié)論.

交錯三角格圖;Reidemeister變換; 鏈環(huán)分支數(shù)

平面圖的平面嵌入稱為平圖,即無符號平圖.給一個連通平圖G,定義G的中間圖M(G)如下:若G是一個平凡圖,則M(G)是圍繞G的頂點的一條簡單閉曲線;若G是一個非平凡圖,則M(G)的頂點是G的邊,G的面f=v1e1v2e2…vnenv1確定M(G)的位于面f內(nèi)的兩兩不相交的n條邊{eiei+1:1≤i≤n-1}∪{ene1},特別地,G的環(huán)面f=vev確定M(G)的以e為頂點的位于面f內(nèi)的一個環(huán).因此,每個連通平圖G的中間圖M(G)都是4-正則連通平圖[1].

在紐結(jié)理論中,鏈環(huán)分支數(shù)是鏈環(huán)的一個不變量.由一個平圖得到的鏈環(huán)的分支數(shù)不依賴于平面圖的平面嵌入方式[2].文獻[3]研究平圖G的左右回路數(shù),即平圖G對應(yīng)的中間圖M(G)的直走閉跡回路數(shù)[4],即平圖G通過中間圖M(G)構(gòu)造所對應(yīng)的鏈環(huán)圖L(G)的鏈環(huán)投影圖D(G)的連通分支數(shù),即平圖G的鏈環(huán)分支數(shù)[5-6],記為μ(D(G)).文獻[2，7]分別研究了二維方格圖Lm×n=Pm×Pn和三角格圖Tm×n的鏈環(huán)分支數(shù).文獻[8]研究交錯三角格圖ATm×n(即由二維方格圖Lm×n的每個小方格內(nèi)分別增加一條對角邊,其左起奇數(shù)(偶數(shù))列的小方格內(nèi)增加的對角邊以該小方格左下(上)角和右上(下)角的頂點為兩端點,所得的m×n三角格圖)的鏈環(huán)分支數(shù),證明了交錯三角格圖ATm×(2m-2)(m≥2)和ATm×n(2≤m≤4)的鏈環(huán)分支數(shù).關(guān)于圖的結(jié)構(gòu)和平圖的鏈環(huán)分支數(shù)有關(guān)的工作,詳見文獻[9～13].本文延續(xù)文獻[8]的工作,給出交錯三角格圖ATm×n(m=5,6,7,8)的鏈環(huán)分支數(shù)的計數(shù).

1 幾個已知的引理

約定無符號平圖的3類Reidemeister變換簡記為平圖的R-變換[8],約定G1∪G2表示兩個圖G1和G2的不交并.

引理1[14]平圖在R-變換下不改變其對應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù).

引理2[2]平圖G中,μ(D(G))=k當(dāng)且僅當(dāng)G能通過有限次無符號平圖的R-變換變換為空圖Ok.

引理3[2]設(shè)G和H是兩個平圖,x1,x2,…,xn和u1,u2,…,un分別是G的外部面F的n個頂點和H的某個面的n個頂點.對于每個i(i=1,2,…,n),當(dāng)dG(xi)≤1時,設(shè)Ci是D(G)的圍繞G的頂點xi且將xi與G其他頂點分離的分支;當(dāng)dG(xi)>1時,設(shè)Ci是D(G)的連續(xù)穿過面F的邊界上的頂點xi的連續(xù)的兩條關(guān)聯(lián)邊,且與G的這兩個交叉點之間的連邊在面F內(nèi)的分支.若μ(D(G))=n且D(G)的分支C1,C2,…,Cn兩兩不同,則μ(D(G(x1,x2,…,xn)∪H(u1,u2,…,un)))=μ(D(H)).

引理4[2]設(shè)m是正整數(shù),則μ(D(Lm×m))=m.

由二維m×n方格圖Lm×n對左起第一列方格中的每一個小方格分別都增加一條以該小方格左下角和右上角的頂點為兩端點的對角邊,且對最后一行的除左起第一條邊之外的每一條邊分別都新增一個剖分點,所得的m×n格圖記為圖Bm×n.

引理5[8]設(shè)m是正整數(shù),且m≥2,則μ(D(Bm×m))=m.

