李 波，干國(guó)勝，王燕娜

(湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共課部,湖北 十堰 442000)

隨著高等數(shù)學(xué)教學(xué)的改革及發(fā)展，高校對(duì)于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)和重視程度也隨之提高。作為數(shù)學(xué)知識(shí)與應(yīng)用橋梁的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)[1]，在提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲以及培養(yǎng)學(xué)生各方面能力起到非常重要作用。

一、數(shù)學(xué)建模介紹

數(shù)學(xué)建模的實(shí)質(zhì)就是將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型化，運(yùn)用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)建立合理的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合計(jì)算機(jī)軟件來(lái)充分的解決。數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式或不等式以及圖像、圖表、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。數(shù)學(xué)是實(shí)際需要中產(chǎn)生的，要解決實(shí)際問(wèn)題就一定要建立數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)建模的步驟大致可分為如下六步[2]：

(1)模型準(zhǔn)備：首先了解實(shí)際問(wèn)題的背景，利用網(wǎng)絡(luò)查找相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，搜集必要的各種信息，盡量弄清問(wèn)題的特征，明確建模的目的，進(jìn)而初步確定建立模型的類型。

(2)模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的內(nèi)在要求以及建模的目的，抓住問(wèn)題的主要思想，忽略次要因素，對(duì)問(wèn)題提出合理的、必要的理想假設(shè)，這是建模比較關(guān)鍵的一步，要求建模者發(fā)揮想象力，判斷力和洞察力，盡量使問(wèn)題線性化、均勻化，具體問(wèn)題具體分析。

(3)模型建立：根據(jù)所做的假設(shè)，分析研究各個(gè)要素的關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以刻畫，建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而得到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。因人而異，建立的模型可以是方程、函數(shù)、圖像等。

(4)模型求解：根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用合適的數(shù)學(xué)方法求解，可以采用解方程、畫函數(shù)圖像、證明理論、數(shù)值運(yùn)算、差值擬合等數(shù)學(xué)方法，特別是應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)，需要借助Word、Excel、Mathematica、Matlab等數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，所以要求對(duì)數(shù)學(xué)軟件有基本的了解。

(5)模型驗(yàn)證：數(shù)學(xué)模型總是在不斷的分析、驗(yàn)證、論斷、評(píng)價(jià)中進(jìn)行，要進(jìn)行不斷的改進(jìn)和完善。對(duì)模型的改進(jìn)和評(píng)價(jià)要貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)建模的始終。無(wú)論哪種情況都需要進(jìn)行誤差評(píng)估，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析。建立模型的目的是為了解決實(shí)際問(wèn)題。因此，一個(gè)模型必須反映現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，滿足解決實(shí)際問(wèn)題的需求，把模型的解帶入實(shí)際中驗(yàn)證。

(6)模型推廣：為了使模型更好地應(yīng)用到實(shí)際中，發(fā)揮數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，把模型做適當(dāng)?shù)耐茝V。

二、數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的作用

1.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣

高等數(shù)學(xué)課程是高職院校相關(guān)專業(yè)必修的一門重要的基礎(chǔ)課和工具課，是我院工作過(guò)程系統(tǒng)化“211”課程體系中的公共平臺(tái)的重要課程，是學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)、發(fā)展技能的基礎(chǔ)。但由于數(shù)學(xué)學(xué)時(shí)不斷的減少，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)重要性缺乏了解，專業(yè)教學(xué)改革對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)存在偏見(jiàn)，甚至有忽視數(shù)學(xué)教學(xué)傾向，師生時(shí)間和精力有限，不能專門訓(xùn)練，學(xué)生積極性不高，數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)展緩慢。為解決這一困難，數(shù)學(xué)教師十分重視，將建模的思想逐步融入日常教學(xué)與教改中，形成“數(shù)學(xué)教學(xué)貼近高職特點(diǎn)、貼近專業(yè)特色、貼近社會(huì)生活實(shí)際、以能力培養(yǎng)為本位”的高職數(shù)學(xué)教學(xué)理念。

