樊玉環(huán)，王秀蘭

(1.黑龍江工程學院 數學系，黑龍江 哈爾濱 150050;2.哈爾濱工業(yè)大學 數學系，黑龍江 哈爾濱 150001)

Zp2上一類線性循環(huán)碼

樊玉環(huán)1，王秀蘭2

(1.黑龍江工程學院 數學系，黑龍江 哈爾濱 150050;2.哈爾濱工業(yè)大學 數學系，黑龍江 哈爾濱 150001)

循環(huán)碼;Zp2-循環(huán)碼；Zp-循環(huán)碼；Gray映射；Nechaev-Gray映射

1 預備知識

對任意的a∈Zpk+1，a可以唯一表示成a=r0(a)+pr1(a)+…+pkrk(a)，其中ri(a)∈Zp，0≤i≤k。

令n′是{1,2,…,p-1}中唯一滿足nn′≡1mod(p)的整數，β=1+n′p∈Zp2。對任意的正整數i，βi=1+in′p∈Zp2。

引理1.1[7]令(n,p)=1，則φμβ=π?pk-1φ。

令ψ=π?pk-1φ，則ψ被稱為Nechaev-Gray 映射。

如果u=(u0,u1,…,un-1)∈Rn，v=(v0,v1,…,vn-1)∈Rn，定義u×v=(u0v0,u1v1,…,un-1vn-1)；若U和V是Rn的兩個子集或者R[x]中次數不超過n的兩個多項式集合，定義U×V={u×v/u∈U,v∈V}。

引理1.2[7]令C1和C2是Fp中的兩個長度為奇數n的線性循環(huán)碼，則C=C1+pC2是Zp2-線性的當且僅當C1×C2?C2。

引理1.3[7]如果a(x)，b(x)，c(x)，A(x)，B(x)，C(x)及A′(x)，B′(x)，C′(x)如前面所定義，若存在e(x)∈Fp[x]使得xn-1=(bc?c)(x)e(x)，則

2)若1)中任意一條成立，則φ(C′)及ψ(C0)是Fp-線性循環(huán)碼，長度為pn且由a(x)pb(x)p-1c(x)p-2生成。

引理2.1如果f(x)=r(x)+pq(x)，r(x),q(x)∈Fp[x],f(x)∈Zp2[x]，則

引理2.2[7]對任意的r(x),s(x)∈Zp[x]，有φ(r(x)+ps(x))=(xn-1)p-2[s(x)(xn-1)⊕(p-1)r(x)xn]。

證明：由引理1.1和引理2.1

ψ(f(x))=φμβ(f(x))=φ(f(βx))=

又由引理2.2得

ψ(f(x))=(xn-1)p-1q(x)⊕

(p-1)r(x)xn(xn-1)p-2.

|C|=|C1||C2|=p2dega(x)+degb(x)=

|a(x)pb(x)p-1c(x)p-2|.

又由ψ是雙射知

|ψ(C)|=|a(x)pb(x)p-1c(x)p-2|.

因此，只需要證明

令f(x)=λ(x)a(x)b(x)+pμ(x)a(x)=r(x)+pq(x)，其中λ(x),μ(x)∈Ap(n)，q(x)=μ(x)a(x)，r(x)=λ(x)a(x)b(x)。由引理2.3 得

ψ(f(x))=φ(f(βx))=(xn-1)p-1μ(x)a(x)⊕

(p-1)λ(x)a(x)b(x)xn(xn-1)p-2=

(a(x)b(x)c(x))p-1μ(x)a(x)⊕

nn′(p-1)λ(x)a(x)b(x)xn(xn-1)p-2.

又由于

nn′(p-1)λ(x)a(x)b(x)xn(xn-1)p-2=

所以，

ψ(f(x))=a(x)pb(x)p-1c(x)p-2[μ(x)c(x)⊕]

(|q|q⊕r|…|q⊕(p-1)r|)在映射ψ下的像是 (q,q⊕r,…,q⊕(p-1)r)，這是長度為pn的p進制線性碼。下面證明：長度為pn的任意p進制線性循環(huán)碼是(|q|q⊕r|…|q⊕(p-1)r|)在映射ψ下的像。

引理2.6在Zp[x]中，1+xn+x2n+…+x(p-1)n=(xn-1)p-1和xn+2x2n+…+(p-1)x(p-1)n=-xn(xn-1)p-2。

ψ(f(x))=φ(f(βx))=(xn-1)p-1d(x)⊕

(p-1)r(x)xn(xn-1)p-2.

另一方面，由引理2.6 知

d(x)+xn(d(x)⊕r(x))+…+x(p-1)n(d(x)⊕

(p-1)r(x))=d(x)(1+xn+…+x(p-1)n)⊕

r(x)(xn+…+ixin+…+(p-1)x(p-1)n)=

d(x)(xn-1)p-1⊕(p-1)r(x)xn(xn-1)p-2,

定理2.7令a(x)，b(x),c(x),A(x),B(x),C(x),A′(x),B′(x),C′(x)和e(x)如引理1.3中所定義，則

2)若1)中任意一條成立，則φ(C′)和ψ(C)是長度為pn的Fp線性循環(huán)碼，且由a(x)pb(x)p-1c(x)p-2生成。

[1]A. R. HAMMONS, JR., P. V. KUMAR, A.CALDERBANK,et al. TheZ4-linearity of Kerdock, Preparata, Goethals, and related codes[J]. IEEE Trans. Inform. Theory, 1994(40):301-319.

[2]M. GREFERATH,S. E. SCHMIDT. Gray isometries for finite chain rings and a nonlinear ternary (36,312,15)code[J]. IEEE Trans. Inform. Theory,1999(45):2522-2524.

[3]J WOLFMANN. Negacyclic and cyclic codes overZ4. IEEE Trans[J]. Inform. Theory, 1999(45):2527-2532.

[4]J WOLFMANN. Binary images of cyclic codes overZ4. IEEE Trans[J]. Inform. Theory, 2001(47): 1773-1779.

[5]A. R. CALDERBANK, N. J. A. SLOANE. Modular and p-adic cyclic codes[J]. Designs. Codes Cryptogr,1995(6):21-35.

[6]P. KANWAR,S. R. LOPEZ-PERMOUNTH. Cyclic codes over the integers modulopm[J]. Finite Fields and Their Applications,1997(3):334-352.

[7]S. LING,J. T. BLACKFORD.Zpk+1-linear codes[J]. IEEE Trans. Inform. Theory,2002(48):2592-2605.

[8]H. TAPIA-RECILLAS,G. VEGA. A Generalization of Negacyclic Codes[J]. presented at Electronic Notes in Discrete Mathematics,2001:251-261.

[9]V. GERARDO, J. WOLFMANNB. Some families ofZ4-cyclic codes[J]. Elsevier Inc., 2003:1071-5797.

[10]楊曉偉.Zp→Zp2上的 Hensel 提升[J].教學與教學研究, 2005(4):74-75.

AfamilyofcycliccodesoverZp2

FAN Yu-huan1, WANG Xiu-lan2

(1.Department of Mathematics, Heilongjiang Institute of Technology, Harbin 150050,China;2.Department of Mathematics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001,China)

cyclic code ;Zp2-cyclic code;Zp-cyclic code;Gray map;Nechaev-Gray map

2013-04-10

黑龍江省教育廳科學研究項目(12531546)

樊玉環(huán)(1981-)，女,講師,研究方向:代數.

O153.3

A

1671-4679(2014)01-0075-03

郝麗英]