引理6[8]設(shè)m,n是正整數(shù),m≥2.若n=0(mod 2m-1),則μ(D(ATm×n))=1.

引理7[8]設(shè)m,n是正整數(shù),m≥2,n>2m-1,則μ(D(ATm×n))=μ(D(ATm×(n-2m+1))).

約定,gcd(p,q)表示正整數(shù)p和q的最大公約數(shù).

2 交錯三角格圖ATm×n(m=5,6,7,8)的鏈環(huán)分支數(shù)

本節(jié)研究并證明交錯三角格圖ATm×n(m=5,6,7,8)的鏈環(huán)分支數(shù).

圖1 平圖的σ-變換Fig.1 Plane graphical σ-transformation

由二維m×n方格圖Lm×n對第一行的每一條邊分別都新增一個剖分點,所得m×n格圖記為圖Cm×n.

引理11 設(shè)m是正整數(shù),則μ(D(Cm×m))=1.

又k+1=(k-8) (mod 9),故

根據(jù)歸納法原理,定理1成立.

仿定理1的證明,可以證明下面的定理2和定理3.證明過程略.

又k+1=(k-14) (mod 15),故

根據(jù)歸納法原理,定理4成立.

致謝作者的導(dǎo)師金賢安老師提出了格圖的鏈環(huán)分支數(shù)問題,并對本文的研究提出了許多寶貴建議.在此表示感謝!

[1] GODSIL C, ROYLE G. Algebraic graph theory[M]. New York: Springer-Verlag, 2001.

[2] JIN X A, DONG F M, TAY E G. Determining the component number of links corresponding to lattices[J]. J Knot Theor Ramif, 2009,18(12):1711-1726.

[3] SHANK H. The theory of left-right paths[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1975.

[4] PISANSKI T, TUCKER T W, ZITNIK A. Straight-ahead walks in Eulerian graphs[J]. Discrete Math, 2004,281(1-3):237-246.

[5] JIN X A, DONG F M, TAY E G. On graphs determining links with maximal number of components via medial construction[J]. Discrete Appl Math, 2009,157(14):3099-3110.

[6] ENDO T. The link component number of suspended trees[J]. Graph Combinator, 2010,26(4): 483-490.

[7] JIANG L P, JIN X A, DENG K C. Determining the component number of links corresponding to triangular and honeycomb lattices[J]. J Knot Theor Ramif, 2012,21(2):1250018.

[8] 林躍峰.交錯三角格的鏈環(huán)分支數(shù)的幾個結(jié)論[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報, 2013, 36(1):12-16.

[9] LIN Y F, NOBLE S D, JIN X A,etal. On plane graphs with link component number equal to the nullity[J]. Discrete Appl Math, 2012,160(9):1369-1375.

[10] 湯自凱,侯耀平.恰有兩個主特征值的三圈圖[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報, 2011,34(4):7-12.

[11] 袁名焱,羅秋紅,湯自凱.由星補刻畫的一類廣義線圖[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報, 2012,35(1):13-20.

[12] JIANG L P, JIN X A. Enumeration of left-right paths of square and triangular lattices on some surfaces [J]. 數(shù)學(xué)研究, 2011,44(3): 257-269.

[13] 林躍峰.包含子圖K4的無割點次極大圖的唯一性[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識, 2013, 43(10):156-160.

[14] NOBLE S D, WELSH D J A. Knot graphs[J]. J Graph Theor, 2000,34(1):100-111.

(編輯 沈小玲)

Further Conclusions on the Link Component Number of Alternating Triangular Lattices

LINYue-feng*

(Department of Economic Management, Zhangzhou City Vocational College, Zhangzhou 363000, China)

There is a one-to-one correspondence between signed plane graphs and link diagrams, which was once used to link tabulations. Determining the component number of links corresponding to plane graphs is one of the basic problems in studying links via graphs. Further conclusions on the link component number of alternating triangular lattices are obtained.

alternating triangular lattices; Reidemeister move; link component number

2012-11-25

福建省教育廳A類科技基金資助項目(JA11332)

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,E-mailgads707@163.com

O157.5

A

1000-2537(2014)01-0086-04