傳統(tǒng)的大學(xué)高數(shù)課本主要講解理論，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣也不濃厚，對(duì)我院高職學(xué)生不太適合。如果降低難度，學(xué)生學(xué)不到應(yīng)有的知識(shí)，達(dá)不到教學(xué)目的[3]。如何讓學(xué)生學(xué)起來(lái)容易，而又不降低學(xué)習(xí)質(zhì)量，培養(yǎng)具有能力和應(yīng)用型的人才呢？這就要求我院教師進(jìn)行教學(xué)改革，推出一套全新的教學(xué)方法。不但使學(xué)生學(xué)到知識(shí)，還要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。而數(shù)學(xué)建模正是高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的全新思路，下面就一個(gè)簡(jiǎn)單的建模例子說(shuō)明數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的作用。

層次分析法 ——手機(jī)的選購(gòu)問(wèn)題：

信息化時(shí)代已經(jīng)來(lái)臨，手機(jī)早已走進(jìn)千家萬(wàn)戶，而我們大學(xué)生對(duì)手機(jī)的需求也大大增加。如何選購(gòu)一款適合自己，性價(jià)比高的手機(jī)？

問(wèn)題提出：選購(gòu)手機(jī)，一般會(huì)考慮價(jià)格、像素、內(nèi)存、網(wǎng)絡(luò)制式等4個(gè)準(zhǔn)則，如何根據(jù)這幾個(gè)準(zhǔn)則對(duì)已知的小米3、努比亞 Z5SMINI、華為3C作出選擇呢？

(1)模型準(zhǔn)備：對(duì)問(wèn)題仔細(xì)分析，需要小組成員對(duì)這三種手機(jī)的參數(shù)、相關(guān)評(píng)價(jià)、信譽(yù)度等進(jìn)行查閱，可以上網(wǎng)或者到手機(jī)店咨詢等。

(2)模型假設(shè)：假設(shè)選擇的手機(jī)只受這四個(gè)準(zhǔn)則限制；只考慮題目的三種手機(jī)；成對(duì)比較法對(duì)價(jià)格等準(zhǔn)則進(jìn)行定性的兩兩比較。

(3)模型建立：Saaty等人提出通過(guò)使用尺度1～9對(duì)定性關(guān)系進(jìn)行量化，具體表示見(jiàn)下表：

定性關(guān)系量化表

根據(jù)相關(guān)準(zhǔn)則建立層次結(jié)構(gòu)模型：

通過(guò)調(diào)查分析得準(zhǔn)則層的成對(duì)比較矩陣，而成對(duì)比較矩陣一定是正互反矩陣：

其中

B1價(jià)格對(duì)三種手機(jī)的成對(duì)比較矩陣；

B2像素對(duì)三種手機(jī)的成對(duì)比較矩陣；

B3內(nèi)存對(duì)三種手機(jī)的成對(duì)比較矩陣；

B4網(wǎng)絡(luò)制式對(duì)三種手機(jī)的成對(duì)比較矩陣；

(4)模型求解：計(jì)算權(quán)向量，利用MATLAB軟件可計(jì)算成對(duì)比較陣的最大特征根，歸一化特征向量得到下列結(jié)果：

ans=4.2072

w1=0.21180.1430.19280.4523

計(jì)算權(quán)向量得：

0.4236>0.3548>0.2200

即在3部手機(jī)中應(yīng)該選擇小米3

(5)模型驗(yàn)證：對(duì)模型進(jìn)行一致性檢驗(yàn)：

CR=0.076<0.10,通過(guò) 一致性檢驗(yàn)，CR1=0.059； CR2=0.031，

CR3=0.003，CR4=0，其值均小于0.10，故均通過(guò)一致性檢驗(yàn)。

(6)模型推廣：電腦的選購(gòu)、汽車的選購(gòu)等都可以用類似的方法求解。

此建模題目是將矩陣的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合生活當(dāng)中的實(shí)際例子展開(kāi)研究的。一方面在今后的生活中購(gòu)買手機(jī)、電腦等可以作為依據(jù)；另一方面也鞏固了數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)。這也正是高職數(shù)學(xué)改革的方向，在高職數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的具體方法，將枯燥的數(shù)學(xué)內(nèi)容與豐富多彩的社會(huì)生活聯(lián)系在一起，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想，適時(shí)開(kāi)展數(shù)學(xué)建模課程，在該課程的教學(xué)中注重理論聯(lián)系實(shí)際，注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的訓(xùn)練和培養(yǎng)，在高等數(shù)學(xué)教材或者網(wǎng)絡(luò)中找到一些具有現(xiàn)實(shí)意義的例題，適當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)建模的賽題。實(shí)際上，許多數(shù)學(xué)建模賽題是課本上內(nèi)容的推廣。在講函數(shù)的連續(xù)性時(shí)，可以引入數(shù)學(xué)建模的初等模型:椅子在不平的地面上能否放穩(wěn)[4]:

