周 麗

(安徽農業(yè)大學 數學系， 安徽 合肥 230031)

Kuramato-Tsuzuki方程的有限差分法

周 麗

(安徽農業(yè)大學 數學系， 安徽 合肥 230031)

對二維Kuramoto-Tsuzuki方程混合初邊值問題建立了線性化Grank-Nicolson格式，證明了差分格式解存在的唯一性、收斂性，并證明了收斂階為O(τ+h2)。

Kuramoto-Tsuzuki方程; 差分格式; 收斂性

0 引 言

Kuramoto-Tsuzuki方程描述了在歧點附近兩個分支的行為狀況[1]，文中討論混合初邊值問題的Kuramoto-Tsuzuki方程[2]的數值解

(1)

(2)

(3)

1 差分格式的建立

對方程(1)-方程(3)建立如下線性化Grank-Nicolson格式：

(4)

(5)

2 差分格式的可解性和收斂性

首先引入下面的Brouwer不動點定理[8-9]:引理1 設(H,(·,·)H)是有限維內積空間，‖·‖H是其上定義的范數，映射g:H→H是連續(xù)的，若存在α>0,使得對任意z∈H,‖z‖H=α，有Re(g(z),z)H≥0成立，則存在z*∈H,使得‖z*‖≤α時g(z*)=0。

證明 將方程(4)改寫成:

做映射G:CM+1→CM+1

對上式兩邊同時取實部得

解的唯一性用數學歸納法可證，證明略。

證明 由于

其中

(6)

(7)

假設u(x,t)在Ω×(0，T]上有界，則

由引理3知

由引理3

兩邊同時取實部得

當τ充分小時，由離散Gronwall不等式得到

命題得證。

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A finite difference scheme for Kuramoto-Tsuzuk equation

ZHOU Li

(Department of Mathematics, Anhui Agricultural University, Hefei 230031， China)

A linearized Crank-Nicolson finite difference scheme is studied for the mixed initial boundary of two-dimensional Kuramoto-Tsuzuki equations. Existence, uniqueness of the solutions are proved and the convergence order isO(τ+h2).

Kuramoto-Tsuzuki equation; difference scheme; convergence.

2014-06-02

安徽農業(yè)大學青年科學基金資助項目(2011zr007)

周 麗(1981-)，女，漢族，安徽蚌埠人，安徽農業(yè)大學講師，碩士，主要從事偏微分方程的數值解方向研究,E-mail:lizhou@ahau.edu.cn.

O 241.82

A

1674-1374(2014)05-0585-04