問(wèn)題提出：日常生活中一個(gè)普通的事實(shí)，把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍挪動(dòng)幾次，就可以使四只腳同時(shí)著地，放穩(wěn)了。這個(gè)看來(lái)似乎與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的現(xiàn)象能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言給以表述，并用數(shù)學(xué)工具來(lái)證實(shí)嗎？

(1)模型準(zhǔn)備：通常椅子三只腳著地，放穩(wěn)后四只腳著地。

(2)模型假設(shè)：四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形；地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面；地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。

(3)模型建立：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)，如下圖:用 θ(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置，四角著地就代表椅腳與地面距離為零，并且距離是θ的函數(shù)，利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性，四個(gè)距離可以用兩個(gè)距離代替。設(shè)AC 兩腳與地面距離之和為f(θ)；BD 兩腳與地面距離之和為g(θ)。由于地面為連續(xù)曲面，故f(θ)，g(θ)是連續(xù)函數(shù)，又因?yàn)橐巫釉谌我馕恢弥辽偃荒_著地，所以對(duì)任意θ,f(θ)，g(θ)至少一個(gè)為0。

(4)模型求解：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為下列數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知f(θ)，g(θ)是連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意θ，f(θ)·g(θ)=0，且g(0)=0，f(0) > 0證明：存在θ0，使f(θ0) =g(θ0) = 0。

簡(jiǎn)單證明：將椅子旋轉(zhuǎn)90度，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(π/2)=0 ,g(π/2)>0。令h(θ)= f(θ)-g(θ)，則h(0)>0和h(π/2)<0

由f，g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)，據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，必存在θ0，使h(θ0)=0，即f(θ0) =g(θ0)，因?yàn)閒(θ) ·g(θ)=0，所以f(θ0) =g(θ0) = 0。

(5)模型推廣：考慮四角成長(zhǎng)方形的椅子。

以上例子都是生活中的實(shí)際案例，這些問(wèn)題都通俗易懂，也能激發(fā)學(xué)生的好奇心，開(kāi)拓知識(shí)面，為讓學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題奠定良好的基礎(chǔ)，對(duì)開(kāi)展高等數(shù)學(xué)的教學(xué)也起到舉足輕重的作用。在講解高數(shù)內(nèi)容時(shí)結(jié)合專業(yè)，結(jié)合實(shí)際去選擇案例，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際，又服務(wù)于實(shí)際。在教學(xué)中施行分組教學(xué)，小組之間可以產(chǎn)生競(jìng)爭(zhēng)力，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，班級(jí)也有良好的學(xué)習(xí)氛圍。分組去分析，調(diào)查，解決問(wèn)題，探索數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)及創(chuàng)新能力，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。

三、學(xué)生能力的培養(yǎng)

在我們?nèi)粘Ｉ钪?，?shù)學(xué)建模無(wú)處不在，無(wú)論是初中、高中還是大學(xué)，處處都存在數(shù)學(xué)模型。將數(shù)學(xué)建模的思想引入數(shù)學(xué)教學(xué)越早越有利培養(yǎng)學(xué)生的素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)建?？梢耘囵B(yǎng)學(xué)生多方面的能力[5](1)培養(yǎng)學(xué)生的“表達(dá)”能力，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將實(shí)際問(wèn)題抽象化，形成數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)的理論進(jìn)行推導(dǎo)和驗(yàn)算，并用較通俗的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，只有把想法、模型表達(dá)出來(lái)，人們才可以接受認(rèn)可。例如：椅子在不平的地面上能否放穩(wěn)問(wèn)題中，可以把椅子四角連線看成正方形，地面看成數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面，椅角與地面的距離看成函數(shù)等，把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型來(lái)驗(yàn)證椅子能放穩(wěn)。(2)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)想與歸納能力，對(duì)于不同的實(shí)際問(wèn)題，可以提煉出相同或相似的數(shù)學(xué)模型，例如：手機(jī)的選購(gòu)問(wèn)題可以推廣為電腦的選購(gòu)、汽車的選購(gòu)等，這也正是數(shù)學(xué)應(yīng)用的推廣。(3)培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力和洞察力，在數(shù)學(xué)建模中經(jīng)過(guò)鍛煉可以培養(yǎng)學(xué)生一眼看出問(wèn)題要點(diǎn)的能力，遇到題目能夠獨(dú)立思考解決。例如：在椅子問(wèn)題中假設(shè)椅子的四角與地面的接觸地是正方形，因?yàn)檎叫尉哂袑?duì)稱性，所以四角距離只需計(jì)算兩個(gè)即可，抓住問(wèn)題的關(guān)鍵。(4)培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力。事先教師把建模題目留給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)查閱文獻(xiàn)資料和學(xué)習(xí)新知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極開(kāi)展討論和辯論，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索，努力進(jìn)取的學(xué)風(fēng)，例如在手機(jī)的選購(gòu)問(wèn)題中，學(xué)生可以上網(wǎng)查閱相關(guān)手機(jī)的信息或者到手機(jī)店查閱，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生從事科研工作的初步能力，形成一個(gè)生動(dòng)活潑的環(huán)境和氣氛。(5)培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，學(xué)生將學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)一起靈活應(yīng)用，在數(shù)學(xué)建模中反復(fù)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析、理解、推理和計(jì)算，才能找出最適合的數(shù)學(xué)模型，求出模型的最優(yōu)解，所以可以提高學(xué)生的解決實(shí)際問(wèn)題的能力。例如在手機(jī)選購(gòu)問(wèn)題中，采用的是層次分析法，也可以使用運(yùn)籌學(xué)知識(shí)點(diǎn)或概率的知識(shí)，但經(jīng)過(guò)分析比對(duì)各種方法，層次分析法相對(duì)而言更容易理解。(6)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，數(shù)學(xué)建模的題目相對(duì)較活，題目沒(méi)有統(tǒng)一的答案，只會(huì)有一個(gè)求解范圍，所以只要模型建立正確，推導(dǎo)合理就可以，但要想數(shù)學(xué)建模拿到獎(jiǎng)項(xiàng)，就必須要求模型具有創(chuàng)新點(diǎn)，具有特色。通過(guò)數(shù)學(xué)建模的練習(xí)，可以逐漸培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。例如手機(jī)的選購(gòu)問(wèn)題中，成對(duì)比矩陣的建立就是一個(gè)創(chuàng)新。(7)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用計(jì)算機(jī)能力，由于數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽需要處理大量的數(shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)只能通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件來(lái)解決，所以學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)Excel、Mathematica、Matlab等很多計(jì)算機(jī)語(yǔ)言語(yǔ)法，例如手機(jī)的選購(gòu)中就應(yīng)用到Matlab數(shù)學(xué)軟件求解矩陣的特征向量，對(duì)于今后工作也會(huì)有很大幫助。(8)培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是一個(gè)團(tuán)隊(duì)的合作，要求三個(gè)人都各有優(yōu)勢(shì)，各具有某方面的能力，最終三人研究統(tǒng)一的方案，這就要求學(xué)生具有團(tuán)隊(duì)意識(shí)，為這個(gè)小集體服務(wù)，也為學(xué)生步入社會(huì)提供工作經(jīng)驗(yàn)。

高職數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模的結(jié)合，不只是創(chuàng)新教學(xué)方法和教學(xué)手段，更是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生能力的一種教學(xué)模式。數(shù)學(xué)建模所體現(xiàn)的創(chuàng)新思維意識(shí)，獨(dú)立思考能力及團(tuán)隊(duì)合作競(jìng)賽也正是我們這個(gè)時(shí)代所需要的，是高校數(shù)學(xué)教師必須努力的方向。開(kāi)展數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，學(xué)生的實(shí)踐能力和計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力都得到了鍛煉，學(xué)生的視野也得到開(kāi)闊，從而達(dá)到實(shí)現(xiàn)教學(xué)改革的目標(biāo)，提高教學(xué)質(zhì)量的目的。

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